《简明线性代数》要点总结
《简明线性代数》要点总结
1 题记：
希腊哲人柏拉图在他的学院门口刻着这样的名言：“不懂几何者，莫入此门。”
1919年，蔡元培校长在厘定各系秩序时说：“大学宗旨，凡治哲学文学应用科学者，都要从纯粹科学入手；治纯粹科学者，都要从数学入手，所以各系秩序，列数学系为第一系。”
数学家冯·诺依曼说：“数学是一所优秀的思维学校，它使人们习惯于逻辑思考，经历了它以后你可以比没有经历它的人更有效地进行思维。”
数学教育家Lynn Arthur Steen说：“要使数学成为整个教育管道中的泵，而不是过滤器；要保证使怀有各种不同兴趣的学生都能从大学教的数学中得到益处。”
2 高等数学与初等数学的不同
数学教育困境：首先，数学的有用性是如此的明显，如此的毋庸置疑；第二，对大多数人来说，数学的学习乃是一件令人很不快乐的事。
数学之难，难在何处？数学思维与经验思维的悖反。
数学思维方式的“锻炼”：（1）从具体问题起步，发掘其中蕴含的数学结构，（2）摆脱具体问题的束缚，在抽象的天空翱翔，（3）重返具体问题中来，就有了非常不一样的认识。
第一步是现实的启发，第二步属于纯粹数学——“无用的数学”，第三步是应用数学——“有用的数学”，这后两步之间可以有常人难以逾越的断裂——数学之所以难以理解，让人敬而远之，这是一个原因。
毕竟，在抽象的数学高空翱翔，那些习惯于现实生活的人肯定会有“缺氧”乃至窒息的感觉。
3 本书的结构：前三章通过线性方程组引入和研究矩阵，第四章专门研究矩阵的性质，第五章和第六章介绍矩阵的两个重要应用，后三章（第七、八、九章）是在更高、更抽象的层次——线性空间和线性变换，表达和介绍这些内容。
本书特点：从对具体现象的“观察”，提炼出其中的“抽象”结构，进一步对其特点、规律进行“探索”和“分析”，通过“论证”获得一般性的结论。
我选择这本书作为线性代数的入门，不是没有理由的。
这是一本引人入胜的小书，a lovely little book !
《简明线性代数》要点
第一章线性方程组
1 线性与非线性方程
直线，曲线；平面，曲面；叠加原理
“线性的系统都是相似的，非线性的系统各有各的非线性。”
2 线性方程组的一般形式
系数，常量，未知量；解，解集。
对最一般的线性方程组，我们想要完整、彻底地解决如下基本问题：
（1）解的存在性——有解还是无解？
（2）有解的话，如何求解？
（3）唯一性和多解性——多解的情形，解集结构如何？
3 为达到这个目的，不得不引进矩阵的概念，研究矩阵的性质，用矩阵语言重述线性方程组的可解类型、求解过程。
特点：整体化特征，统一的处理方式——简明扼要，一般性。
矩阵理论是这本书的中心内容，但我们并不直接介绍矩阵，而是从我们熟悉的线性方程组及其求解方法中引进矩阵这个新的数学对象。
可以说，线性方程组的研究是打开矩阵丰富性质的一把钥匙，我们要在求解方程组的过程中展示和了解这些性质。
第1节 解线性方程组的算法
1 Gauss消去法
解方程组的过程就是一个化简方程组的的过程，目的是逐个消去未知量——消去一个未知量，就是把未知量的系数化为0。
1）变换的选取：我们一般会采取三种做法：
（1）把一个方程的倍数加到另一个方程上；比如 ②+k①
（2）互换两个方程的位置。比如（②，①）
（3）用一个非零数乘某一个方程两边同乘一个常数；比如k①
这三种做法把方程组变得更简单了，但并没有改变原来方程组的解——二者称为“同解方程组”。
即上述三种做法不可能产生“漏解，增解”的现象——那是非线性方程里的现象。
这三种做法称作“线性方程组的初等变换”，求解过程就是通过这三种初等变化，把原方程组化为一系列同解方程组的化简过程。
2） 变换过程中的方程组的规律性变化：从左上到右下进行化简。为什么要“逐次消元”？就是从左上到右下，逐步形成“阶梯型”方程组，化到简单的不能再简单的情形。
从左上角往右下角化简，从右下往左上代入
3）化简的最终结果：只需通过这三种变换就足以把原方程组化成了一个非常简单的形式：阶梯型方程组或简化阶梯型方程组。
