线性代数教学工作总结

第1篇：线性代数总结

线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]

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线性代数总结

一、课程特点

特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。特点二：知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。复习线代时，要做到“融会贯通”。

“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处； “贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。

二、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、等的相关性质，及性质（其中 为矩阵 的特征值）。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）还具有两种形式：（Ⅰ）矩阵形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中，向量就这样被引入了。

1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系

齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当 时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的 使上式成立；但向量部分中判断向量组 是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量，即 线性无关，也即等式 只有零解。所以，经过

“秩 → 线性相关无关 → 线性方程组解的判定”的逻辑链条，由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时，的列向量组 线性相关，此时齐次线性方程组 有非零解，且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。

3）非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示，即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示方法唯一”。性质1.对于方阵 有：

方阵 可逆ó

ó 的行列向量组均线性无关ó ó 可由克莱姆法则判断有唯一解，而 仅有零解 对于一般矩阵 则有： ó 的列向量组线性无关

ó 仅有零解，有唯一解（如果有解）

性质2．齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。

应记住的一些性质与结论 1．向量组线性相关的有关结论：

1）向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。

3）若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一。

2．向量组线性表示与等价的有关结论：

1）一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。2）如果向量组 可由向量组 线性表示，则有

3）等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 4）任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。3．常见的线性无关组：

1）齐次线性方程组的一个基础解系； 2）、这样的单位向量组； 3）不同特征值对应的特征向量。4．关于秩的一些结论： 1）； 2）； 3）； 4）；

5）若有、满足，则 ； 6）若 是可逆矩阵则有 ； 7）若 可逆则有 ； 8）。

4．线性方程组的解：

1）非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解；

2）若 有无穷多解则 有非零解； 3）若 有两个不同的解则 有非零解；

4）若 是 矩阵而 则 一定有解，而且当 时有唯一解，当 时有无穷多解； 5）若 则 没有解或有唯一解。

四、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下： 1．特征值和特征向量的定义及计算方法 就是记牢一系列公式如、和。常用到下列性质：

若 阶矩阵 有 个特征值，则有 ；

若矩阵 有特征值，则、、、分别有特征值、、、，且对应特征向量等于 所对应的特征向量； 2．相似矩阵及其性质

定义式为，此时满足、，并且、有相同的特征值。

需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵，并有 ；当 中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是，其中 为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。3．矩阵可相似对角化的条件

包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。4．实对称矩阵及其相似对角化

阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵，即有正交矩阵 使得，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。

可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足（对角矩阵）的话就简单多了，因为此时

而对角阵 的幂 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分别是由 的特征向量和特征值决定的。

五、二次型

本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。本章知识要点如下：

1．二次型及其矩阵表示。2．用正交变换化二次型为标准型。3．正负定二次型的判断与证明。

标签: 线性代数总结

.学习线性代数总结

2009年06月14日 星期日 上午 11:12

学习线性代数总结

线性代数与数理统计已经学完了，但我认为我们的学习并没有因此而结束。我们应该总结一下这门课程的学习的方法，并能为我们以后的学习和工作提供方法。这门课程的学习目标：《线性代数》是物理系等专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得线性代数的基本思想方法和行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面 的系统知识，它一方面为后继课程（如离散数学、计算方法、等课程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力等重要作用。同时随着计算机及其应用技术的飞速发展，很多实际问题得以离散化而得到定量的解决。作为离散化和数值计算理论基础的线性代数，为解决实际问题提供了强有力的数学工具。

我总结了《线性代数》的一些学习方法，可能有的同学会认为这已经为时过晚，但我不这么认为。从这门课程中，我们学会的不仅仅是线性代数的一些相关知识（行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面的系统知识），更重要的是，从这门课程中我们应该掌握一种很重要的思想——学习如何去使用工具的方法。这个工具狭隘的讲是线性代数这门数学知识，但从广义地说：这个工具应该是生活中的一切工具（如电脑软件的学习方法、机器的操作方法、科学调查方法等）。在这门课程给我的感触就是：这门课告诉我们如何去学知识的方法。

