泰勒公式证明

第1篇：泰勒公式

华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

§3 泰勒公式

教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§3 泰勒公式 教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题.教学要求：（1）深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；

（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用.（3）会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限.教学重点：Taylor公式

教学难点：Taylor定理的证明及应用.教学方法：系统讲授法.教学程序：

引 言

不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？

上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x0可导，则有有限存在公式；

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0(xx0)

即在x0附近，用一次多项式p1(x)f(x0)f(x0)(xx0)逼近函数f(x)时，其误差为0(xx0).然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为0(xx0)，其中n为多项式次数.为此，有如下的n次多项式：

pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)n

易见：

(n)(x0)(x0)pnpnpn(x0)，a2，„，an（多项式的系数由其各阶导数在a0pn(x0)，a11!2!n!x0的取值唯一确定）.对于一般的函数，设它在x0点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：

f(x0)f(n)(x0)Tn(x)f(x0)(xx0)(xx0)n

1!n!f(k)(x0)称为函数f在点x0处泰勒多项式，Tn(x)的各项函数，（k＝1,2,„,n）称为泰勒系数.k!问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为f(x)Tn(x)0((xx0)n)

3 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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一、带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Tn(x)0((xx0)n)，即

f(x0)f(n)(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n0((xx0)n)

1!n!即函数f在点x0处的泰勒公式；Rn(x)f(x)Tn(x)称为泰勒公式的余项.证明：设Rn(x)f(x)Tn(x), G(x)(xa)n.应用LHospital法则n1次, 并注意到f(n)(a)存在, 就有

(n1)Rn(x)Rn(x)f(n1)(x)f(n1)(a)f(n)(a)(xa)lim= lim(n1)limxaG(x)xaGxa(x)n(n1)2(xa)f(n1)(x)f(n1)(a)1(n) limf(a)0.xan!xa称Rn(x)(xa)n为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为Rn(x)(xn).并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式(或Maclaurin公式).注

1、若

nf(x)在点x0附近函数满足f(x)Pn(x)0((xx0))，其中pn(x)必定是f的泰勒多项式Tn(x).但pn(x)a0a1x(x)anxx(n，这并不意味着)00pn(x)并非f(x)的泰勒多项式Tn(x).（因为除f(0)0外，f在x＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；

n

2、满足条件f(x)Pn(x)0((xx0))的n次逼近多项式pn(x)是唯一的.由此可知，当fn满足定理1的条件时，满足要求f(x)Pn(x)0((xx0))的多项式pn(x)一定是f在x0点的泰勒多项式Tn(x)；

3、泰勒公式x0＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：

f(0)f(n)(0)nf(x)f(0)xx0(xn)

1!n!引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当xx0时，误差是较(xx0)n高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来.为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式.4 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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二、带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理2（泰勒）若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n＋1阶导函数，则对任意给定的x,x0[a,b]，至少存在一点(a,b)使得：

f(x0)f(n)(x0)f(n1)()nf(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n1（1）

1!n!(n1)!f(n1)()(xx0)n1，记 证明：记R(x)f(x)T(x)，要证Rn(x)nn(n1)!Qn(x)(xx0)n1，不妨设x0x，则Rn(x),Qn(x)在[x0,b]上有直到n阶的连续导数，在(x0,b)内存在n1阶导数，又因为

Rn(x0)Rn(x0)Rn(n)(x0)0，Qn(x0)Qn(x0)Qn(n)(x0)0.故在区间[x0,x]上连续运用Cauchy中值定理n1次，就有

(x0)Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)Rn()Rn Qn(x)Qn(x)Qn(x0)Qn(1)Qn()Qn(x0)Rn(2)Rn(n)(n)Rn(n)(x0)Rn(n1)()(n)(n1)，(n)Q()Q(x)Q()Qn(2)nnn0n(n1)(n1)()，Qn(n1)()(n1)!，其中，x0nn11x，Rn()ff(n1)()(xx0)n1，（2）从而得到 Rn(x)(n1)!介于x0与x之间.注：（1）、当n＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；

（2）、当x00时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式

f(0)f(n)(0)nf(n1)(x)n1f(x)f(0)xxx (0,1)

1!n!(n1)!5 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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称这种形式的余项Rn(x)为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为 f(n1)(a(xa))Rn(x)(xa)n1, (0 , 1).(n1)!a0时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为