到了这一步，原方程组的解就可以用已知的系数和常数表达出来了。
注记1：“消去法”与“代入法”的比较：消去法是先化简，后代入——删繁就简，抓住本质。
注记2：更需注意：上面过程只是对具体方程组的处理中发现的，并未对一般情形给出证明，事实上，可以证明：
定理：任意一个线性方程组都可以经过一系列初等变换化成阶梯形或简化阶梯型方程组。
2 Gauss消去法的矩阵表示
1）
线性方程组的矩阵表示
注意到，在上述求解过程中，只是对线性方程组的系数和常数项进行了运算，所谓求解，就是用已知量——系数和常数把未知量表达出来。即，方程组的系数和常量包含了方程组的全部已知信息。
系数和常量的位置很重要，未知量就是标记这些位置的。
把方程组的所有系数和常量拿出来，依其原先的位置次序摆成一个“表格”，这就是“矩阵”。
因此，可以定义一个s行n+1列的矩阵，即
矩阵，用它来代表有s个方程含n个未知数的线性方程组。
2） 把线性方程组的求解过程用矩阵语言“翻译”过来——重述
（1）
线性方程组的三种初等变换——矩阵的三种初等行变换
（2）
变换过程：从左上到右下进行化简。
（3）
最终变换结果：阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵，特点如下：（1）零行在下方，（2）非零行左起第一个非零数称为该行的“主元”，对所有的非零行的主元，其位置的排列特征为：主元的列指标随着行指标的递增而严格增大。
简化阶梯形矩阵，特点如下：（1）阶梯型；（2）每个非零行的主元都为1；（3）每个主元所在列的其余元素都是0。
要点：三个初等行变换，把原矩阵从左上到右下逐次化成简化阶梯型矩阵。
定理：任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成阶梯形或简化阶梯型矩阵。
——— 可以用归纳法证明此定理。
3 结论
可以证明，任何一个矩阵，都能经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵（简化阶梯型矩阵）。
故
一个线性方程组，就是一个矩阵。
方程组的求解过程，就是矩阵的化简过程。
当把矩阵化简到简化行梯形矩阵时，方程组的求解就完成了。
而且解的存在性等性质也清楚楚楚。
第2节 线性方程组解的情况及其判别准则
问题：线性方程组解的情况有哪几种可能？如何判定？
要点：解的情况的分类与阶梯形矩阵的分类一一对应。
1. 解的性质：有解还是无解？唯一解还是无穷多解？
由于初等行变换是同解变换，因此原方程组的解的情况的分类判定，完全可以在其简化阶梯型方程组中表现出来。
同解过程的首与尾：从初始的增广矩阵我们无法判定解的上述分类性质，但从其结果——简化阶梯形矩阵看，则原方程组有解或者无解，有多少解，就已经一目了然了。
1）观察：3个例子，线性方程组的解的情况有三种可能：无解，唯一解，无穷多解。
从简化阶梯形矩阵看，也只有这三种可能。
一些名词：线性方程组的一般解的表达式，主变量——主元所对应的未知量，自由未知量——非主元所对应的未知量。
注意1：无解的情形：方程组中的某些方程是不相容的，即，不能同时成立。
无穷多解的情形：独立方程的个数 < 未知量个数，即，有些未知量的取值是无法控制的。自由度与约束。
注意2：这几个例子也可以从空间中平面的关系来直观理解：平行，相交，重合。
2）推广到一般情形，则有如下猜测：
猜测：如果相应的阶梯形矩阵方程组出现“0=d”（d非零）这样的方程，则原方程组无解；如果不出现“0=d”这种方程，则原方程组有解。
如果阶梯形矩阵非零行的个数 = 未知量的个数，则原方程组有唯一解；
如果非零行的个数 < 未知量个数，则原方程有无穷多解。
这就把无解、唯一解、无穷多解与简化行梯形矩阵的分类对应起来了。
课本P9有一个解线性方程组的流程图，清楚、直观，而且好记。
但要注意：上述流程是从具体例子中观察出来的，需要证明——这是下面要讲的内容。
2.