我认为：学习任何一门知识的方法是：

一、明确我们要学习什么知识或者要掌握哪些方面的技能。

只能我们明白我们自己要学习什么之后，我们才会有动力去学习，在我们的大学里，有些同学不明白学习课本知识有何作用，认为学习与不学习没有什么区别，或者认为学习课本知识没有多大的作用，就干脆不学（当然我在这里没有贬低任何人的意思）。不过我认为学习好自己的专业的知识，掌握专业技能是每个大学生的天职。

二、知道知识是什么，了解相关知识的概念和定义。

这是学习的一切学习的基础，只有把握这个环节，我们的学习实践活动才能得以开展，知识是人类高度概括、总结的经验，不可能像平常说话那么通俗易懂。所以我们要想把知识学好，就得在概念上下功夫。例《线性代数》这门课程中的实二次型，那我们首先得非常清楚的知到，什么叫做实二次型。否则这一块的知识没有办法开展。

三、要知到我们学的知识可以用到何处，或者能帮我们解决什么问题。

其实这一点和第一点有点重复。但是对于我们的课本知识非常得有用，因为我们现在所学的课本知识。说句实在话，我们确实不知到能为我们生活中能解决什么问题，但如果我们知到它能用到何处，相信将来一定会有用。有一句话说得好，书到用时方恨少，说得是这个道理。总之，我们现在要为以后遇到问题而积累解决问题的方法，我们现在是在为以后的人生在打基础。

四、学习相关概念后，要学会如何去操作。

像《线性代数》这门课程，在这一点就体现得很突出。如在我们学习正交矩阵这个概念后，我们得要学会如何去求正交矩阵；再如，当我们认识了矩阵的对角化定义之后，我们得掌握如何去将一个矩阵对角化。其

实，就是学会如何去操作，这是我们掌握数学工具的使用方法的重要途径，所以这部分的工作是我们的学习中心和重点。只有掌握了这部分，我们才能在以后学习或者生活中遇到相似的问题，就有了这个工具去为我们解决实际的问题。

五、将所学习的知识反作用于生活（即将所学的知识用到实处）。

这才是我们学习的真正目的所在。一个人的解决问题的能力应该和他所掌握的知识成正比。学之所用才叫学到实处，才能发挥真正学习的作用。记得这个给我印象最深的是：在我们学C++编程时，有一道题是讲的是用一百元钱去买母鸡、公鸡、小鸡。母鸡5元钱一只，公鸡3元钱一只，小鸡3只一元，并且母鸡、公鸡、小鸡的总数为一百只，求有多少种可能。

这其实就是一道最简单的线性代数题了，设x代表小鸡，y代表公鸡，z代表母鸡：则根据题意有线性方程组

x3+3y+5z=100

x+y+z=100

解此线性方程组得

x=3z/4+75

y=-7z/4+25 z=z

用z作为循环变量控制，这个程序不到十行就可以编出来。这就说明学习知识总会有用的，只要我们去积累，只要我们现在把基础打牢，我相信以后解决问题的方法多了，大脑用活了，我们的竞争力就强了，自然在社会上有一席之地。

总之：我个人觉得学习知识很有用处。虽然就业压力在压着大家，大家为就业而奔波，但至少现在找工作不是我们的重点。把我们手头上的事做好才是最关键，我还是喜欢军训中我的那个“胖胖”所说的话：“一个萝卜，一个坑”，一步一个脚印，脚踏实地。相信我们80年后或90年后的一代能够担任起国家建设的重任和使命。

楼主 大 中 小 发表于 2008-10-10 23:50 只看该作者

线性代数超强总结.√ 关于 ：

①称为 的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

② 线性无关；

③ ； ④ ；

⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示.√ 行列式的计算：

① 若 都是方阵（不必同阶）,则

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：

√ 逆矩阵的求法:

① ②

③

④

⑤

√ 方阵的幂的性质：

√ 设，对 阶矩阵 规定： 为 的一个多项式.√ 设的列向量为 , 的列向量为，的列向量为 , √ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，与分块对角阵相乘类似,即：

√ 矩阵方程的解法：设法化成当 时，√

和 同解（列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断 是 的基础解系的条件：

①

线性无关；

②

是 的解；

③

.①

零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②

单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③

部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④

原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤

两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥

向量组 中任一向量

≤ ≤ 都是此向量组的线性组合.⑦

向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.⑧

维列向量组 线性相关 ；

维列向量组 线性无关.⑨

.⑩

若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一.?

矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.?

矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价

和 可以相互线性表示.记作： 矩阵等价

经过有限次初等变换化为.记作：

矩阵 与 等价

作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 与 作为向量组等价

矩阵 与 等价.?

向量组 可由向量组 线性表示

≤.?

向量组 可由向量组 线性表示,且，则 线性相关.向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤.向量组 可由向量组 线性表示,且,则两向量组等价；

任一向量组和它的极大无关组等价.?

向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.?

若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?

若 是 矩阵,则 ,若，的行向量线性无关；

若，的列向量线性

无关,即： 线性无关.线性方程组的矩阵式

向量

式

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

线性方程组解的性质：

√ 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解.当 时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.是 的上限.√ 矩阵的秩的性质：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥ ≥ ⑦

≤ ⑧

⑨

⑩

且 在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基

个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量

.√ 内积的性质：

① 正定性：

② 对称性：

③ 双线性：

施密特

线性无关，单位化：

正交矩阵

.√

是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：①；

②；

③

是正交阵,则（或）也是正交阵；

④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵

.的特征多项式

.的特征方程

.√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素.√ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.√

√ 若 ,则 一定可分解为 =、,从而 的特征值为： ，.√ 若 的全部特征值，是多项式,则:

①的全部特征值为 ；

② 当 可逆时, 的全部特征值为 ，的全部特征值为.√

√

与 相似

（为可逆阵）

记为：

√

相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值.√

可对角化的充要条件：

为 的重数.√ 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似.与 正交相似

（为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质：①

若 均可逆

②

③

（为整数）

④,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 关于 的特征向量, 是 关

于 的特征向量.⑤

从而 同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量；

② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④

重特征值必定有 个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重的特征值,重

数=）.可以相似对角化

与对角阵 相似.记为：

（称 是 的相似标准型）

√ 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.√ 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有：

.√ 若 , ,则：.√ 若 ,则 ,.二次型

为对称矩阵

与 合同

.记作：

（）

√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：

√ 两个矩阵合同的必要条件是： √

经过

化为 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由

惟

一确定的.√ 当标准型中的系数 为1，-1或0时,则为规范形.√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形: ①

求出 的特征值、特征向量； ②

对 个特征向量单位化、正交化；

③

构造（正交矩阵）, ；

④

作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的特征值.正定二次型

不全为零，.正定矩阵

正定二次型对应的矩阵.√ 合同变换不改变二次型的正定性.√ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

①

正惯性指数为 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有顺序主子式全大于 ； ④

合同于，即存在可逆矩阵 使 ； ⑤

存在可逆矩阵，使

（从而）； ⑥

存在正交矩阵，使

（大于）.√ 成为正定矩阵的必要条件：；

.b

b s

.k ao

y a n.c o m

内容相互纵横交错 线性代数复习小结

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：

行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式 A-1= 1 A*，或 A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。

关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

在 Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n(满秩阵)〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 „PN，其中PI(I=1,2,„，N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)A初等行变换

I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。

关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A 的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。

例如，矩阵A＝(α1，α2，„，αm)与B＝(β1，β2„，βm)等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，„αm与β1，β2，„βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，„αm与β1，β2，„βm等价，可知矩阵A＝(α1，α2，„αm)与B＝(β1，β2，„βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。

又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n

进而可求矩阵A或B中的一些参数

再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。

又比如，对于n阶行列式我们知道：

若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；

可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；

对于n个n维向量α1，α2，„αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2„αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性；

矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r，则A中r阶子式全为0；

求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0；

判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。

凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

线性代数中常见的证明题型有：

证｜A｜＝0；证向量组α1，α2，„αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2„，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即β能否由α1，α2„，αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。

《线性代数》是一门研究线性问题的数学基础课，线性代数实质上是提供了自己独特的语言和方法，将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究，是将中学一元代数推广为处理

大的数组的一门代数。

线性代数有两类基本数学构件.一类是对象：数组；一类是这些对象进行的运算。在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究，从而解决实际问题.既然线性代数有自己独特的内容，我们就要用适当的学习方法面对。这里给出五点建议：

一、线性代数如果注意以下几点是有益的.

