数学分析试题及答案解析,（1）

2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A试卷 学院 班级 学号（后两位）

姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一.判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若在连续，则在上的不定积分可表为（）.2.若为连续函数，则（）.3.若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（）.4.若收敛，则必有级数收敛（）

5.若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（）.6.若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）.7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.若在上可积，则下限函数在上（）

A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）

A.在上一定不可积；

B.在上一定可积,但是；

C.在上一定可积，并且；

D.在上的可积性不能确定.3.级数 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（）

A.若，则级数一定收敛；

B.若，则级数一定收敛；

C.若，则级数一定收敛；

D.若，则级数一定发散；

5.关于幂级数的说法正确的是（）

A.在收敛区间上各点是绝对收敛的；

B.在收敛域上各点是绝对收敛的；

C.的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；

D.在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

三.计算与求值（每小题5分，共10分）

1.2.四.判断敛散性（每小题5分，共15分）

1.2.3.五.判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

1.2.六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）

七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)八.证明：函数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）

2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B卷 答案 学院 班级 学号（后两位）

姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.✘ 2.✔ 3.✘ 4.✔ 5.✔ 6.✔ 7.✔ 二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.B;2.C;3.A;4.D;5.B 三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.解：由于-------------------------3分 而---------------------------------4分 故由数列极限的迫敛性得：

-------------------------------------5分 2.设，求 解：令 得 =----------------2分 = =-----------------------------------4分 = =---------------5分 四.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.解：

-------3分 且，由柯西判别法知，瑕积分 收敛-------------------------5分 2.解：

有-----------------------------2分 从而 当-------------------------------4分 由比较判别法 收敛----------------------------5分 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）

1.解：极限函数为-----------------------2分 又--------3分 从而 故知 该函数列在D上一致收敛.-------------------------5分 2.解：因当 时，--------------2分 而 正项级数 收敛，-----------------------------4分 由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分 3.解：易知，级数的部分和序列一致有界，---2分 而 对 是单调的，又由于，------------------4分 所以在D上一致收敛于0，从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分 六.设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

解：解方程组得圆与抛物线在第一象限 的交点坐标为：，---------------------------------------3分 则所求旋转体得体积为：

-------------------------------7分 =------------------=------------------------------------------------------10分 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）

解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：

--------------------------------5分 故所求为：

-------------------------------------8分 =1250 =12250（千焦）-----------------------------------10分 八．设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛.（本题满分9分）

证明：是上的单调函数，所以有------------------------------4分 又由与都绝对收敛，所以 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知：

在上绝对且一致收敛.--------------------------------2013---2014学年度第二学期 《数学分析2》A试卷 学院 班级 学号（后两位）

姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一.判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若在[a,b]上可导，则在[a,b]上可积.()2.若函数在[a,b]上有无穷多个间断点，则在[a,b]上必不可积。

（）

3.若均收敛，则一定条件收敛。

（）

4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（）

5.若为正项级数（），且当 时有：，则级数必发散。（）

6.若以为周期，且在上可积，则的傅里叶系数为：

（）

7.若，则（）

8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（）

二.单项选择题（每小题3分，共18分）

1.下列广义积分中，收敛的积分是（）

A B C D 2.级数收敛是部分和有界的（）

A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数收敛的充要条件是（）

A.B.数列单调有界 C.部分和数列有上界 D.4.设则幂级数的收敛半径R=（）

A.B.C.D.5.下列命题正确的是（）

A 在绝对收敛必一致收敛 B 在一致收敛必绝对收敛 C 若，则在必绝对收敛 D 在条件收敛必收敛 6..若幂级数的收敛域为,则幂级数在上 A.一致收敛 B.绝对收敛 C.连续 D.可导 三.求值或计算（每题4分，共16分）

1.；

2.3．.4.设在[0,1]上连续，求 四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.；

2.3.；

4.五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）

1.2.；

六.应用题型（14分）

1.一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（），若再加水7（），问水位升高了多少米？ 2.把由，x轴，y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积，并求满足条件的.七．证明题型（10分）