证明要点——完备分类
原方程组中独立的方程个数 = 阶梯矩阵的非零行数 = 主元个数，记为r。切记！
我们知道，原方程组的解的情况的分类，可以不多不少、完完全全地在其阶梯型方程组中表现出来，二者同解，且阶梯型方程组结构简单，删除冗余，直揭本质，可以作为研究解的情况分类的出发点。
设阶梯型方程组未知量个数为n，主元个数为r。则有以下两种情形：
情形1：阶梯型方程组中出现“0=d”——无解。注意：在原方程组中，如果有某些方程不相容（即，不能同时成立）的情形都能约化成这种形式；
情形2：阶梯型方程组中不出现“0=d”——有解：
阶梯形方程组中不出现“0=d”这种方程，等价于说阶梯型矩阵最后一个非零行的主元不能位于第n＋1列，即，此时必有r≤n。因此，这种情形又具体可分两种子情形：
情形2.1 r=n——唯一解 【此时系数矩阵是方阵，n行n列】
情形2.2 r<n——无穷多解（注意：自由未知量所在列不能化为零）
【此时系数矩阵是“扁”的，r行n列——通过把自由未知量移项到等号右边，左边矩阵就是方的了，r行r列的方阵——这就化到了情形2.1。】
【关于r≤n的证明，课本上说的有点繁琐：为什么不会出现 r>n的情形呢？注意到r是主元个数，位于增广矩阵的不同列。而增广矩阵共有n+1列。因此，r<=n+1。如果r>n，那就只能是r=n+1。即，第n+1个主元只能在右下角的那个位置。从而第n+1个方程就是0≠d了。这与情形2的一直前提矛盾。因此，r>n是不可能的。】
定理1：n元线性方程组的解的情况只有三种可能：无解，有唯一解，有无穷多解。具体地，把n元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯型方程组中出现“0=d”这样的方程，则原方程组无解；否则，原方程组有解。在有解时，如果阶梯型矩阵的非零行数r等于未知量个数n，则原方程有唯一解；如果非零行数r<n，则原方程组有无穷多解。
3. 齐次线性方程组的特殊性(常数项全为0的线性方程组称为齐次线性方程组0)
（1）必有零解（显然（0，0，0，0）是齐次线性方程组的一个解，这个解称为零解）——增广列= 0，因此不会出现0=d的情形。
（2）我们感兴趣的是：齐次线性方程组的何时有非零解？
显然，直接套用上述定理即得：
推论1. n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件是：它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的个数r=n.
推论2. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的个数r<n.
即，齐次线性方程组如果有一个非零解，就有无穷多个非零解。
特别地，还有
推论3. 对于n元齐次线性方程组，如果方程的个数s<n，那么它一定有非零解。
遗留问题：上述关于解的情况的判定准则，是在把原方程组化成阶梯型的时候才得到的，有点“事后诸葛亮的”的意思。在实践中，我们需要在求解方程组之前就应该给出这些判定，并根据它们来求解方程组。
第3节
数域（自学）
先化成行阶阵，再从下往上带入化成简化阶梯型
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