由易而难 线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；

由低而高 运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形；

由简而繁 一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等；

由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。

二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

1、线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

四、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在学习过程中一定要认真仔细地预习和复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。

第2篇：线性代数教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

一．课程基本信息

开课单位：数理学院

课程编号：05030034a

英文名称：linear algebra

学时：总计32学时，其中理论授课28学时，习题课4学时。学分：2.0学分

面向对象：全校工科专业

教材：

《线性代数》，同济大学教学教研室 编著，高等教育出版社，2007年5月 第五版

主要教学参考书目或资料：

1.线性代数》，奕汝书 编著，清华大学出版社

2.《线性代数》，武汉大学数学系

3.《线性代数辅导》，胡元德等 编著，清华大学出版社 4.《线性代数试题选解》（研究生试题选），魏宗宣 编著

二．教学目的和任务

线性代数是高等学校理工科有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程课程的基础。为适应培养面向21世纪人才的需要,要求学生比较系统理解线性代数的基本概念,基本理论,掌握线性代数的基本计算方法.要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。本课程所讲的理论和方法，早已被广泛应用于各个学科和各个领域。它是建立在多维空间多元素基础上的，在计算机日益普及的今天，它作用更能充分发挥出来。所以本课程的社会地位和作用也日益显得突出和重要。工科大学生必须具备本课程的知识，才能更好地适应社会主义建设的需要。

通过本课程的学习，应使学生获得在应用科学中常用的矩阵方法，线性方程解法、二次型理论等实用性极强的基础知识，使学生能用这些方法解决一些实际问题，提高学生解决实际问题能力。同时，也为学生今后扩大知识面打下必要的数学基础。

三．教学目标与要求

通过对这门课的学习，使学生了解行列式、矩阵、向量组的定义和性质，掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，利用矩阵的初等变换求解方程组及逆矩阵、向量组的线性相关性，利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。

四．教学内容、学时分配及其基本要求

第一章 n阶行列式（6学时）

（一）教学内容

1、二阶与三阶行列式

2、全排列及逆序数

3、n阶行列式定义

4、对换

5、行列式性质

6、行列式按行列展开

7、克莱姆法则

（二）基本要求

1、知道n阶行列式定义，了解行列式性质，熟练掌握

二、三阶行列式计算法。

2、了解按行(列)展开行列式的方法，掌握四阶和四阶以上行列式的计算法。

3、掌握用克莱姆法（Gramer法则）解线性方程组的方法。 第二章 矩阵及其运算（4学时）

（一）教学内容

1、矩阵

2、矩阵的运算

3、逆矩阵

4、矩阵分块法

（二）基本要求

1、理解矩阵概念，知道单位阵、对角阵、对称阵、三角阵、正交阵等常用矩阵及其性质。

2、熟练掌握矩阵加法、乘法、转置、方阵行列式的运算及其运算规律。

3、理解逆矩阵概念及逆阵存在的充要条件，掌握逆矩阵的求法。

4、掌握分块矩阵的运算和分块对角阵的性质及其应用。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（6学时）

（一）教学内容

1、矩阵的初等变换

2、初等矩阵

3、矩阵的秩

4、线性方程组的解

（二）基本要求

1、掌握矩阵的初等变换和初等方阵的基本理论及其应用。

2、理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩，知道满秩矩阵的性质。

3、掌握利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的大小比较及与未知元个数n的关系判别线性方程组有无解；有多少组解(即解的存在性与唯一性的判别)的基本方法

