《等比数列》优秀教学设计

课型

新授课

课时

5

学习目 标

1.结合实例，类比等差数列，理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用等比数列的通项公式；体会类比、归纳的思想，培养学生概括、抽象思维等能力.

2.掌握等比数列的判断及证明方法；能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.

3.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.

4.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

5.学生发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模核心素养.

学习重 点

等比数列的定义，等比数列通项公式、前n项和公式及它们的应用.

学习难 点

等比数列通项公式的性质及应用，前n项和公式的性质及应用.

学 情分 析

学生已经学习了等差数列，具备一定的知识经验.类比推理，学生能够快速入手等比数列的学习.但等差数列通项、前n项和性质的应用，难度上对学生心理产生一定冲击，部分学生可能会产生视觉疲劳、畏惧学习等情况.因此，在教学中将适时调整教学，将等比数列融入学生实际生活，让学生感受数学来源于生活，又服务于生活，培养学生学习兴趣，不断激励学生，提升学习效率.

核 心知 识

等比数列的定义，通项公式、前n项和公式及它们的性质.

教学内容及教师活动设计

（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）

教师个人复备

第1课时 等比数列的概念及通项公式

融入数学文化，引出课题.

观察上述数列，发现规律：

第一组：＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；

第二组：＝，…；第三组：＝－，…；也有相同的取值规律.

类比等差数列的研究，探究类似上述数列的运算规律.

类比等差数列概念，抽象出等比数列的概念.

概念辨析：

(1)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.

(2)比必须是同一个常数.

(3)任意一项都不能为0.

(4)公比可以为正数、负数，但不能为0.

概念辨析：

(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.

(2)只有同号的两个实数才有等比中项.

(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，互为相反数.

累乘法推导等比数列通项公式： ＝q；＝q；…

＝q；＝q.

将上述n－1个累乘，整理得

an＝a1qn－1，

当n＝1时，上式也成立.

等比数列单调性：

(1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列.

(2)当a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列.

(3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列.

(4)当a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列.

(5)当q＝1时，数列{an}为常数列.

(6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同.

概念巩固：

定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列(公比q≠0).

两种方法，分别利用通项公式和等比中项求解，学生巩固等比数列通项公式、等比中项概念.学生比较两种解题方法，增强解题技能.

等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.即等比数列通项公式推广：

.

课后思考：等比数列的判断方法有几种.

等比数列的单调性的判断

(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列.

(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列.

(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.

注意：用定义法证明时，和中的n的范围不同.

巩固由an与Sn的关系求通项公式，熟悉等比数列的判定.

特别地， m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap2.

师生共研，强化逻辑推理.

解题总结：

(1) 该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.

(2) 性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.

(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….

结题总结：

三个数成等比数列的设法：

设为，a，aq.

推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…

思路所述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.

思路二围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式.

思路三利用方程的思想，推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．

提示 Sn＝

＝－qn＋，

当q≠1时，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.

等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．

解题总结：若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．

注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.

实际应用：

(1)解应用问题的核心是建立数学模型．

(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．

(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．

复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，

，

，

…构成等比数列，代入等比数列通项公式即得.

第(1)题根据题意可将生物体死亡n年后体内碳14的残留量构造成一个数列{an}，根据题意可判断出数列{an}是一个等比数列，然后根据碳14的半衰期的含义列出表达式，解出q的值；第(2)题根据第(1)题的结果等比数列{an}的通项公式进行代入计算可解出n的值．

课题引入：我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”

师：堤、木、枝、巢、禽、雏、毛、色的数量构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.

这就是今天我们要学习的等比数列.

一、探究发现

观察：

1.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：

2，4，8，16，32，…

2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：

，，，，，…

3.－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：

－，，－，，…

探究：

类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？

生：除法；从第二项起，每一项与它的前一项的商都为同一个常数.

师：点评.

师：类比等差数列的概念，从上述数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？

学生回答，教师点评、补充.

二、知识梳理

1.等比数列的概念

文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．

符号语言：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)．

2.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.

3.等比数列的通项公式

（1）通项公式：

若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*).

公式推导：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知

＝q(n∈N*且n≥2)，所以

a2＝a1q，

a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，

a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，

…

由此可得an＝a1qn－1(n≥2)，当n＝1时，上式也成立.

师：同学们还有其他推导方法吗？

学生回答，教师点评、补充累乘法.

（2）等比数列的通项公式与指数型函数的关系

师：观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？

学生回答，教师点评、补充.

