《力在坐标轴上的投影、力矩、力偶》教案

教学目标

【素质目标】：1.培养学生严谨的工作、学习作风；2.培养学生国家标准的意识；3.培养学生职业素养。4.培养学生分析问题的能力。

【知识目标】：1.了解力在直角坐标轴上的投影；2.理解力矩、力偶系的概念；3.掌握力矩的平衡条件；4.掌握平面力偶系的合成与平衡条件。

【能力目标】：1.能够对物体进行受力分析。

教学重难点

【教学重点】：1.理解力矩、力偶系的概念；2.掌握力矩的平衡条件；3.掌握平面力偶系的合成与平衡条件。

【教学难点】：1力矩的平衡条件；3.平面力偶系的合成与平衡条件。

教学资源

【网络资源】：http://www.cmpedu.com/index.htm（机工）；http://hitpress.hit.edu.cn/（哈尔滨工业大学出版社）；http://www.bitpress.com.cn/index/index.php?session=2（北京理工大学出版社）；学习通。

【硬件资源】：勤业楼发动机综合实训室；

【学习资源】：教材、PPT课件、视频、动画、国家标准等。

教学内容

【理论知识】：

第3节 力在坐标轴上的投影、力矩和力偶

一、力在直角坐标轴上的投影

平面汇交力系合成与平衡的几何法虽然比较简易，但是作图要十分准确，否则将会引起比较大的误差，工程中更常用的方法是解析法。

1.力的分解

力矢 与各投影有以下关系

此式称为力的解析式

2.力在正交坐标系的投影与力的解析表达式

在直角坐标系Oxy平面中，有一已知力F，此力与x轴的夹角为α，从力F的两端A、B分别向x、y轴作垂线，得到线段ab、a′b′。其中ab称为力F在x轴上的投影，以Fx表示；a′b′称为力F在y轴上的投影，以Fy表示。

二.合力投影定理

设有作用在刚体上的三个共点力F1、F2、F3，如图1-33a所示，用力的多边形法则求得的合力为F(图1-33b)。在力的多边形所示的平面中，建立直角坐标系，将各个分力和合力分别向两个坐标轴进行投影，如图1-33c所示。

三、力矩的概念

人们在实际经验中体会到，力对物体的作用，不仅可以使物体运动，还可以使物体转动，

力矩是力使物体绕某点转动效应的量度；力偶仅能改变物体的运动状态。

1、力对点之矩

力对点之矩可用代数量表示，其绝对值等于力的大小和力臂的乘积，大小为

其正负规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正反之为负。

2、合力矩定理；平面汇交力系的合力对平面内某一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。

3、力矩的平衡条件

在日常生活和生产中，常会遇到一些绕定点（定轴）转动的物体平衡的情况。

例：试计算图3.2中力对A点之矩。

图3.2

解：本题有两种解法。

（1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。

先求力臂d。由图中几何关系有：

d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα

所以

mA(F)=F•d=F(asinα-bcosα)

（2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。

将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得

mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy)=－Fx•b+ Fy•a=－F(bcosα＋asinα) =F(asinα-bcosα)

四、力偶及其性质

1.力偶和力偶矩

在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力（图3.3a）；工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图3.3b）；以及用两个手指拧动水龙头（图3.3c）所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号 ( F ,F′)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。

图3.3

实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体转动效应就愈显著。因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积Fd加上适当的符号，作为力偶对刚体转动效应的量度，称为力偶矩，用M或M( F ,F′)表示，即

M＝±F•d (3-4)

式中的正负号表示力偶使刚体转动的方向，通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同，在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N••m）或千牛顿•米（kN•m）。

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：

(1) 力偶矩的大小；

(2) 力偶在作用面内的转向。

2.力偶的基本性质及等效条件

力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：

性质一 力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。

性质二 力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。

图3.4

如图3.4所示，力偶( F ,F′)的力偶矩m(F)＝F•d在其作用面内任取一点O为矩心，因为力使物体转动效应用力对点之矩量度，因此力偶的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内任何一点的矩的代数和来量度。设O到力F′的垂直距离为x，则力偶( F ,F′)对于点O的矩为

mo( F ,F′)= mo( F )+ mo( F′)= F（x+d）-F′x=F•d = m

所得结果表明，不论点O选在何处，其结果都不会变，即力偶对其作用面内任一点的矩总等于力偶矩。所以力偶对物体的转动效应总取决于力偶矩（包括大小和转向），而与矩心位置无关。