Rn(x)1f(n1)(x)xn1, 01.(n1)!三 函数的Taylor公式(或Maclaurin公式)展开: 1.直接展开: 例1 求 f(x)ex的Maclaurin公式.xx2xnex解：e1xn1,(01).1!2!n!(n1)!x例2 求 f(x)sinx的Maclaurin公式.x3x5x2m1m1解： sinxx(1)R2m(x), 3!5!(2m1)!x2m11 R2m(x)sinx(m), 01.(2m1)!2例3 求函数f(x)ln(1x)的具Peano型余项的Maclaurin公式.解：f(n)(x)(1)n1(n1)!(n)n1, f(0)(1)(n1)!.n(1x)nx2x3n1x(1)(xn).ln(1x)x23n例4 把函数f(x)tgx展开成含x5项的具Peano型余项的Maclaurin公式.(教材P179 E5, 留为阅读.)2.间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例5 把函数f(x)sinx2展开成含x14项的具Peano型余项的Maclaurin公式.x3x5x7(x7), 解 sinxx3!5!7!

6 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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x6x10x14(x14).sinxx3!5!7!22例6 把函数f(x)cos2x展开成含x6项的具Peano型余项的Maclaurin公式.x2x4x6(x6), 解：cosx12!4!6!4x426x6(x6), 注意, (kx)(x), k0 cos2x12x3!6!2

12x425x62(x6). cosx(1cos2x)1x23!6!2例7 先把函数f(x)式,把函数g(x)解：f(n)1展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用得到的展开1x1在点x02展开成具Peano型余项的Taylor公式.35x(1)nn!(n)n f(0)(1)n!.,n1(1x)f(x)1xx2x3(1)nxn(xn);g(x)11135x135(x2)131

5(x2)113=15525n2nnn1(x2)()(x2)(1)()(x2)+(x2).13131313例8 把函数shx展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，并与sinx的相应展 开式进行比较.xx2xn(xn), 解： e11!2!n!xnxx2nx(1)(xn);e11!2!n!xexexx3x5x2m1x (x2m1). shx23!5!(2m1)!x3x5(1)m1x2m1而 sinxx(x2m1).3!5!(2m1)!

四、常见的Maclaurin公式

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(1)带Penno余项的Maclaurin公式

xx21xxne2!n!0(xn)

sinxxx3x53!5!(1)x2m1m1(2m1)!0(x2m)

2x1x2x4mcos(1)mx0(x2m12!4!(2m)!)nln(1x)xx22x33(1)n1xn0(xn)(1x)1x(1)22!x(1)(n1)n!0(xn)

11x1xx2xn0(xn)2）带Lagrange型余项的Maclaurin公式

x2x1xxnexe1)!xn12!n!(n xR，(0,1)

sinxxx3x5m1x2m1cosx2m13!5!(1)(2m1)!(1)m(2m1)!x xR，(0,1)cosx1x2x42m(1)mx(2m)!(1)m1cosx2m22!4!(2m2)!x xR，(0,1)ln(1x)xx2x3n1xnxn1n23(1)n(1)(n1)(1x)n1 x1，(0,1)(1x)1x(1)n2!x2(1)(n1)n!x(1)(n)n!(1x)n1xn1 x1，(0,1)

1xn12n1x1xxx(1x)n2 x1，(0,1)

五、常见的Maclaurin公式的初步应用 1.证明e是无理数: 例9 证明e是无理数.证明：把ex展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有

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111e e11, 01.2!3!n!(n1)!ep反设e是有理数, 即e(p和q为整数), 就有 n!e整数 +.n1qpep对nq, n!en!也是整数.于是, n!整数 = 整数―整数 = 整数.但由qn1q01,  0ee3, 因而当 n3时，en1不可能是整数.矛盾.2.计算函数的近似值: 例10 求e精确到0.000001的近似值.1112!13!1n!e解 e(n1)!, 01.注意到01,  0ee3, 有 R3n(1)(n1)!.为使3(n1)!0.000001, 只要取n9.现取n9, 即得数e的精确到0.000001的近似值为 e1112!13!19!2.718281.3.利用Taylor公式求极限: 原理: 例11 求极限 limaxax2x0x2,(a0).解：axexlna1xlnax222lna(x2), ax1xlnax222lna(x2);axax2x2ln2a(x2).9 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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 limaxax2x0x2limx2ln2a(x2)x0x2ln2a.例12 求极限lim11x0x(xcotx).解：lim1x0x(1xcotx)lim1sinxxcosxx0xxsinx xx3(x3)x[1x2(x2)]lim3!2!x0x3(12!13!)x3(x3)lim1.x0x33例13 设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)f(b)0，则存在(a,b)，f()4(ba)2fb()fa(.)证明： x(a,b)，将函数f(x)在点a与点b处Taylor展开