第四章 向量组的线性相关性（8学时）

（一）教学内容

1、向量组及其线性组合2、向量组的线性相关性

3、向量组的秩

4、线性方程组的解的结构

5、向量空间

6、习题课

（二）基本要求

1、理解n维向量的概念并掌握其运算规律。

2、理解向量组的线性相关、线性无关的概念。

3、了解向量组线性相关、线性无关的几个重要性质。

4、理解向量组的秩的概念，会求向量组的秩和最大无关组，并会用最大无关组表示其余的向量。

5、了解n维向量空间中的空间、基、维数、坐标等概念，会求基，会用基来线性表示所属空间的其余向量。

第五章 相似矩阵及二次型（8学时）

（一）教学内容

1、向量的内积，长度及正交性

2、方阵的特征值与特征向量

3、相似矩阵

4、实对称阵的相似对角阵

5、二次型及其标准形

6、用配方法化二次型为标准形

7、正定二次型

8、习题课

（二）基本要求

1、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，并掌握其求法。

2、了解相似矩阵的概念和性质。

3、了解矩阵对角化的充要条件，会求实对称阵的相似对角阵。

4、掌握将线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）法。

5、掌握二次型及其矩阵表示法。

6、掌握用正交变换法化二次型为标准形。

7、了解惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。

五．教学方法及手段

采用启发式教学方法，配合多媒体教学，充分使用现代化教学手段。

六．考核方式及考核方法

考核方式为“闭卷考试”。成绩评定：平时成绩30%+考核成绩70%。

七．其它说明

如果条件允许，可以安排一定学时的数学实验课，用MATLAB语言实现一些繁琐的计算，如矩阵求逆、线性方程组求解等。

（制定人： 徐江 审定人： 章婷芳）

第3篇：线性代数教学大纲

《线性代数》教学大纲

课程名称：《线性代数》 英文名称：Linear Algebra 课程性质：学科教育必修课 课程编号：D121010 所属院部：城市与建筑工程学院 周 学 时：3学时 总 学 时：48学时 学

分：3学分

教学对象（本课程适合的专业和年级）： 给排水科学与工程与土木工程专业二年级学生

课程在教学计划中的地位作用：高等学校各专业的一门重要的基础理论课 教学方法：讲授 教学目的与任务

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，使得学生在系统地获取线性代数的基本知识、基本理论与基本方法的基础上，初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理的能力，并具有较熟练的运算能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程教材：同济大学数学系编《工程数学线性代数》（第六版），高等教育出版社

参考书目：

1、上海交通大学数学系线性代数课程组编.线性代数（第二版）.北京：高等教育出版社，2012.2、吴赣昌主编.线性代数（理工类.第四版）.北京：中国人民大学出版社，2011.3、杨刚、吴惠彬主编.线性代数.北京：高等教育出版社，2008.考核形式：考试

编写日期：2018年9月制定

课程内容及学时分配（含教学重点、难点）： 第1章 行列式（9学时）（1）教学目的和要求

了解行列式的定义和性质，掌握

二、三阶列式的计算法，会计算简单n阶行列式，掌握克拉默法则。（2）主要内容

二阶与三阶行列式定义，并用它们解二元、三元线性方程组。从二阶、三阶行列式概念入手，用展开法引出n阶行列式定义，并介绍从定义出发求简单行列式的值。行列式的性质，并举例如何应用这些性质求行列式的值，行列式按某行（列）展开法则及其结论的推论，克拉默法则及其推论。（3）重点、难点

重点：二阶、三阶行列式的计算，四阶数字行列式的计算。难点：n阶行列式的计算。第2章 矩阵及其运算（9学时）（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆方法，了解分块矩阵及其运算。（2）主要内容

矩阵的定义、对角阵、单位阵、矩阵的加法及其运算规律，数与矩阵相乘及其运算规律、矩阵与矩阵的相乘及运算规律、矩阵的转置及运算规律、方阵的行列式及性质、逆矩阵定义、可逆条件、公式法求逆矩阵方法、分块矩阵定义及其运算。（3）重点、难点

重点：矩阵加、减、乘、逆的运算、逆矩阵存在条件与求逆矩阵的方法。难点：逆矩阵存在的充要条件。

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组（6学时）（l）教学目的和要求

掌握矩阵的初等变换，熟悉矩阵秩的概念并掌握其求法，了解满秩矩阵、初等阵定义及其性质，了解线性方程组的求解方法。（2）主要内容

初等变换、行阶梯形矩阵、等价类、矩阵的秩、两矩阵等价条件、满秩矩阵、齐次线性方程组有非零解条件，非齐次线性方程组有解判别方法、求解方法、初等矩阵定义及性质、求逆矩阵的第二种方法。（3）重点、难点

