高中数学函数题小结

作者：fzxm8667 | 发布时间：2021-02-22 18:59:17 收藏本文下载本文

高中数学函数复习1 已知 R x 时，二次函数 c bx ax x f   2)(恒非负，且 b a ，求a bc b a 的最小值.【解析】法 1.二次函数 c bx ax x f   2)(恒非负，且 b a ，则 0   a b，即 1 ab.又因为 0 42    ac b，即得abc42，令 tab 1，则)0(1    t tab，因此，323494***2222       tttt tabababa babb aa bc b a.当tt4941，解得 3  t，即 a b 4 ，且 aabc 442  时，3)(min  a bc b a.法 2.依题意 0  a b，且 ac b 42 于是，可设 x a b  ，则)0(   x x a b，即得 ac x a 4)(2 ，即ax ac4)(2，故 32349449234 4)(22 2      xaaxxa xaxxax ax aa bc b a.当ax acxaax4)(4942，即 a c b 4   时，3)(min  a bc b a.法 3.令a bc b at ，则)()(b a t a b c    ，且 0  t 依题意 0  a b，且 ac b 42，0)1(4)1(4)(2     tabtab有解，即得0)1(16)1(162      t t，解得 3  t，当 3  t 时，0)4(0 16 8)(2 2     ababab，即得 a b 4 ，a c 4  时，3)(m i n  a bc b a.法 4.依题意 0  a b，且 ac b 42，则acab2 1  ，1 221121   acacabaca bc b a，令21 acx，因此3)1 2(4941 2231 2212   xxxxa bc b a.当 2  x 及acab2 ，即 a c b 4   时，3)(min  a bc b a.法 5.因为 0)(2    c bx ax x f 恒成立，故 0 2 4)2(     c b a f，即得)(3 a b c b a    ，因为 b a ，所以 3  a bc b a，当 0 2 4    c b a 及 ac b 42，且 0  a b 取得最值，此时 0)4(2 c a，即得 a c b 4   时，3)(min  a bc b a.【变式】.若实数 c b a , , 满足b a b a   2 2 2，c b a c b a     2 2 2 2，则 c 的最大值为为【解析】 3 log 22 方法 1 2)22 2(2 2 2b ab a b a  ，所以，4 2 2  b a，而c b a c b a c b a2)2 2(2 2 2 2      ，可得432 21121 b a c，即得，3 log 22  c，当且仅当 1   b a，取等号.方法 2 设ax 2 ，by 2 ，则 4     xy xy y x，3411112  xy xyxyc，即得 3 log 22  c.2 设设N y x,，1 0 0 1 1 6     x x y，则 y 的最大值是.【解析】令 116   x a，100   x b，因为N y x,，所以N b a,，由此可得 2162 2 a b，即得3 33 2))((    a b a b，而  N a b)(且  N a b)(，又因为 b a x x y       100 116，要使得 y 的最大，即得 a b  最大，那么 a b  最小.若 1   a b，则 216   a b，解得  N b2217，矛盾，此种情形不成立；若 2   a b，则 108   a b，即得 55  b，53  a，符合题意，因此 a b  最小值为 2，那么 a b  的最大值为 108，于是 53 116   x a，即 2925  x 时，y 的最大值是 108.3.若函数)(x f y  是定义在 R 上的函数，且满足：

① 0)( x f ；②)(x f y  是偶函数；③)1(  x f y 是奇函数，且当 1 0   x 时，x x f lg)(.则方程 2012)( x f 在区间)10 , 6( 内的所有实数根之和为 A.8 B.12 C.16 D.24

【解析】因为)(x f y  是偶函数，则)1()1(    x f x f ；又因)1(  x f y 是奇函数，则)1()1(     x f x f，于是，)1()1(      x f x f，即得)2()(   x f x f，因此)()2()4(x f x f x f     ，由此可得，)()4(x f x f  ，函数)(x f y  定义在 R 上周期为 4 的函数.由 1 0   x 时，x x f lg)(，那么，若 0 1    x，而)()(x f x f  ，因此)lg()(x x f   ；若 1 2     x，则 0 2 1      x，于是，)2 lg()2(    x x f，因为)1()1(     x f x f，所以)()2(x f x f    ，因此，当 1 2     x 时，)2 lg()(   x x f ；若 2 1  x，则 1 2     x，而)()(x f x f  ，因此，2 1  x 时，)2 lg()(    x x f，又因为 0)6()4()2()2()4()0(        f f f f f f，由此可得，函数)(x f y  在区间)10 , 6( 内图象如图所示：

因此方程 2 0 1 2)( x f 在区间)10 , 6( 内根有 8 个，从小到大一次为8 7 6 5 4 3 2 1, , , , , , , x x x x x x x x，而 82 1   x x，04 3  x x，86 5  x x，168 7  x x，由此可得，168 7 6 5 4 3 2 1        x x x x x x x x 4 已知函数2)1 ln()(x x a x f   ，若在区间)1 , 0(内任取两个不同实数 n m,，不等式1)1()1(  n mn f m f恒成立，求实数 a 的取值范围.【解析】不妨设 n m，那么不等式 1)1()1(  n mn f m f恒成立等价于n n f m m f     )1()1(，构造函数 x x f x g   )1()(，则函数)(x g 在区间)1 , 0(上单调递减，则