f(x)f(a)f(a)(xa)f(1)2!(xa)2，a1x，f(x)f(b)f(b)(xb)f(2)2!(xb)2，x2b.令xab2代入得： f(abf(1)(ba)2f(2)f(a)2!4，f(ab22)f(b)2)(ba)2!4，上述二项相减，移项并取绝对值得

f(b)f(a)(ba)2f(2)f(1)42

(ba)2f(22)f(1)(ba)424f()，使得

10 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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其中，f()max{f(1),f(2)}，取f()4f(b)f(a).(ba)2例14 证明: x0时, 有不等式 ex1x.[作业] 教材P141 1，2，3（1），4（1），5（1）.

第2篇：泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

数学学院 数学与应用数学专业 2009级 杨立

指导教师 吴春

摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。

关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数

Abstract: Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems.This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula;approximate calculation;limit;higher derivative;partial derivative

引言

泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

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数来近似代替，而误差又能满足要求。这种化复杂为简单的功能，使其成为分析和研究数学其他问题的有力工具。也对函数性态的研究和函数值的近似计算带来了极大的方便。本文主要是通过给出实际例子体现其应用，并对这些方法做了归纳和总结。

1 泰勒公式及其证明

1.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

若f(x)在xx0点有直到n阶连续导数，那么就有：

f"(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2

2!'f(n)x0(xx0)nRn(x)(1.1)

n!n其中Rnxoxx0是余项，这就是fx在xx0点的带佩亚诺余项的泰勒公式[1]。说明：

①此公式对函数fx的展开要求较低，只要求其在xx0点处n阶可导即可，展开的形式也比较简单。

②这种泰勒公式的实质是局部增量公式的升华，即可以把此函数局部地用线性函数代替改为用多项式代替，当xx0时用多项式代替这个函数所产生的误差xx0n是一个无穷小量。

③它难以说明误差范围，因此不适合对余项作定量估算，只能是一个定性估目的。

④特别地当x00时，有：

f"(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xxxRn(x)(1.2)

2!n!'这种佩亚诺项的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。

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1.2 带拉格朗日余项的泰勒公式

若函数fx在xa,b上有直到n阶连续导数，并且fn1x在区间a,b内存在，那么就有：

f"x02f(x)fx0fx0(xx0)xx0

2!'f(n)x0nxx0Rnx(1.3)

n!fn1其中Rnxxx0n1被称为余项，此时介于x与x0之间，这就是函数n1!fx在xx0点的带拉格朗日余项的泰勒公式。

[2]说明：

①它对函数fx的展开要求较高，因为它要求对任意的xa,b都要成立，其形式也相对复杂。

②这种泰勒公式的实质是对拉格朗日微分中值定理的升华，它是一个定量估计值。

③运用这种泰勒公式逼近fx时，可以确定其大致的误差范围，但其误差是由fx的n1阶导数决定的，若a越接近于b，即区间a,b越小，那么误差就会越小，这种泰勒公式适合处理fx在区间上的问题，特别是在不等式的证明中应用起来比较方便。1.3 简单的证明

我们知道f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

x0limf(x0x)f(x0)f(x0)x，其中误差是在x0即xx0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P(x)A0A1(xx0)A2(xx0)2An(xx0)n

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来近似地表示函数fx且要写出其误差fxPx的具体表达式。

设函数Px满足：

P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),,Pn(x0)fn(x0).于是可以依次求出A0,A1,A2,,An.显然，P(x0)A0，所以A0P(x0);

P(x0)A1,A1P(x0)

P(x0)2!A2,A2P(x0)2!

