三角证明题（共3篇）

作者：tomato0501648 | 发布时间：2020-06-12 09:22:20 收藏本文下载本文

第1篇：三角公式证明

公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac

三角函数公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

-----------------------三角函数积化和差和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正正在前

正减正余在前

余加余都是余

余减余没有余还负

正余正加余正正减

余余余加正正余减还负

.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

......已知sinα=m sin(α+2β), |m|

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

第2篇：三角形中三角等式证明

3．10 三角形中三角等式证明

1．三角形中的相关定理：勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理； 2．灵活进行边角较换，恒等式证明.【典型例题】

例1．在ΔABC中

ABC（1）求证：sinA + sinB + sinC = 4coscoscos.222（2）求证：sinA + sinB + sinC = 4 sinAsinBsinC.例2．在ΔABC中

ABBCCA（1）求证：tantantantantantan1.222222ABC（2）求证：tan2tan2tan21.问什么情况下取等号.222BCCAAB例3．在ΔABC中，求证sin(B + 2C)+ sin(C + 2A)+sin(A + 2B)= 4sinsinsin.222ABC例4．已知A、B、C是锐角,求证:cosA + cosB + cosC = 1+ 4sinsinsin的充要条件

222是A+B+C=π.【基础训练】

1．ΔABC中，cosA33sinA,则A的值为

（）

2 A．

B．

C．

D．或

2263672．若三角形的一个内角α满足sinα+cosα=，则这个三角形一定是

（）

12 A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 3．在ΔABC中，∠A>∠B，是sinA > sinB的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 4．在ΔABC中，∠C=60°，则cosAcosB的取值范围是

（）

11311 A．(,]

B．[0,]

C．[,]

D．以上都不对

244445．在ΔABC中，C=90°，则sin(A－B)+cos2A=___________.【拓展练习】

1．ΔABC中，下述表达式：

ABCBCA（1）sin(A+B)+sinC；（2）cos(B+C)+cosA；（3）tantan；（4）coec2222表示常数的是

（）

A．（1）和（2）

B．（1）和（3）

C．（2）和（3）

D．（2）和（4）

12．半径为1的圆内接三角形，三边长为a、b、c面积为，则下列结论成立的是

（）

4 A．abc > 1

B．abc

C．abc = 1

D．以上都不正确 3．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是

（）

A．tanαtanβ1

B．sinα+sinβ

1D．tan()tan()

224．在ΔABC中，化简sin2B + sin2C－2cosAsinBsinC=_______________.ABCABC5．在ΔABC中，化简sin2sin2sin22sinsinsin______________.2223226．在ΔABC中，化简cos4A+cos4B+cos4C－4cos2Acos2Bcos2C=______________.1cosAcosBcosCBC7．在ΔABC中，求证：tancot.1cosAcosBcosC222228．在ΔABC中，求证：（1）sinA + sinB + sinC = 2 +2cosAcosBcosC.（2）求证：cos2A + cos2B + cos2C = 1－2cosAcosBcosC.9．已知a + b + c = abc.求证：

2a1a22b1b22c1c28abc(1a)(1b)(1c)222.10．在ΔABC中，若cos3A + cos3B + cos3C = 1，求证：ΔABC中必有一个内角为120°.xyyzzx11．已知任意角x，y，z满足关系式cosx + cosy－cosz = 4cos，sinxsin222试求x + y + z的值.12．锐角ΔABC中，O、G分别为此三角形的外心和重心，若OG//AC，求证：tanA、tanB、tanC成A、P.2