师、生共同归纳：

an＝a1qn－1＝·qn

当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).

任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.

三、例题讲解

例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比．

(1)3，9，15，21，27，33；

(2)1，1.1，1.21，1.331，1.4641；

(3)，，，，，；

(4) 4，－8，16，－32，64，－128.

解 (1)不是；(2)是，公比为1.1；(3)不是；(4)是，公比为－2.

例2 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.

解 方法一：∵a4＝48，a6＝12，∴

，解得q＝±.

当q＝时，解得a1＝384，∴a5＝a1 q4＝24；

当q＝－时，解得a1＝－384，

∴a5＝a1 q4＝－24；

方法二：a5为a4与的等比中项，

∴a52＝a4a6＝576，故a5＝±24.

例3 等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.

解 由题意得，

，

，

∴

，

所以

.

例4 对于数列{an}，若点(n，an) (n∈N*)都在函数y＝cqx的图象上，其中c，q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列{an}是不是等比数列，并证明你的结论.

解 数列{an}是等比数列.

证明：由题意得，an＝cqn，

所以

，

故数列{an}是首项为cq，公比为q的等比数列.

四、课堂练习

1．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )

A．6 B．－6 C．－12 D．12

答案 AB

解 ∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6.

2．已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( )

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 D

解 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；

当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立；

即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.

3．在等比数列{an}中：

(1)a1＝1，a4＝8，求an；

(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；

(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

解 (1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，

所以an＝a1qn－1＝2n－1.

(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.

(3) 因为

由，得q＝，从而a1＝32.

又an＝1，所以32×n－1＝1，

即26－n＝20，故n＝6.

五、课堂小结

1．知识清单：

(1)等比数列的概念.

(2)等比中项的概念.

(3)等比数列的通项公式及其与函数的关系.

2．思想方法：方程(组)思想、类比法、分类讨论法.

3．常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy ⇏ x，G，y成等比数列.

六、作业布置：《名师金典》第21、22页.

七、板书设计（略）

八、教学反思

第2课时 等比数列的判定与性质

一、复习引入

1.等比数列的定义；

2.等比中项；

3.等比数列的通项公式（含推广公式）.

二、讲授新知

（一）等比数列的判定与证明

师：上节课后思考，大家认为等比数列的判断方法有几种？

学生回答，教师点评补充.

判定与证明等比数列的方法：

1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；

2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；

3．通项公式法：an＝a1qn－1＝·qn＝A·qn(A≠0).

例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*).

(1)求a1，a2；

(2)求证：数列{an}是等比数列.

(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.

又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.

(2)证明 当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，

得＝－.又a1＝－，

所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列.

（二）等比数列的多项关系

问题 结合等差数列里面的am＋an＝ak＋al，你能类比出等比数列中相似的性质吗？

结论：等比数列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

推理过程：若m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.

am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，

所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2，

因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal.

例2 已知{an}为等比数列.

(1)若{an}满足a2a4＝，求a1aa5；

(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；

(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.

解 (1)在等比数列{an}中，∵a2a4＝，∴a＝a1a5＝a2a4＝，∴a1aa5＝.

(2)由等比中项，化简条件得a＋2a6a8＋a＝49，即(a6＋a8)2＝49，

∵an>0，∴a6＋a8＝7.

(2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.

（三）等比数列的运算数列的性质

1．等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.

3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.

例3 (1)等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝42，则公比为( )

A．3 B．2 C． D．2

(2) 数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是( )

A． B． C． D．

解 (1) 答案C. 设数列{an}的公比为q，则a4＋a8＋a12＝(a1＋a5＋a9)q3，即21q3＝42，解得q＝.

(2) 答案D.取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．

（四）等比数列性质的简单应用

例4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.

解 方法一：设前三个数分别为，a，aq，则·a·aq＝216，

所以a3＝216.所以a＝6.

因此前三个数为，6,6q.由题意知第4个数为12q－6.

所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.故所求的四个数为9,6,4,2.

方法二： 设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，

由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.

故所求得的四个数为9,6,4,2.

三、课堂练习

1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )

A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列

B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列

C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列

D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列

答案 C

解 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．

2．等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于( )

A. B. C. D．6

答案 A

解 ∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5，

∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，

解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，

∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，

方法一 ∴q13＝＝，则＝＝＝.

方法二 ＝＝q13＝，则＝＝＝.

3.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____．

答案 45

解 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，

则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．

即整理得

解得因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.