Pn(x0)P(x0)n!An,An.n!n至此，多项的各项系数都已求出，得：

f(x0)fn(x0)2P(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n.2!n!接下来就要求误差的具体表达式了。

设RnxfxPx，于是有：

Rn(x0)f(x0)P(x0)0.n所以可以得出：Rn(x0)Rn(x0)Rn(x0)0.根据柯西中值定理可得：

Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)（其中：(xx0)n10），n1nn1(xx0)(n1)(x)(xx)0010这里1在x和x0之间； 继续使用柯西中值定理得：

n1x10Rn1Rnx0n10Rn2nn12x0n1，第4页（共12页）

这里2在1与x0之间； 连续使用n1次后得出：

Rnxxx0这里在x0和x之间。

n1Rnn1，n1!但Rnn1xfn1xPn1x，由于Pn1x(n1)!An1，(n1)!An1是一个常数，故Pn1x0，于是得Rnn1xfn1x。

fn1()综上可得，余项Rnx。n1(n1)!(xx0)一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rnx写为Rn。

2 泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以把握函数用泰勒公式近似的程度，但需要估计误差的范围，关键就在于对fn1值的估计。

如果存在M0，有fn1M，xx0,x0，那么我们就可以估计Rn(x)Mn1xx0，xx0,x0，从而当我们期望近似值的误差不超(n1)!Mn1xx0中解出n是多少就可以知道运用泰勒公

(n1)!过时，只需在不等式式应计算多少项即可，由此我们就可以近似地计算出某些复杂数的具体值。

例1 求exdx的近似值，精确到105。

012解 由于该被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼茨公式来计算，因此我们要用泰勒公式来计算它的近似值。

第5页（共12页）

因为ex22nx4nx1x(1) 2!n!2将两边逐项积分，有

e01x2dx=1dxxdx00112102n1xx4dxdx

02!n!11111 =1(1)n32!5n!2n11111111 =131042216***0011.3105 75600121111110.746836。所以exdx1***60又因为总结：通过以上我们可以知道：只要给出一个数，知道它的误差范围，我们就可以利用泰勒公式较为简单的求出它的近似值。

例2 计算e的值，当n9时，误差不超过多少？ 解 在ex的麦克劳林展开式中，令x1可得：

11ee11,（01）

2!n!(n1)!330.000001 10!3628800111也就是说e11+2.718281，2!3!9!当n9时，有：R9(1)其误差不超过106。

总结：利用泰勒公式我们可以轻易地判断出一个函数公式的误差范围。2.2 利用泰勒公式证明中值问题

如果要证明的结论是至少存在一点ca,b，使得关于然后验证辅助函数满足a,b,f(a),f(b),c,f(c),f(c),,f(n)(c)代数式的证明。罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明。

例2

设fx在a,b上三次可导，试证明：ca,b，使得：

第6页（共12页）

1ab3

(2.1)f(b)f(a)f(ba)f(c)(ba)242证明 设k为使得下式成立的实数：

1abf(b)f(a)f(ba)k(ba)30

(2.2)242此时，问题可变为证明：ca,b，使得kfc。

设

1axg(x)f(x)f(a)f(xa)k(xa)30

(2.3)242则g(x)g(b)0。

根据罗尔定理，a,b，使得g()0。由(2.3)式，即：

aa(a)k2f()ff(a)0

(2.4)8222这是关于k的方程，注意f()到在点

a处的泰勒公式： 22aa(a)1af()fff(c)0,ca,b

(2.5)

22222由(2.4)(2.5)两式可得：

k1a12(a)2fcf()(a)8228则有：kf(c)，命题得证。

总结：解此类题最重要的就是辅助函数的确定，上面的例题使用的是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。

例4设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且f(1)1，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使得f()3

2第7页（共12页）

证明 由于函数f(x)在闭区间1,1上具有三阶连续导数，因此可以写出f(x)的二阶泰勒公式：

f(0)2f(x)x 2!3!f(0)2f(x)x(0 1)

f(0)2!3!f(x)f(0)f(0)x将x1,x1分别带入得：

f(1)f(0)f(0)f(1)f(0)f(2)，f(1)f(0) 2626其中01,21 两式相减可得：

f(1)f(1)f(1)f(2)

6由于fx在闭区间1,1上连续，由闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间2,11,1内至少存在一点使得f(1)f(2)2f()，代入等式1f(1)f(2)f()1可得，即f()3。