重点：矩阵初等变换、求矩阵秩、利用初等变换求逆矩阵。难点：含参数的线性方程组的求解。第4章 向量组的线性相关性（12学时）（1）教学目的和要求

熟悉n维向量的概念，熟悉向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论，了解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，了解n维向量空间、子空间基底、维数等概念，理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念，理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念，掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。（2）主要内容

n维向量及例子、线性组合、线性表示、向量组等价、线性相关、线性无关的概念及重要结论、最大线性无关组、有关秩的重要结论、向量空间、基、维数、齐次线性方程组的性质、基础解系概念及求法、非齐次性方程组的解的性质、解的结构．用行初等变换求线性方程组通解的方法。（3）重点、难点

重点：线性相关性、最大线性无关组、用行初等变换求线性方程组的通解的方法。难点：线性相关性证明。

第5章 相似矩阵及 二次型（12学时）（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量，了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件，会求与实对称矩阵相似的对角形矩阵，了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特（Smidt）方法，了解正交矩阵概念及性质，了解二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，会用正交变换法化二次型为标准型，了解二次型的正定性及其判别法。（2）主要内容

向量内积、正交向量组及性质、施密特正交化过程、规范正交基、正交变换、特征值、特征向量、特征方程、特征多项式、特征值、特征向量的性质、相似矩阵、相似变换、相似矩阵的性质、方阵的对角化条件、对称矩阵特征值性质、对称矩阵的对角化、二次型定义及矩阵表示、二次型的秩、二次型可化为标准型、配方法化二次型为标准到举例、正定二次型概念及判定。（3）重点、难点

重点：矩阵的特征值与特征向量、对称矩阵化为对角矩阵。难点：矩阵可对角化的有关结论。

第4篇：线性代数教学建议

关于线性代数的教学建议

张梦雅

一、引言：

《线性代数》是一门比较难懂难学的高等数学学科，作为软件学院的一员在学习线性代数的同时还要学习一元函数微积分课程。两门课程都不容易学习，而且同学们刚迈入大学大门，还不能很好地适应大学中的学习方式（即为自学占主要部分）。没有老师的督促和指引，同学们学起来比较困难，故而线性代数的学习更加需要两位老师的帮助。而我作为课堂成员的一员，在此结合我平常的学习经验和上课体会，来给老师提出一些建议。

二、线性代数学习教学方法的分析：

之优点：

1、课堂分为两个部分

部分一：星期

一、星期四的课上同学们学习课本上的知识内容，老师带领同学们过一遍新的知识点，讲解书本上的习题。

部分二：星期五的课上老师则带领同学们做一些有关上节知识点的习题（通常为课本上的或老师PPT上的），帮助同学们加深知识点的理解和记忆。

2、课堂老师提问

本学期的线性代数课全是上午的1、2两节课程，往往这个时候大部分同学刚起床就赶过来。老师上课提问可以让同学们紧张起来，集中注意力，让同学们好好听讲，而不是继续趴在桌上睡觉。另外，提问这一环节能调动同学们课下复习的积极性，给同学们施加压力，让同学们及时的复习课本。并且，课上提问能让同学们加深对某些重要知识点的理解。

3、新颖的讲课内容或方式：

有次课上老师用自己和家人的图片为同学们讲解矩阵的排列问题，引起了同学们的好奇心和兴趣，让同学们更加地在课堂上集中精神。偶尔老师的几个冷笑话或其他的小幽默也能引起同学们的注意，但这些东西只是为了帮助同学们学习的小插曲，不宜过多而失掉课堂上应有的学术氛围，理应适当才有益处。

4、老师能够顾及同学们的听课感受：

当投影仪上的字体过小时，老师及时调整字体以便教室中的每位同学都能看清楚；当同学们跟不上老师讲课的节奏时，老师会适当地放慢讲课速度；当讲到某些关键内容时，老师总会提醒同学们此内容为重点等等以便同学们有重点的学习。三：线性代数学习教学方法的分析： 之建议：

