证明函数连续（共5篇）

第1篇：证明分布函数右连续

首先引入Heine定理:

存在的充要条件是:对属于f(x)定义域的任意数列

=a,xn不等于a,有

=b.下面证明分布函数(F(x)=P{X x})的右连续性, 因为F(x)是单调有界不减函数,所以任一点x0的右极限必存在.由Heine定理,只要对单调下降的数列x1>x2>...>xn>...x0,当xn x0(n)时，=F(x0)成立即可.因为

参考资料:百度百科 :海涅定理,概率论与数理统计教程(茆诗松等编).1

第2篇：函数连续

第一章 函数、极限、连续 第四节

函数连续性

有关知识：

（1）连续与间断的概念及间断点分类．

（2）闭区间上连续函数性质及应用（中间值存在性证明及方程根存在性证明）．（3）f(x)在x0处连续f(x)在x0处既左连续又右连续．

例1：设f(x)在(0,1)内有定义，且函数exf(x),ef(x)在(0,1)内都是单增函数，证明f(x)在(0,1)内连续．

分析：欲证f(x)在x0(0,1)处连续，需证左，右都连续 证明：对x0(0,1)，由题设知当x(x0,1)时，有

e所以 ex0xx0f(x0)exf(x),，ef(x0)ef(x)

f(x0)f(x)f(x0)

xx0f(x)f(x0)，即f(x)在x0处右连续 令xx0，由夹逼定理得lim类似地，可证f(x)在x0处左连续，于是得结论．

例２：设f(x)在[a,b]上连续，且对x[a,b]，存在y[a,b]，使得|f(y)|证明：至少存在一点[a,b]，使得f()0． 分析：初一看无处下手，此时可试一试反证法。

证明：若对x[a,b]，f(x)0，则f(x)在[a,b]上恒正或恒负，不妨设f(x)0,x[a,b]，则x0[a,b]，使得 f(x0)minf(x)m0

x[a,b]1|f(x)|，2对此x0，存在y，使得 f(y)|f(y)|从而得出矛盾．故结论成立．

1m|f(x0)| 22例３设f是定义在一个圆周上的连续函数，证明存在一条直径，使得f在直经的两端取相同值． 分析：首先要将问题用数学语言表达，设圆周的圆心为O，取圆周上一点A，B为圆周上任一点，记AOB,[0,2]，则该问题用数学语言表达为：

已知f()在[0,2]上连续，且f(0)f(2)，求证存在0[0,]，使得f(0)f(0)． 此问题的证明不困难：

Pageof 3 令F()f()f()，则F(0)F()0，从而由连续函数的性质知 0[0,]，使得

F(0)0，即可得结论．

或 令F()f()f()，则F(0)F()0，从而由连续函数的性质知

0[0,]，使得

F(0)F(0)F()0，即可得结论．

2或 可用反证法证明，请同学们完成。

由闭区间上的连续函数的性质推得的两个结论是可以直接用的：

（1）设f(x)在区间[a,b]上连续，若f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值分别为M和m，则f(x)在区间[a,b]上的值域为[m,M]。

（2）设f(x)在区间[a,b]上连续，则对任意的x1,x2,,xn[a,b]，存在[a,b]，使得1nf()f(xi)。

ni1练习题

x2n1ax2bxb_______1．设f(x)lim 为连续函数，则a_______,．

nx2n1(答案:０，１)11２．求f(x)x1x的间断点，并确定其类型．

11x1xexbx1为可去间断点，３．设f(x)，且已知xe为无穷间断点，则b_______．

(xa)(xb)(答案:ｅ)

４．设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且对x,y(a,b)，有

f(xyf(x)f(y)) 22 证明：f(x)在(a,b)内连续．

（任取 x0(a,b)，由题设有f(xx0f(x)f(x0))，令xx0，可得 22Pageof 3

f(x00)f(x0)，令xx0，可得f(x00)f(x0)；

又f(x0)f(x0hx0hf(x0h)f(x0h))，令h0，可得

22f(x00)f(x00)2f(x0)，所以有 f(x00)f(x00)f(x0)）

５．设f(x)在(,)内连续，且limf(x)，f(x)的最小值f(a)a，求证f(f(x))x至少在两个不同的点处取得它的最小值．

（易见 f(f(x))的最小值为f(a)，故只需证存在x1x2，使得f(x1)f(x2)a）６．设f(x)在(,)内连续，且f(f(x))x，求证存在一点，使得f()．（用反证法证明）