63总结：例4用泰勒公式进行证明的优势是显而易见的，条件中函数为三阶可导的抽象函数，如果不用泰勒公式，条件和结论似乎风牛马不相及，证明难度可想而知。

2.3 泰勒公式在求函数极限中的应用

excosx2例５ 求lim的极限.x0x42分析：当x0时为求

型函数的极限，满足洛必达法则，若直接用洛必达法则求极限我们发现会有多次求导且计算过程也十分复杂，稍不注意就会出错。我们可以先用泰勒公式将分子展开，再求极限，这样就会简单许多。

解 在x00处，由佩亚诺余项的泰勒公式展开得：

x4e1xo(x4)

2!x22第8页（共12页）

x2x4cosx1o(x4)

2!4!因此 excosx2故 274xo(x4)12744xo(x)ecosx2lim lim1244x0x0xx7



12x21例6 求limxx2Inx

xx分析：当x时，此函数为型未定式。虽然可以通过变换把其化为

001型，再用洛必达法则，但计算量较大。所以我们先将Inx展开，再求其极

x限。

2121111解 因为ln1o

xxx2x1所以limxx2lnx

xx111212

limo

xxx2x1 2通过以上两个例子，我们不难发现，在求一些未定型的极限时，如果用洛必达法则求导次数较多或化简过程较复杂时，不妨利用泰勒公式来求。在使用泰勒公式求极限时并不需要把各函数展开到n阶，那么函数到底应该展开到几阶，就成为了求解极限的关键。回顾上面两个例子我们可以发现：

当极限为分式时，若分子或分母中只需要展开一个，那么只需要将其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数。

第9页（共12页）

当极限不为分式时，展开的阶数应与函数最高次幂相同。2.4 泰勒公式在高阶导数方面的应用

例7 已知f(x)x3ln(1x)，求fn(0)(n4)。

解 ln(1x)的n3阶泰勒公式为：

n3x2n2xln(1x)x(1)o(xn2)

(2.6)2n3则

nx5n2xf(x)x(1)o(xn).(2.7)2n34由于fx的n阶泰勒公式为：

f(0)2f(0)nf(x)f(0)f(0)xxxo(xn)

(2.8)

2!n!nf(0)(1)n2比较(2.7)(2.8)两式可知，n!n3n所以

fnn!(1)n2(n4)0n3例8 设函数f(x)在上,有三阶导数，并且f(x)和f(x)在,上有界，证明：f(x)和f(x)在,上也有界。

证明 设M0,M3R,f(x)M0，f(x)M3，则由泰勒公式可得：

f(x)f(1),1x,x1 26f(x)f(2)f(x1)f(x)f(x),1x,x1

26f(x1)f(x)f(x)两式相加得：

f(x1)f(x1)2f(x)f(x)f(1)f(2)

6第10页（共12页）

故有f(x)4M0两式相减得： M3,x, 3f(1)f(2)

6f(x1)f(x1)2f(x)故有f(x)M0M3,x,。6综上可知，f(x)和f(x)在,上也有界。

3 总结

对于泰勒公式，我们已经非常熟悉，它的应用在当今数学研究发展的过程中起到了重要的作用。通过以上几个方面的研究，让我们知道泰勒公式是函数展开的一种形式，使我们对泰勒公式及其应用有了一个总体上得认识，也使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使解题达到事半功倍的效果，只有了解了这些知识，并在此基础上不断加强训练，不断行进总结，才能使我们牢固掌握泰勒公式，进而才能善于熟练运用。可以说这样的学习能使我们养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，进而形成独特的解题技巧。在数学研究中，泰勒公式几乎是开辟计算捷径道路的基础，同时，也为今后进行泰勒公式的深入研究打下基础。泰勒公式在数学中的应用多种多样，恰当的运用泰勒公式能给我们解题带来很大的方便，想要掌握好泰勒公式的应用，需要综合各方面的知识，从题设和结论出发，找出能应用泰勒公式的条件，这样才能好的运用泰勒公式解决数学和生活中的问题，发挥它的优越性。

通过几个月的努力，我的论文基本完成了。在此，特别向吴老师表示崇高的敬意和衷心的感谢，是您不厌其烦的帮助我纠正和改进论文，才使我的论文得以完成，吴老师您严谨细致和一丝不苟的作风是我以后学习工作的榜样，您无私的教导给予了我无尽的启迪，您的鼓励和宽容让我拥有了面对挫折的信心，为我以后的学习工作埋下了一笔巨大的财富。感谢我的同学借电脑给我使用，还帮我找了不少素材。也感谢帮我修改英文翻译的同学。最后，在此感谢给我帮助和鼓励