四、课堂小结

1．知识清单：

(1)等比数列的判定与证明．

(2)等比数列项与项之间的关系及应用．

2．方法归纳：公式法、类比法、定义法．

五、作业布置：教材31页练习第3、5题， 34页练习第2题；自主学习教材32页例题5，选做《名师金典》23页.

六、板书设计（略）

七、教学反思

未考虑四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．

第3课时 等比数列的前n项和公式

课题引入：利用教材34页素材，引入课题“等比数列的前n项和”.

一、讲授新知

（一）等比数列前n项和公式

问题1 等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求它的前n项的和？

思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，

所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1 ， ** Expression is faulty **

上式中每一项都乘等比数列的公比可得

qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， ** Expression is faulty **

** Expression is faulty **－** Expression is faulty **得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，

当q≠1时，有Sn＝.

思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q，

由等比数列的性质，有＝＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，

所以当q≠1时，Sn＝.

师：通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．

思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，

所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，

所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝.

等比数列前n项和公式

当q≠1时，有Sn＝（公式一），或Sn＝（公式二）；

当q＝1时，Sn＝na1.

注意点：

(1)公式一中的n表示的是所求数列的项数(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)．

(2)公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)．

例1 已知数列{an}是等比数列，

(1)若a1＝，q＝，求S8；

(2)若a1＝8，a9＝，q<0，求S8；

(3)若a1＝1，q＝2，Sn＝31，求n.

解 (1)

.

(2)由题意得

，又q<0，所以

.

所以

.

(3) 由题意得

，解得n＝5.

（二）利用等比数列前n项和公式判断等比数列

问题2 你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？

1．等比数列的前n项和公式是Sn＝Aqn－A.即Sn是n的指数型函数．

2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．

例2 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列．

解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1.

当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．∴an＝

方法一 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．

方法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列．

变式1 若将例2改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________.

答案

解 ∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，

∴3－2k＝0，即k＝.

变式2 若将例2改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为

Sn＝a·n－1＋5，则实数a＝________.

答案 －

解 由Sn＝a·n－1＋5，可得Sn＝3a·n＋5，依题意有3a＋5＝0，

故a＝－.

二、课堂练习

1．在等比数列{an}中．

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；

(3)已知S4＝1，S8＝17，求等比数列an的通项．

解 (1)由题意知解得或

从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.

(2)方法一由题意知得，S5＝＝.

方法二 由a4＋a6＝(a1＋a3)q3，得q3＝，从而q＝.

又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝.

(3)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，

∴S4＝＝1，S8＝＝17，

两式相除得＝17＝1＋q4，解得q＝2或q＝－2.

当q＝2时，a1＝，此时an＝×2n－1

当q＝－2时，a1＝－，此时an＝－×(－2)n－1.

∴an＝×2n－1或an＝－×(－2)n－1.

2．若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1(t∈R)，则此数列是( )

A．等差数列 B．等比数列

C．等差数列或等比数列 D．以上说法均不对

答案 D

解 当n＝1时，a1＝S1＝t－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1(t－1)，

当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列；

当t＝0时，{an}为非等差数列，非等比数列；

当t≠1，t≠0时，an＝tn－1(t－1)，所以{an}是等比数列．

三、课堂小结

1．知识清单：

(1)等比数列前n项和公式的推导．

(2)等比数列前n项和公式的基本运算．

(3)等比数列前n项和公式的结构特点．

2．思想方法归纳：方程的思想、错位相减法、公式法．

3．常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错．

四、作业布置：教材37页练习第1、3题；《名师金典》26页例1(1) (3)，27页例3及练习第1、4题.

五、板书设计（略）

五、教学反思

第4课时 等比数列前n项和的性质及应用

一、复习引入

1.等比数列{an}通项公式及前n项和公式：

当q≠1时，有Sn＝或Sn＝；当q＝1时，Sn＝na1.

2.当q≠1时，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．

二、讲授新知

（一）Sm＋n与Sm，Sn的关系

问题1你能否用等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，试用Sm，Sn来表示Sm＋n?

思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.

思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.

结论：Sm＋n＝Sm＋qmSn或Sm＋n＝Sn＋qnSm.

（二）Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列

问题1（教材例9）已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求出这个数列的公比.

证明如下：

思路一：（教材证明方法）

思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，

S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有2＝Sn(S3n－S2n)，

所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．

结论：等比数列{an}的公比q≠－1时Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，且公比为qn．

例1已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若

，求公比为q．

解 方法一（教材解法）.

方法二 由题意知q≠－1且q≠1，

所以S5，S10－S5，S15－S10成公比为q5的等比数列，

所以

，即

.