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第3篇：证明函数一致连续的几种方法

第２６卷第１２期２０１０年１２月贵州师范学院学报ＪｏｕｍａｌｏｆＧｎｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＣｏＵｅｇｅＶ０１．２６．Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２０１０证明函数一致连续的几种方法唐美燕（广西师范大学数学科学学院，广西桂林５４１００４）摘要：主要从五个方面探究证明函数一致连续的方法：从导函数判断函数是否一致连续；利用Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ条件，推导出判断复合函数是否一致连续的方法；由函数定义域上数列的ｌｉｍｘ．存在，而ｌｉｒａｆ（膏．）不存在，从而ｔｔ．．－．ｍ■—●－一得以石）不一致连续；从函数以毒）导数的极限判断函数一致连续；用另一个函数给出函数一致连续的充要条件。主要的研究方法是放缩条件、类比、等价转化。关键词：函数；一致连续；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件；可导；极限中图分类号：０１７４文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—７７９８（２０１０）１２—０００７—０４Ｓｏｍｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ§ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙＴＡＮＧＭｅｉ—ｙａｈ（ＣｏＨｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕａｎｇｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｌｌｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ，５４１００４Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｋｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｔｈｒｏｕｓｈｆｉｖｅａｒｅａｓ．ｆｕ－ｓｔ，ｕｓｉｎｇｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｅａｒｃｈｅｓｆｏｒｔｈｅｗａｙｓｏｆｐｒｏｖｉｎｇＬｉｐｓｃｈｉｍｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｆｕｎｅｔｉｏｎ备ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｓｅｃｏｎｄ，ｕｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｍ；ｔＩｌｉｒｄ，ｌｉｍｘ。ｅ】【ｉｓｔｓｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｆｏｕｒｔｈ，ｕｓｉｎｇｔｏｊｕｄｇｅｗｈｅｔｈｅｒｔｈｅｃｏｍｐｏｓｉｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｎｏｔａｒｅｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｔｈｅｄｏｍａｉｎｏｆａｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｂｕｔｌｉｍｆ（Ｘｔｓ）ｄｏｓｅｔｏｅｘｉｓｔ，ｓｅｆｃ髫）ｉｓｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｒｃｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ§ｌｉｍｉｔｔｉｏｎｔｏｊｕｄｇｅｗｈｅｔｈｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｓｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｆｉｆｔｈ，ｕｓｉｎｇ＆ｒｌｏｔｈｅｒｆｕｎｅ—ｇｉｖｅＢｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ§ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ．Ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｓ‘ｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒａｒｅａｎａｌｏｇｙ。ｓｃａｌｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｌｉｍｉｔ０引言步探究证明函数一致连续的方法非常必要．很多文献研究函数一致连续性得到了一些结论，比如：定理１８３若ｆｃ算）在区间，上满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ许多数学分析教科书中证明函数一致连续的方法，通常使用函数一致连续的定义…：设八戈）为定义在区间，上的函数，若对于任意的占＞０，存在艿＝艿（占）＞０，使得对任意的茗’，∥∈，只要Ｉ石７一茗”Ｉ＜艿，就有Ｉ以茹’）一ｆｃ石”）Ｉ＜占，则称ｆｃ菇）在区间，上一致连续．其次是一致连续性定理Ｈ１：若函数ｆｃ茁）在闭区间【口．６】上连续，则以戈）在【口．６】上一致连续．用定义证明函数一致条件即存在常数Ｌ，对任意的石７，∥Ｅ，有Ｉｆｃ茗’）一ｆｃ茗”）Ｉ≤ＬＩ戈’一戈”Ｉ，则ｆｃ茗）在，上一致连续．在此定理的基础上，人们又不断的研究得出了如下定理：定理２【２３若函数以茗）在区间，上可导，且厂（茗）在区间，上有界，则ｆｃ髫）在，上一致连续．连续比较复杂，用一致连续性定理来证明虽然简单，但使用的范围只能在闭区间上．如果是在其它区间上，又如何证明函数的一致连续性，于是进一如果函数可导，那么函数是否一致连续就可以判断了．在数学中不可导的函数也有很多，此时这个定理就不实用．人们不断探索，得出了一些定理：收稿日期：２０１０—１２—０３作者简介：唐美燕（１９８５一）。女，瑶族，广西师范大学数学科学学院数理统计２００８级研究生。一７一万方数据定理３［３１函数ｆｃ茗）在，上是一致连续的充要条件是对，上满足条件一ｌｉｒａ。（‰一儿）＝０的任意两个点列，有一ｌｉｒａ。（以石。）一以）。））＝０・定理４［４１设函数八菇）在区间【ａ，＋∞）上局部可积，且八并）在区间【口，＋∞）上有界，则Ｆ（菇）＝Ｉ八ｓ）ｄｓ在区间【口，＋∞）上一致连续．定理５Ⅲ设函数以石）为区间（一∞。＋∞）上的连续的周期函数，则以石）在（一∞。＋∞）Ｅ＿致连续定理６【５１若函数以菇）在【口，＋∞）连续，且ｌｉｒａ以戈）存在，则以菇）在【口，＋∞）上一致连续．定理７【６１函数以石）在区间（口，６）上一致连续的充要条件是八ｘ）在区间（口。６）上连续，且ｌｉｍｆ（石）与ｌｉｍｆ（菇）都存在有限．１应用的定理及定理的拓展１．１利用导函数判断函数是否一致连续引理１．１．１［２１若函数几戈）在区间，上可导，且厂（菇）在区间，上有界，则八石）在，上一致连续．定理１．１．１单调递增可导，且任意的戈。，并：∈（一∞，口］有掣≤“半），若函数八茹）在（一∞，口］上是则八髫）在区间（一∞，口］上是一致连续函数…ｃ一小有掣≤“半），证明：因为函数以茹）在（一∞。口］上是单调递增可导，所以厂（茗）≥０．又因为对任意的．菇。，所以以髫）在（一∞，口］上是上凸函数，于是厂（戈）在Ｃ一∞，口］上单调减少，则厂（菇）在（一∞，口］上有界，所以厂（菇）在区间（一∞，口］上是一致连续函数．定理１．１．２函数厂（髫）在有限开区间（口，６）上有连续的导函数厂（石），且ｌｉｍｆ（菇）与菇均存在有限，则以石在口．上一致连续．证明：因为函数八石）在有限开区间（口。