第11页（共12页）的老师﹑朋友﹑同学，正是有了你们的帮助和鼓励，才使得我的大学生活画上了一个圆满的句号，才有了如今我的成就。

参考文献：

[1] 裘姚泰,王承国,章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.[2] 赵焕光,林长胜.数学分析(上册)[M].四川大学出版社,2006.[3] 胡国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报.2012.8，28(8):12-13.[4] 牛旭.泰勒公式在求函数极限中的应用[J].大众科技.2011，146(10):69-70.[5] 杜道渊.泰勒公式在高等数学中的若干应用.北京电力高等专科学校学报[J].2012.11，383.[6] 赵中，张秀全.泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用[J].天中学刊.2011.4，26(2):81-82.[7] 张智云.浅析泰勒公式的应用[J].课例研究.2011,10(5):79-80.[8] 杨镛.泰勒公式的应用[J].学科研究.2012.8.18:143.第12页（共12页）

第3篇：多元函数的泰勒公式

第九节多元函数的泰勒公式

内容分布图示

★ 二元函数的泰勒公式

★ 例1

★ 关于极值充分条件的证明

★ 内容小结

★习题8—9

★ 返回

内容要点：

一、二元函数的泰勒公式

我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数.对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数.现以二元函数为例叙述如下：

定理1 设zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到n1阶的连续偏导数,(x0h,y0k)为此邻域内任一点, 则有

1f(x0h,y0h)f(x0,y0)hkf(x,y)hk00xxf(x0,y0)y2!y2

11hkf(x,y)hk00x(n1)!yn!xynn1f(x0h,y0k)

(01).这个公式称为二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的n阶泰勒公式.推论1 设函数f(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，且在区域D内，有fx(x,y)0,fy(x,y)0，则函数f(x,y)在区域D内为一常数.二、极值充分条件的证明

例题选讲：

例1（讲义例1）求函数f(x,y)ln(1xy)的三阶麦克劳林公式.

第4篇：泰勒公式及其应用的提纲

目录

1.1泰勒公式的背景............（1）

1.2泰勒公式的意义...........（2）

1.3 不同类型的泰勒公式的余项的作用..........（5）

2.泰勒公式.......................（5）

2.1 带有皮亚诺余项的泰勒公式...............（6）

2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式...............（6）

3.二元函数的泰勒公式.................（8）

4.泰勒公式的应用................（10）

4.1 泰勒公式对于某些函数的应用................（10）

4.2用泰勒公式求极限...................（11）

4.3用泰勒公式求高阶导数...............（11）

4.4泰勒公式在证明不等式中的应用.........（12）

第5篇：泰勒

泰勒《课程与教学的基本原理》是特定时代的产物。一方面，泰勒从本世纪上半叶的哲学家和心理学家杜威、桑戴克、贾德和波特等人的学说中寻找理论依据，从现代课程理论先驱博比特和查特斯的研究成果中继承有用部分；另一方面，泰勒积极从事课程实践活动，尤其是投身于“八年研究”，从实践中汲取充分的养料。所以，泰勒的“课程原理”有它的理论背景和实践背景。

1918年，出版了第一本专门论述课程的书，那就是博比特的《课程》。人们一般认为它标志着课程作为专门研究领域的诞生。同时，全国教育协会“中等教育改组委员会”编著了《中等教育的主要原理》。从而拉开了美国20年代课程改革运动的序幕。

美国20年代课程改革运动的起因，在很大程度上是由于当时教育界人士和学生家长普遍认为：学校教育与当代生活不相干，因而没有实效。课程改革者几乎一致反对学校教育中与形式训练说有关的一切做法。他们认为，课程应该与当今事务有直接联系，应以功利为价值取向。因此，他们把泰罗在本世纪初提出的“科学管理原理”视为一种理想的模式。

泰罗的口号是“效率”。他强调“彻底的实际效用”。在科学管理原理中，“生产率”是一个核心概念；个体仅仅是整个生产系统中的一个要素。它的基本假设是：人是受经济利益驱动的；是一种可供操纵的生产工具。因此，若要提高生产率，就须用科学的原理来管理，即要分析工人的“特殊能力和限制条件，”以便使每个工人都处于自己最高效率和最大生产能力的状态。”

