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五年级第二学期包含与排除

作者:lyh2008 | 发布时间:2021-01-17 14:43:18 收藏本文 下载本文

涉及互相重复的两类或三类对象的计数问题.解题可利用计算所有对象总个数的容斥原理,以及图示包含与排除关系. 1.某班有40名学生,其中有15人参加数学小组,18人参加航模小组,有10人两个小组都参加.那么有多少人两个小组都不参加? 【分析与解】 至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人,所以有40-23=17人两个小组都不参加. 满分的有3人,这两科都没有得满分的有29人.那么语文成绩得满分的有多少人? 【分析与解】 数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人.所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人. 3.50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…,49,50依次报数;

再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学还有多少名? 【分析与解】在转过两次后,面向老师的同学分成两类:

第一类是标号既不是4的倍数,又不是6的倍数;

第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数. 150之间,4的倍数有=12,6的倍数有=8,即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数,所以有=4. 于是,第一类同学有50-12-8+4=34人,第二类同学有4人,所以现在共有34+4=38名同学面向老师. 4.在游艺会上,有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖品的规则如下:①标签号为2的倍数,奖2支铅笔;

②标签号为3的倍数,奖3支铅笔;

③标签号既是2的倍数,又是3的倍数可重复领奖;

④其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多 少支? 【分析与解】 1~100,2的倍数有=50,3的倍数有=33个,因为既是2的倍数,又是3的倍数的数一定是6的倍数,所以标签为这样的数有=16个. 于是,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数在1~100中有100-50-33+16=33. 所以,游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有:

50×2+33×3+33×1=232支. 5. 有一根长为180厘米的绳子,从一端开始每隔3厘米作一记号,每隔4厘米也作一记号,然后将标有记号的地方剪断.问绳子共被剪成了多少段? 【分析与解】 只需先计算剪了多少刀,再加上1即为剪成的段数. 从一端开始,将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号,并将距离长度作为编号. 有1~180,3的倍数有=60个,4的倍数有=45个,而既是3的倍数,又是4的倍数的数一定是12的倍数,所以这样的数有=15个. 注意到180厘米处的无法标上记号,所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,所以绳子被剪成89+1=90段. 6. 东河小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的.现知道五、六年级共有25幅画,那么其他年级的画共有多少幅? 【分析与解】 将东河小学分成3个部分,六年级、五年级、其他年级, 那么有五年级和其他年级共作画16幅,六年级和其他年级共作画15幅.而五、六年级共作画25幅,所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅. 7.有若干卡片,每张卡片上写着一个数,它是3的倍数或4的倍数,其中标有3的倍数的卡片占,标有4的倍数的卡片占,标有12的倍数的卡片有15张.那么,这些卡片一共有多少张? 【分析与解】 设这些卡片的总数为“1”,而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数. 所以有,解得“1”对应36张. 即这些卡片一共有36张. 8.在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个? 【分析与解】 l~1000之间,5的倍数有=200个,7的倍数有=142个,因为既是5的倍数,又是7的倍数的数一定是35的倍数,所以这样的数有=28个. 所以既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个. 9.五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数. 【分析与解】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A,参加美术兴趣小组的人组成集合日,参加语文兴趣小组的人组成集合C. =25,=35,=27,=12, =8,=9,=4. =. 所以,这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项. 即这个班有62人. 10.如图8-1,已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6,8,5,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积. 【分析与解】 设甲圆组成集合A,乙圆组成集合B,丙圆组成集合C. =30,=6,=8,=5,=73, 而=. 有73=30×3-6-8-5+,即=2,即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2. 那么只是甲与乙(④),乙与丙(⑥),甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3,所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58. 11.四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数. 【分析与解】 设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组成集合G.三者都参加的学生有z人. 有=46,=24,=20,=3.5,=7,=2,=10. 因为,所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,即三者的都参加的有3人. 那么参加文艺小组的有37=21人. 12.图书室有100本书,借阅图书者需在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33,44和55本,其中同时有甲、乙签名的图书为29本,同时有甲、丙签名的图书为25本,同时有乙、丙签名的图书为36本.问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过? 【分析与解】 设甲借过的书组成集合A,乙借过的书组成集合B,丙借过的书组成集合C. =33, =44,=55,=29,=25,=36. 本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值,再将其与100作差即可. ,当最大时,有最大值. 也就是说当三人都借过的书最多时,甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多. 而最大不超过、、、、、 6个数中的最小值,所以最大为25. 此时=33+44+55-29-25-36+25=67,即三者至少有一人借过的书最多为67本,所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过. 13.如图8-2,5条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段上恰有1994个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个? 【分析与解】 如下图,下图中“”位置均有两条线段通过,也就是交点,如果这些交点所对应的线段都在“”位置恰有红色点,那么在五角星上重叠的红色点最多,所以此时显现的红色点最少,有1994×5-(2-1)×10=9960个. 14.甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆,乙浇了68盆,丙浇了58盆,那么3人都浇过的花最少有多少盆? 【分析与解】只考虑甲乙两人情况,有甲、乙都浇过的最少为:78+68-100=46盆,此时甲单独浇过的为78-46=32盆,乙单独浇过的为68-46=22盆;

欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时,应将丙浇过的花尽量分散在两端。于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆. 15.甲、乙、丙都在读同-一本故事书,书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读.已知甲读了7.5个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事.那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个? 【分析与解】 只考虑甲乙两人情况,有甲、乙都读过的最少为:75+60-100=35个,此时甲单独读过的为75-35=40个,乙单独读过的为60-35=25个;

欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时,应将丙读过的书尽量分散在某端,于是三者都读过书最少为52-40=12个. 评注:注意与14题的区别,本题中必须是从一端连续的排下去,而14题没有要求连续.

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