６）上有连续的导函数厂（茗），且ｌｉｍＪ＂（并）与］ｉｍｆ（菇）均存在有限，则～８一万方数据ｒｌｉｍｆｔｚ），茗＝口，Ｆ（石）＝｛厂（石），石∈（口，６），Ｉ一＋ｌｌｉＩ矿（菇），茹＝ｂ在【Ｄ，６】上连续．所以Ｆ（茗）在【口。６】上有界，即存在Ｍ＞０，使ＩＦ（石）Ｉ＜Ｍ，则ｌ厂Ｃｘ）Ｉ＜Ｍ，所以以茹）的导函数厂（髫）在（口。６）有界，由引理１．１．２得以石）在（口，６）上是一致连续函数．定理１．１．３函数以戈）在（口．＋∞）（【口．＋∞））上有连续的导函数厂（菇），且ｌｉｍＴ（ｘ）与ｌｉｍｆ（ｘ）均存在有限，则以石）在（口，＋∞）（［口，＋∞））上一致连续．证明：令ｌｉａｒ（ｘ）＝Ａ，则取占＝１，当０＜茗一ａ＜艿，其中艿＞０，由函数极限的局部有界性，得Ｉ厂（戈）一ＡＩ＜１，’所以Ａ一１＜厂（菇）＜Ａ＋１，所以Ｉ厂（茗）Ｉ＜ＩＡＩ＋１，于是厂（石）在（口。Ⅱ＋６）上有界．令ｌｉｍｆ（石）＝Ｂ，则对取定的占＝１，存在肘（＞口），当菇＞Ｍ时，有Ｉ厂（茹）一日Ｉ＜１，所以ｌ厂（龙）Ｉ＜ｌＢＩ＋１，于是厂（菇）在（肘．＋∞）上有界．又因为【堑笋，肘＋１】上连续，于是厂（名）在【堑尹，Ｍ＋１】上有界，则令Ｉ厂（石）Ｉ≤ｃ．所以厂（菇）在（口。＋∞）上有界，即Ｉ厂（髫）ｌ≤ｍａｘ｛ＩＡＩ＋１，Ｉ８Ｉ＋１，ｃ】＿，于是以ｚ）的导数厂（戈）在（Ｄ。＋∞）上有界，所以八茹）在（口．＋∞）上一致连续．注定理１．１．３中的（口．＋∞）变成【口，＋∞），（一∞，６】，（一∞，６）或是（一∞．＋∞），命题仍然成立．推论１．１－ｌ函数厂（石）在有限开区间（口，６）上有连续的导函数厂（戈），若厂（戈）是（口，６）上的一致连续函数，则以菇）在（口．６）上为一致连续函数．厂（石）在（口，＋∞）上连续，所以厂（石）在证明：函数以茗）的导数厂（茗）是（口．６）上的一致连续函数，则厂（菇）在（口．６）上有界，则以茗）的导数，（髫）有界，所以以ｚ）在（口，６）上也是一致连续函数．注当推论１．１．１中的有限开区间变成无限区间时，命题就不成立．例如：，＝算２在（一∞，＋∞）上有连续的导函数），’＝２ｘ，且），’＝２ｘ在（一∞．＋∞）上一致连续，但ｙ＝茹２在（一∞．＋∞）上不一致连续．１．２利用Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件。判断复合函数是否一致连续引理１．２．１【２１若ｆｃｘ）在区间，上满足Ｌｉｐ—ｓｃｈｉｔｚ条件即存在常数￡，对任意的茗’，茁”Ｅ，有Ｉ八茹７）一以髫”）Ｉ≤￡Ｉ戈’一菇”Ｉ，则ｆｃ石）在，上一致连续．定理１．２．１函数以茹）在，上满足Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ条件即存在ｍ＞０，对任意茗’，菇”∈，有Ｉｆｃ菇’一石”）Ｉ≤，ｎｆ石７一茗”Ｉ，且ｇ（髫）为，’上一致连续函数且ｇ（省）的值域包含于，则ｆｃｇ（菇））在，７上一致连续．证明：因为ｇ（石）在，７上是一致连续函数，则有任意的占＞０，存在６＞０，当石’，茗”Ｅ，’，且ｌ菇’一菇”Ｉ＜占时，有Ｉｇ（ｘ’）一ｇ（ｘ”）Ｉ＜旦１７＇１，所以Ｉ八ｇ（ｘ’））一八ｇ（ｘ”））Ｉ≤ｍＩｇ（ｘ’）一舭吲＜１７Ｚ。詈＝占，所以ｆｃｇ（菇））在，’上一致连续．推论１．２．１若：＝Ｆ，）在（ａ，／３）上一致连续，），＝ｆｃ菇）是（口．６）上的一致连续函数，且八菇）∈（ａ，卢），则复合函数Ｆ（以茹））在（口，６）上一致连续．证明：设以石１）＝，ｌ，ｆｃ菇２）＝毙，则，ｌ。ｙ２Ｅ（ａ，届），因为彳＝Ｆ（ｙ）在（ａ，／３）上一致连续，所以任意的８＞０，存在艿，＞０，当任意的Ｙｌ，毙Ｅ（ａ，届），且Ｉ），ｌ—ｙ２Ｉ＜艿ｌ时，有ｆＦ（ｙ１）一Ｆ（儿）Ｉ＜占．又因为），＝厂（菇）在（口．６）上一致连续，所以对上述６，＞０，存在５＞０，使得任意的菇。，戈２Ｅ（口。６），当Ｉ髫１一石２Ｉ＜６时，有Ｉｙｃ菇１）一ｆｃ工２）Ｉ＜艿ｌ，所以万方数据ｌＦ（Ｙ１）一Ｆ（ｙ２）Ｉ＝ＩＦ（以髫１））一Ｆ（ｆ（ｘ２））Ｉ＜占，则函数Ｆ（ｆｃ石））在（Ｄ，６）上一致连续．１．３由函数定义域上数列的ｌｉｍｘ。存在，ｌｉⅡ以菇。）不存在．而得以茹）不一致连续引理１．３．１１３］函数八菇）在，上是一致连续的充要条件是对，上满足条件一Ｉｉｍ。