一些教育界人士对工厂企业的科学化管理运动，很快就作出反应。他们竟相仿效，并把这种“科学”方法运用于学校管理。所以，有人把这一时期称为“学校督导从教育者转变成经理的时期”。

效率运动不仅影响到学校管理，而且对课程理论也产生了深远影响。在效率运动的早期拥护者中，就有后来成为课程改革的学者博比特。事实上，现代课程领域的范围和研究导向，最早主要是由博比特确定的。

博比特后来在谈及自己的经历时说，引起他从事课程研究的原因，不只是为了学术研究，“而是由于感到这是一种社会需要”。正是由于上述这种“社会需要”，促成博比特的早期著作实质上遵循这样一条主线：把工业科学管理的原则运用于学校教育，继而又把它推衍到课程领域本身。这样，美国课程理论从一开始就依据这样的隐喻：学生是“原料”，是学校这架“机器”加工的对象。难怪后人称其为“学校工厂”（school一factory）。随后，博比特又把企业成本会计原理应用于学校的教学科目中。这样，学校课程的核心棗学科棗也围绕“效率”这个轨道运转。“效率等同于科学”，这就是当时一些课程理论工作者的看法。

博比特在现代课程理论史上的第一部专著《课程》中，将上述观点加以系统化和理论化。他认为：“教育实质上是一种显露人的潜在能力的过程，它与社会条件有着特殊的联系。”由于教育是要使学生为完美的成人生活作准备，因此，“我们首先应该根据对社会需要的研究来确定目标”。他指出，学习经验是达到目标的手段。为了使课程科学化，“我们必须使教育目标具体化”。因为“科学的时代要求精确性和具体性”。相应地，强调教育目标的具体化（particularization）和标准化（standardization），成了20年代初课程科学化运动的一个重要标志。

在博比特看来，课程是通过对人类活动的分析而被逐渐发现的东西，所以，“课程发现者首先是对人性和人类事务的分析者”。即要发现当代人类社会所需要的特定的“能力、态度、习惯、鉴赏力和知识的形式”。这种把人的活动分析成具体的和特定的行为单位的方法，即著名的“活动分析法”。

根据博比特《怎样编制课程》一书，可以把课程编制过程归纳成以下几个步骤： 1．对人类经验的分析。即把广泛的人类经验划分成一些主要的领域。通过对整个人类经验领域的审视，了解学校教育经验与其它经验的联系。

2．工作分析。即把人类经验的主要领域再进一步分析成一些更为具体的活动，以便一一列举需要从事哪些活动。

3．推导出目标。目标是对进行各种具体活动所需要的能力的陈述，同时也旨在帮助课程编制者确定要达到哪些具体的教育结果（博比特在《怎样编制课程》中，曾列举了人类经验的10个领域中的800多个目标）。

4．选择目标。即要从上述步骤得出的众多日标中选择与学校教育相关的、且能达到的目标，以此作为教育计划的基础和行动纲领。

5．制定详细计划。即要设计为达到教育目标而提供的各种活动、经验和机会。

第6篇：泰勒公式的证明

泰勒公式

(n)定理（peano余项型，洛必达法则法证明）若f(x0)存在, 则xU(x0)，f(x)Tn(x,x0)o(xx0)n.f(x0)f(n)(x0)2Tn(x,x0)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)L(xx0)n.2!n!Tn(x,x0)叫做f在x0的n次泰勒多项式，也叫f在x0的n次密切（“切线”）.f(x)Tn(x)0即可.证法 洛必达法则法的分析.按照洛必达法则往证limxa(xx0)n记Rn(x)f(x)Tn(x)，Qn(x)(xx0)，(n1)(x0)Rn(n)(x0)0，注意到 Rn(x0)LRnnQn(x0)LQn(n1)(x0)0，Qn(n)(x0)n!