已知与均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有，但不恒等于，证明：

2013---2014学年度第二学期 《数学分析2》B试卷 学院 班级 学号（后两位）

姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一、判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.对任何可导函数而言，成立。（）

2.若函数在上连续，则必为在上的原函数。（）

3.若级数收敛，必有。（）

4.若，则级数发散.5.若幂级数在处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（）

6.如果在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有.（）

7.设在上有定义，则与级数同敛散.（）

8.设在任子区间可积，b为的暇点，则与 同敛散.（）

9.设在上一致收敛，且存在，则.二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.函数在上可积的必要条件是（）

A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2.下列说法正确的是（）

A.和收敛，也收敛 B.和发散，发散 C.收敛和发散，发散 D.收敛和发散，发散 3.在收敛于，且可导，则（）

A.B.可导 C.D.一致收敛，则必连续 4.级数 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 5.幂级数的收敛域为：

A.（-0.5,0.5）

B.[-0.5,0.5] C.D.三.求值与计算题（每小题4分，共16分）

1.2.3.4.四.判别敛散性（每小题4分，共16分）

1.；

2.3..4.五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

1.2.六.应用题型（16分）

1.试求由曲线及曲线所平面图形的面积.2.将表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.七.（9分）证明：若函数项级数满足：

（ⅰ）；

（ⅱ）收敛.则函数项级数在D上一致收敛.014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A卷答案 三.判断题（每小题3分，共21分）

1.✔ 2.✘ 3.✔ 4.✘ 5.✔ 6.✔ 7.✘ 二.单项选择题（每小题3分，共15分）

B, C, C, D, A 三.计算与求值（每小题5分，共10分）

1.解：原式= =---------------------------2分 =-------------------------3分 ==---------------------------5分 2.原式=-------------------------------2分 =--------------------4分 =---------------------------5分 四.判断敛散性（每小题5分，共15分）

1.----------------------------2分 且---------------------------------3分 由柯西判别法知，收敛。---------5分 2.由比式判别法-----4分 故该级数收敛.-------------------------------5分 3.解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-----------2分 又 知其单调且有界，---------4分 故由阿贝尔判别法知，级数收敛.--------------------------------5分 五.1.解：极限函数为---------------------2分 又---------------------------------4分 故知 该函数列在D上一致收敛.-----------5分 2.解：因当 时，----------------------3分 而 正项级数 收敛，-----------------------------4分 由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分 六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分）

解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系，过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：

--------------------------------5分 故所求立体的体积为：

------------7分 =-------10分 七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴)则第一象限等腰边的方程为------------------------------------3分 压力微元为：

故所求为----------------------------------------7分------10分 八.证明：每一项在上连续，又 而收敛 所以在上一致收敛，-------------------------------3分 故由定理结论知 在上连续，------------------------------5分 再者 而收敛 所以在上一致收敛，结合在上的连续性 可知在上有连续的导函数.----------------9分 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B试卷 学院 班级 学号（后两位）

姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 二、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.若为偶函数，则必为奇函数（）.2.为符号函数，则上限函数y=在上连续（）.3.若收敛，必有（）.4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I上处处收敛（）.5.若在上内闭一致收敛，则在上一致收敛（）.6.若数项级数绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变（）.7.若函数项级数在上的某点收敛，且在上一致收敛，则也在上一致收敛（）.二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.函数是奇函数，且在上可积，则（）

A B C D 2.关于积分，正确的说法是（）

A.此为普通积分 B.此为瑕积分且瑕点为0 C.此为瑕积分且瑕点为1 D.此为瑕积分且瑕点为0,1 3.就级数（）的敛散性而言，它是（）

A.收敛的 B.发散的 C.仅 时收 D.仅 时收敛 4..函数列在区间上一致收敛于0的充要条件是（）

A.B.C.D.5.幂级数的收敛域为：

A.（-0.5,0.5）

B.[-0.5,0.5] C.D.三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.2.设，求 四.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.2.五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）

1.2.3.六.设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）

八．设是上的单调函数，证明：若与 都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛.（本题满分9分）

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