（菇。一）。）＝０，的任意两个点列，有一ｌｉｒａ。（以菇。）一以丘））＝０・定理１．３．１设＾菇）为，上的函数，若定义域上存在数列｛菇。｝，且ｌｉｍｘ。存在，但１ｉＩ理厂（戈。）不存在，则以菇）在，上不一致连续．证明令ｌｉｍｘｎ＝石ｏ．（ｉ）当戈。∈，时，由ｌｉｒａｆ（菇。）不存在，得连续．（ｉｉ）当‰隹，时，由ｌｉｍｘ。存在即对任意的ｓ＞０，存在Ｎ∈Ｎ＋，当ｎ＞Ⅳ时，有ｌ茹。一并ｏｌ＜Ｆ，所以‰是区间，的边界点．又因为１ｉ嗽％）不存在，所以ｌｉｒａｆ（ｘ）或是如ｍｆ（ｘ）不存”。Ｉ－“矿’ｑｆ在，由定理７［６１得以石）在，上不一致连续．综上所述，函数以戈）在，上不一致连续．１．４从函数八髫）导数的极限寻找判断函数一致连续的方法引理１．４．１吲若函数以菇）在【口，＋∞）可导，且ｌｉｒａｌ厂（髫）Ｉ＝Ａ（常数或４－∞），则【ｏ，＋∞）上是一致连续函数的充要条件是Ａ为常数．定理１．４．１若以茹）为【口，＋∞，）（（ｏ，＋∞）或（一二。＋∞））上的单调可导下凸函数，则以龙）在【口，＋∞）（（８，＋∞）或（一∞，＋∞）））上不一致连续．证明：因为以石）为【ａ，＋∞）（（口，＋∞）或（一∞，＋∞））上的单调可导下凸函数，所以ｌｉｒａＩ厂（茹）ｌ＝＋∞，所以几菇）在【ｏ，＋∞）（（口，＋∞）或（一∞，＋∞））上不一致连续．推论１．４．１若以菇）为【口，＋∞）一９一以菇）在茗＝石。处不连续，所以以石）在，上不一致以茗）在（（ａ，＋∞）或（一∞。＋∞））上可导，且ｌｉｒａｌ厂（戈）ｌ＝＋∞，贝Ⅱ函数以ｚ）在【口，＋∞）（（口，＋∞）或（一∞，＋∞））上不一致连续．注当推论１．４．１中的ｌｉｒａＩ厂（菇）Ｉ＝＋∞改成不存在时，推论１．４．１不一定成立．例如：Ｙ＝ｓｉｎｘ（茗∈（一∞．＋∞））的导数为Ｙ’＝ＣＯｆｌｄｇ，则ｌｉｍｌｃｏ瞄ｌ不存在，但Ｙ２ｓｉｎｘ（石∈（一∞．＋∞））上一致连续．１．５从一道考研题中得到函数八戈）一致连续的充要条件下面是北京师范大学１９８１年研究生入学考试的一道试题，题目如下：设函数八菇）在【口，６】上连续，求证：存在一个函数９（＾）在（Ｏ．＋∞）上具有下述性质：①９（Ｊ１）在（０．＋∞）上单调递增，且当ｈ≥ｂ—ａ时，妒（矗）＝常数；②对任意髫’，∥Ｅ【口．６】，有Ｉ以石’）一以互”）Ｉ≤妒（Ｉ茗’一石”１）；③ｌｉｍｑ，（ｈ）＝０．证明令蛳）：ｒ凸，‘以护以，川腾挺６。口’【妒（ｂ一口），＾＞ｂ一口，则９（＾）在（０．＋∞）上单调递增，对任意的石’，戈”Ｅ【口．６】，有ｆ以ｚ’）一ｆｃ石”）Ｉ≤９（Ｉ茗’一髫”Ｉ），且当ｈ≥ｂ一口时，妒（＾）＝９（ｂ一口）．又因为以髫）在【口，６】上一致连续，所以对任意占＞０，存在艿＞０，使得当茁ｌ，Ｘ２∈【口，６】时且Ｉ石ｌ一石２ｌ＜艿时，有Ｉ八茗１）一以菇２）Ｉ＜８．任意的ｈ，满足０≤ｈ＜艿，当ｘ，ｙ∈【口。６１时且ｌ石一Ｙｌ≤ｈ＜６时，有９（＾）＿Ⅵｓ山ｕｐ朋ｌ以茗）一以，）ｌ≤占，ｌｌ一卅‘＾所以ｌｉｍ９（＾）＝０．从此考题推出判断函数一致连续的充要条件：定理２．５．１函数八菇）在，上一致连续的充要条件是存在函数ｐ（＾）满足下列条件：（ｉ）妒（＾）在（０。＋∞）上单调递增；一１０一万方数据（ｉｉ）对任意菇’，茹”ＥＪ，有Ｉ几茗’）一以∥）Ｉ≤９（Ｉ石’一髫”１）；（ｉｉｉ）ｌｉｍ妒（矗）＝０．证明［必要性］定义函数９（＾）：（０，４－∞）－＋尺如下：９（＾）＝ｓｕｐｆｌ琢＾Ｉ以菇）一八，）Ｉ，则妒（＾）在（Ｏ，＋∞）上是单调递增，且对任意茗’，矿∈Ｊｒ，有Ｉ以菇’）一以茹”）Ｉ≤妒（１菇’一茗”Ｉ）．又因为以茗）在，上一致连续，所以对任意占＞０，存在６＞０，使得当髫Ｉ，菇２Ｅ，时且Ｉ茗１一戈２Ｉ＜艿时，有Ｉ以菇１）一∥菇２）Ｉ＜ｇ．任意的ｈ，满足０＜ｈ＜艿，当髫，Ｙ∈，时且Ｉ石一Ｙｌ≤ｈ＜５时，有妒（＾）＝ｓｕＢ，．ＹＥＪＩ以石）一以ｙ）ｌ≤占，Ｉ￡—，１‘＾所以ｌｉｍ妒（＾）＝０．［充分性］因为ｌｉｍｌｉｏ（ｈ）＝０，所以任意的占＞０，存在艿＞０，当０＜ｈ＜艿时，有Ｉ９（矗）Ｉ＜占，又因为茗’。∥∈，有Ｉ以ｔ）一以茹”）Ｉ≤妒（１茗’一菇”Ｉ），所以当Ｉ髫’一矿Ｉ＜艿时，则Ｉ以菇７）一以髫”）Ｉ≤妒（Ｉ菇’一菇”Ｉ）＜８，所以以菇）在，上一致连续．