f(n)(x0)存在，意味着f(n1)(x)在U(x0)内还可导.允许lim次.证明 连续n1次使用洛必达法则，得

Rn(x)0反复使用洛必达法则n1xaQ(x)0n(n1)Rn(x)0Rn(x)0 lim使结论成为两个函数值之差的比.limxa(n1)不断添入0，xaQ(x)0Qn(x)0n

f(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)(xx0)Llimxan(n1)L2(xx0)f(n1)(x)f(n1)(x0)1 limf(n)(x0)0.n!xaxx0注1 即使函数能表成f(x)Pn(x,x0)o(xx0)n，Pn(x,x0)不一定是泰勒多项式.f(x)xn1D(x)0，故f(x)oxn(x0).如f(x)xD(x),nN，由limnlimnx0xx0xn1虽然能写成f(x)00x0x2L0xnoxn，但是，根据海因定理，f(x)xD(x)n1，nN仅在0点仅1阶可导f(0)0（0的邻域内f(x)无定义）.2n故pn(x)00x0xL0x并不是f(x)在0处的泰勒多项式.注2 若f能表成f(x)Pn(x,x0)o(xx0)n，则多项式Pn(x,x0)是唯一的（不论可导性）.因为 若

f(x)Pn(x,x0)o(xx0)n则由（1）limf(x)a0，xx0

a0a1(xx0)a2(xx0)2Lan(xx0)no(xx0)n（1）

f(x)a0a1，xx0xx0f(x)[a0a1(xx0)]a2 反代入（1）式又得 limxx0(xx0)2反代入（1）式又得 lim……

由于极限唯一性，所以，Pn(x,x0)是唯一的.该结论叫做唯一性引理.它说明，peano余项型泰勒公式f(x)Tn(x)o(xx0)n中，f只能由Tn(x)来逼近（近似），或者说，在定理的条件下，Tn(x)来逼近（近似）f是最佳的逼近（近似）.定理（Taylor中值定理，Lagrange余项型，柯西中值定理法证明）

若函数f满足

ⅰ f(n)(x)在[a,b]上连续;ⅱ f(n)(x)在(a,b)内可导.f(n1)()(xx0)n1.则x,x0[a,b], (a,b), 使f(x)Tn(x,x0)(n1)!有的教材把[a,b]改为U(x0)，定理为：设函数f(x)在U(x0)存在n1导数，则xU(x0)，f(n1)()f(x)Tn(x,x0)(xx0)n1.(n1)!注 从证明可见，对f(n)(x)运用柯西中值定理时，对f(n)(x)在x,x0处的可导性没有要求.证法分析（华东师大本）若能整理成两个函数差的比，可以试用柯西中值定理.显然xx0时结论为0=0，讨论无意义.f(x)Tn(x,x0)f(n1)()当xx0时，不妨设x0x.结论相当于.n1(xx0)(n1)!n1把x0改为t，令 F(t)f(x)Tn(x,t)，G(t)(xt)

F(x0)f(n1)()F(x0)F(x)f(n1)()结论相当于，注意到F(x)0，结论即是.G(x)0，G(x0)(n1)!G(x0)G(x)(n1)!由柯西中值定理，代入导数，证毕.（倘若不把x0改成t，而是令F(x)f(x)Tn(x,x0)，G(x)(xx0)n1，虽恰有

F(x0)0，G(x0)0，把

F(x)F(x0)F(x)化成，但用柯西中值定理得不出所要结论）

G(x)G(x0)G(x)更一般形式的Taylor中值定理

定理（Lagrange余项型）若

ⅰ 函数f在U(x0)存在n1阶导数;

oⅱxU(x0),G(t)在[x,x0]或[x0,x]上连续，在(x,x0)或(x0,x)内可导，且G(t)0.则 (x,x0)或(x0,x)，使

G(x)G(x0)f(n1)()(x)n f(x)Tn(x,x0).n!G()n1特别地，取G(t)(xt)，可得Lagrange余项型的泰勒公式.f(n1)()(x)n(xx0)更特别地，取G(t)(xt)，G(t)1，则Rn(x)n!叫柯西余项.相应的泰勒定理叫做带柯西余项型余项的泰勒公式.f(x)Tn(x,x0)f(n1)()1证明 当xx0时，不妨设x0x.结论相当于.(x)nG(x)G(x0)n!G()F(x0)f(n1)()1把x0改为t，令F(t)f(x)Tn(x,t)，结论相当于.(x)nG(x)G(x0)n!G()F(x)F(x0)f(n1)()1(x)n注意到F(x)0，结论相当于.n!G()G(x)G(x0)由柯西中值定理，代入导数，证毕.特别地，取G(t)(xt)n1，可得Lagrange余项型的泰勒公式.更特别地，取G(t)(xt)，f(n1)()(x)n(xx0)就是柯西余项.G(t)1，相应的余项Rn(x)n!

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