例2在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.

解 方法一 ∵S2n≠2Sn，∴q≠1，

由已知得

②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③

将③代入①得＝64，

∴S3n＝＝64×＝63.

方法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，

∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，

∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.

方法三 由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，

即60＝48＋48qn，得qn＝，

∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63.

（三）等比数列{an}中奇、偶数项和的关系

1．若等比数列{an}的项数有2n项，则

其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，

其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，

容易发现两列式子中对应项之间存在联系，

即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q.

2．若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则

其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，

其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，

从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．

例3 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.

(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________．

解 (1) 答案 2

由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，

∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2.

(2) 答案 2 9

由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，设这个数列共有2n＋1项，则S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.

三、课堂练习

1．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12等于( )

A．12 B．18 C．21 D．27

答案 C

解 方法一 因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4＝3，S8＝9，易知等比数列{an}的公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21.

方法二 由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即3,6,12成等比数列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝3＋6＋12＝21.

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是( )

A．－4 B．－ C. D．4

答案 B

解 方法一 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝2S8，

由等比数列的性质得，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，且公比不为－1，

即2S8，－S8，S12－S8成等比数列，

∴＝＝－，则2S12－2S8＝S8，

∴2S12＝3S8，∴S12＝S8，∴＝＝－.

方法二 由S4＝2S8，令S8＝k(k≠0)，S4＝2k，

∵S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即2k，－k，k成等比数列，

∴S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝2k－k＋k＝k，

∴＝＝－.

3．已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.

答案 120

解析 因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q，

所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120.

四、课堂小结

1．知识清单：等比数列前n项和公式的性质及应用．

2．思想方法归纳：公式法、转化法．

3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．

五、作业布置：教材37页练习第5题；《名师金典》26页例1(2)，27页第2、3题.

六、板书设计（略）

七、教学反思

第5课时 等比数列的实际应用（习题课）

一、例题讲解

1.数学文化

例1《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为( )

A．96 B．126 C．192 D．252

答案 C

解 由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列，因为该人6天后到达目的地，则有

S6＝＝378，

解得a1＝192，

所以该人第1天所走路程里数为192.

2.科技话题

例2某汽车集团公司大力发展新能源汽车，已知2021年全年生产新能源汽车4500辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量是前一年的

，那么2030年全年生产新能源汽车( )

A.

辆 B.

辆

C.

辆 D.

辆

答案 C

解 根据题意，后一年新能源汽车的产量都是前一年的

，

即新能源汽车的年产量构成首项为4500，

公比为

的等比数列

则2030年全年约生产新能源汽车为

辆.

3.复利计息

例3 用10000元购买某个理财产品一年.

(1)若以月利率

的复利计息，12个月能获得多少利息？(精确到1元)

(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到

)

解 (1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列

，则

是等比数列，首项

，公比

，

所以

所以，12个月后的利息为

(元).

(2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列

，则

也是一个等比数列，首项

，公比为

，于是

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为

元.

解不等式

，得

所以，当季度利率不小于

时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.

4.元素衰变

例4 放射性元素在

时的原子核总数为

，经过一年原子核总数衰变为

，常数

称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年．

(1)碳14的年衰变率为多少

精确到

？

(2)某动物标本碳14含量为正常大气中碳14含量的

(即衰变了

)，该动物的死亡时间大约距今多少年？

解 (1)由题意，设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q，n年后的残留量为

，则

是一个等比数列，

∵碳14的半衰期为5730，∴

，

解得

(2)由题意，设动物约在距今n年前死亡，

由

，可得

，解得

，

∴动物约在距今4221年前死亡．

5.病毒传染

例5在流行病学中，基本传染数

是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．

一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数

，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要几轮传染？需要多少天？

初始感染者传染

个人为第一轮传染，这

个人每人再传染

个人为第二轮传染…

对于

，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．

解 由题意得，每一轮感染人数构成一个等比数列，记为

，公比为q，

前n项和为

则

，

则

，

∴

，

两边取对数得，

，

∴

∵

，∴

又∵平均感染周期为7天，

天，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染，需大约要35天.

二、课堂小结：

1．知识清单：等比数列通项、前n项和公式的实际应用．

2．思想方法：等比数列解决实际问题，主要考查转化划归思想.

3．能力素养：逻辑思维能力，数学建模、数学运算能力．

三、作业布置：教材55页第5题，56页第9题；《名师金典》26页例2.

四、板书设计（略）

五、教学反思