参考文献：［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）［Ｍ］（第三版）．北京：人民教育出版社，２００１．７９—８２．［２］王少英．一致连续函数的判别法［Ｊ］．唐山师范学院学报，２００７，（０５）：９２—９４．［３］范新华．判别函数一致连续的几种方法［Ｊ］．常州工学院学报，２００４，（０４）：４９—５１．［４］洪敏．关于一致连续函数的判别［Ｊ］．惠州学院学报，２００５，（０３）：１１４—１１６．［５］杨峻，何朝兵．函数一致连续性的判定［Ｊ］．安阳师范学院学报，２００６，（０５）：１０一１１．［６］邢玉红．函数一致连续性的证明［Ｊ］。青海师专学报，２００７。（０５）：４５—４７．［责任编辑：雍进军］证明函数一致连续的几种方法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：唐美燕，TANG Mei-yan广西师范大学数学科学学院,广西,桂林,541004贵州师范学院学报JOURNAL OF GUIZHOU EDUCATIONAL INSTITUTE2010,26(12)

参考文献(12条)

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第4篇：函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.

设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim(

2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim(

ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.

求n(a0).n

17.

求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.

求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim(

1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.

判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.

41.

设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.

设f(x(0x

),求f(x).43.

设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.



50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

（共

第5篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a

9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x0

10、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y

12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x

13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx1

5、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x

3、求函数fx的间断点，并判定类型。 2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10

因为f(0).f(1)

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

证明连续

证明函数（共17篇）

函数极限证明

证明函数fx

证明函数收敛