0 1)1(22)(     xxax g 恒成立.即得，6 7 22   x x a 在区间)1 , 0(上恒成立，可得 6  a.5 5.若二次函数 c x ax x f    2)(2的值域是), 0 [ ，求1 12 2 acca的最小值.【解析】因为二次函数 c x ax x f    2)(2的值域是), 0 [ ，所以 0  a，且 0 4 4     ac，即得 1  ac 法 1 因为c caca acaacca22222 21 1，由柯西不等式，可得 2 2 22222)()]())[((c a c ca a acc caca aca     所以，12)(2)()(22 222222   acc ac ac ac ca a acc ac caca aca 法 2 因为c aca a cacac acac caacca  1 11 12 2 2 2 而c a c a c aaa a ccc c aca a cac      2 1 1)1(1)1(1 1 1 又因为 2121 1  ac c a，且 122 2 acc a，所以 12 1 1 c a c a，即得 11 12 2 acca 6 定义域为 R 的函数 )2(, 1)2(,| 2 |1)(xxx x f，若关于 x 的方程 0)()(2   c x bf x f 恰有 5 个不同的实数解5 4 3 2 1, , , , x x x x x，则     )(5 4 3 2 1x x x x x f（（）A.41 B.81 C.121 D.161 【解析】因为函数 )2(, 1)2(,| 2 |1)(xxx x f 的图象关于直线 2  x 对称，若关于 x 的方程0)()(2   c x bf x f 恰有 5 个不同的实数解，令)(x f t ，则 0)()(2   c x bf x f 变换为 02   c bt t，即得方程 02   c bt t 有两个不等正实根2 1 ,tt，且一个根为 1，不妨设 11 t.当 11 t 时，直线 11  t y 与函数 )2(, 1)2(,| 2 |1)(xxx x f 的图象有三个交点，不妨设交点的横坐标为3 2 1, , x x x，解得，11 x，32 x，23 x ；

当)0 1(1   c c t 时，直线 c t y  2与函数 )2(, 1)2(,| 2 |1)(xxx x f 的图象有两个交点，设交点的横坐标为5 4 , xx，由于两交点关于直线 2  x 对称，故 45 4  x x.因此，105 4 3 2 1     x x x x x，所以81)10()(5 4 3 2 1      f x x x x x f 【变式】定义域为 R 的函数 )2(, 1)2(,| 2 |1)(xxx x f，若关于 x 的方程 0)()(2   c x bf x f 恰有3 个不同的实数解3 2 1, , x x x，则   232221x x x 【解析】因为函数 )2(, 1)2(,| 2 |1)(xxx x f 的图象关于直线 2  x 对称，若关于 x 的方程0)()(2   c x bf x f 恰有 3 个不同的实数解，令)(x f t ，则 0)()(2   c x bf x f 变换为 02   c bt t，即得方程 02   c bt t 有两个相等的正实根，且根为 1，当 11 t 时，直线 11  t y 与函数 )2(, 1)2(,| 2 |1)(xxx x f 的图象有三个交点，不妨设交点的横坐标为3 2 1, , x x x，解得，11 x，32 x，23 x，故 14232221   x x x 7 函数)(x f 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 0)2( f，则方程在区间)6 , 0(内解得个数的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.7 【解析】选 D)(x f 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，可得，)5()2(f f ，)1()1()2(f f f    ，)4()1(f f ，所以 0)5()4()2()1(    f f f f ；又因为)(x f 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，所以 0)3()0(  f f，而)5.1()5.1()5.1(f f f    ，所以 0)5.1( f，可得 0)5.4( f.由此可知，在区间)6 , 0(上至少能过知道：

0)5()5.4()4()2()5.1()1(      f f f f f f.8.已知函数 1 3)(3 5   x x x f，求不等式 2)()1 2(   x f x f 的解集.【解析】令3 53)(x x x g  ，则 1)()(  x g x f，即得 2)()1 2(   x f x f 等价于)()1 2(x g x g   ，由函数3 53)(x x x g  ，可得 0 9 5)(2 4    x x x g，且)()(x g x g   ，所以函数3 53)(x x x g  在 R 上为单调递增的奇函数.于是不等式)()1 2(x g x g   ，可变形为)()1 2(x g x g   ，即得

x x   1 2，解得31 x，所以不等式 2)()1 2(   x f x f 的解集是),31(.【变式】.已知函数)(1 | |1 sin | |)(R xxx xx f   的最大值为 M，最小值为 m，则  m M 2.9 已知函数 2()(2)f x x x   4(,)3x    数是否存在实数 k，使得函数()f x 的定义域为  , m n，其值域为   1, 1 km kn   出，如果存在求出 k 的范围，如果不存在说明理由。

10.