由上述分析得到如下结论：

在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩相等，则这两个力偶等效。这就是平面力偶的等效条件。

根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：

推论1：力偶可在其作用面内任意移动或转动，而不会改变它对物体的作用效应。

推论2：只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。

由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因此，力偶可以用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。

图3.5

3.3平面力偶系的合成与平衡条件

1.平面力偶系的合成

作用在刚体同一平面内的各个力偶，称为平面力偶系。

设作用于刚体的同一平面内的三个力偶( F1 ,F1′) ( F2 ,F2′) 和( F3 ,F3′)，如图3.6所示。各力偶矩分别为：

m1＝F1•d1，m2＝F2•d2，m3＝－F3•d3，

图3.6

在力偶作用面内任取一线段AB＝d，按力偶等效条件，将这三个力偶都等效地改为以为d力偶臂的力偶( P1 ,P1′) ( P2 ,P2′) 和( P3 ,P3′)。如图3.6所示。由等效条件可知

P1•d=F 1•d1，P2•d＝F2•d2 ，－P3•d ＝－F3•d3

则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。

然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系（图3.6b）。将这两个共线力系分别合成，得

FR＝P1＋P2－p3

FR′＝P1′＋P2′－P3′

可见，力FR与FR′等值、反向作用线平行但不共线，构成一新的力偶（FR，FR′），如图3.6c所示。为偶（FR，FR′）称为原来的三个力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，则 M＝FR d＝（P1＋P2－P3）d= P1•d+P2•d－P3•d=F 1•d1+F2•d2－F3•d3

所以 M＝m1＋m2＋m3

若作用在同一平面内有n个力偶，则上式可以推广为

M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm （3－5）

由此可得到如下结论：

平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力偶矩的代数和。

2.平面力偶系的平衡条件

平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。 即

Σm＝0（3－6）

平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。

例 一平行轴减速箱如图3.8所示，所受的力可视为都在图示平面内。减速箱输入轴I上作用一力偶，其矩为$$m_1=-\text{500}$$N·m；输出轴II上作用一反力偶，其矩为$$m_2=\text{2000}$$N·m 。设$$\text{AB}$$间距$$l=\text{80}$$cm，不计减速箱重量。试求螺栓$$A$$、$$B$$以及支承面所受的力。

图3.8

解：取减速箱为研究对象。减速箱除受$$m_1$$、$$m_2$$的两个力偶矩作用外，还受到螺栓与支承面的约束力的作用。因为力偶必须用力偶来平衡，故这些约束力也必定组成一力偶，A、B处的约束反力方向如图3.8所示，且$$F_A=F_B$$。根据平面力偶系的平衡条件，列平衡方程

$$\sum _{i=1}^n{m}_i=0$$ $$m_1+m_2-F_{A}l=0$$

$$F_A=\frac{m_1+m_2}{l}=\frac{-\text{500}+\text{2000}}{0\text{.}8}=\text{1875}$$N

得$$F_A=F_B=\text{1875}$$N

约束力$$F_A$$及$$F_B$$分别由$$A$$处支承面和$$B$$处螺栓产生。其中$$F_A$$是支承面的反作用力，因而，$$A$$处支承面受压力，$$B$$处螺栓受拉力。

例：如图3.9所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m＝2.5 kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少？

图3.9

解：取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。设4个螺栓的受力均匀，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。

由Σm＝0，m－F×AC－F×d＝0

解得：

【技能点】：

1.能够对物体进行受力分析。

教学设计

教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

计划

时间

组织教学

考勤、清点学生人数

学习通设置图案、提要求等

学生签到

增强学生纪律性

3

复习导入

提问：汽车方向盘的受力情况？

课堂导入

学生思考并回答问题

导入本次课程内容

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讲授新课

1.力在直角坐标轴上的投影；

2.合力投影定理；

3.力对点之炬；

4.力矩的基本性质；

5.合力矩定理；

6.力偶及其性质。

教师讲授新知识

学生认真听讲并做相关笔记

帮助学生构建新知识体系

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1.引导学生根据力在直角坐标轴上的投影写出合力投影定理公式；

2.随机抽取学生计算力矩。

发起课堂小测验

学生思考，并回答

让学生巩固并更深刻的去理解知识点

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课堂小结

力矩的基本性质；

合力矩定理；

力偶及其性质。

教师对知识点进行总结

学生认真听讲，并进行查缺补漏

加强学生对本次课重要知识点的理解和巩固

5

作业布置

书上习题

教学反思