1、若时间充裕，我认为老师可以效仿张波老师，每每讲完部分知识点就会问同学们关于这部分的知识同学们有什么问题，而后老师再把同学们问的问题清楚地表达出来（赞！）然后进行讲解。 私下认为这样的做法能让同学们及时的把疑惑问出来并解决，有时若是等到下课后再问同学们可能忘记刚才的疑惑或是因为要补觉而选择不去或等会去，这样可能导致同学们的问题不能及时解决，等到考试时遇见困难就追悔莫及了。

2、希望老师在讲课时语速能稍微放慢一些，声音更加大一些。个人提出几点建议：

（1）、老师号召同学们尽量坐在前排位置，不要过于分散（我注意到第一排的位置经常少有人坐，估计是害怕老师提问）

（2）、老师可以如李忠伟老师一样手中拿一个类似于扩音器的物品，以便于随时放大声音；或是佩戴扩音器等提高音量。

（3）、老师可以时不时的询问同学们是否听清，防止同学们错过某些知识。

3、关于某些难以记忆的知识点，老师可以传授自己的记忆技巧或在课堂上向同学们征集记忆方法，以便大家能够快速牢固的记住知识点。

在最近学习的第六章的“基变换和坐标变换”中，矩阵A（过渡矩阵）和新、旧坐标、基的位置容易混淆。比如

A在后

A在前，还有A的逆出现等等

这样有时就不能导出正确答案，同学们难以分辨出A的位置和A和A逆的使用。

4、希望老师能够在每节课上花费几分钟的时间或是用一节课的时间来串讲一下知识点，帮助同学们形成网络框架图，更加清晰的掌握所学内容。

个人认为随着学习内容的增多以及难度的增加，同学们学习的越来越吃力，内容混在一起乱成一团，在做题的时候往往不能准确而又迅速的找到合适的方法以及公式来解决问题。若是能够梳理一下所学内容则会大有益处。

5、建议老师把课后习题的答案发到教育在线上或是向同学们推荐有关书籍，老师推荐书籍更能与课本上所学内容相契合，避免了同学们盲目地选购复习资料而选择不当（我买了同济版的辅导书，但觉得内容有些不符合）还望老师多费一些心思帮助同学们选购以及推荐。

6、建议老师督促学生不要上课迟到或是踩着铃声来上课，有时再交作业则会出现上课铃响教室还嘈杂声一片的情况。（最近经常出现这种情况）也许适当的轻微惩罚或者督促能够改善这种不良现象。

7、老师偶尔点名时间一般在5分钟左右，本来课上时间仅仅只有45分钟，所以在课上点名浪费少许时间。个人建议老师可以在第一节下课课间或是第二节下课后（有20分钟的休息时间）点名，这样也能防止某些学生投机取巧，第一节课来，第二节课走。

四、总结：

已经学习线性代数大半年左右，但是有些同学还是不知如何去学习，足以见得这门课的难度和深度。况且，线性代数是极为重要的一门课程，培养同学们的计算能力以及逻辑分析能力，学好这门课程是必须且很有必要的。接下来的时间里，只有同学和老师的共同努力才能让大家更好地学习这门课程。

五、参考文献：

1 《高等代数》第四版 北大 王萼芳著 2 “基变换与坐标变换” 百度文库

六、作者介绍：

张梦雅（1997-12-21生），女，河南省周口人，毕业于河南省漯河市高级中学。南开大学软件学院2014级，学号1412706。多次获得市级三号学生称号，获得化学竞赛一等奖。

第5篇：线性代数 教学计划

《线性代数》教学计划

Linear Aigebra

课程性质：必修

适用专业：理工，经管，医药，农林等专业

总学时数：32学时 学分数：2

一、内容简介

内容包括：行列式，矩阵，线性方程组的基本理论及解法，向量的线性相关性与线性空间，特征值与特征向量的概念与计算，矩阵的相似对角阵及用正交变换化对称矩阵为对角阵的方法，化二次型为标准形。

二、本课程的地位、作用、目的和任务

线性代数是高等学校理工科和经济学科等有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程及经济管理课程的基础。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为科技人员常遇到的课题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用各个学科，这就要求学生具备本课程有关的基本知识，并熟练地掌握它的方法。

线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

三、本课程与其它课程的关系

本课程的先修课是高等数学中的“空间解析几何与向量代数”部分。作为基础课，它是许多后继课，如计算方法、数理统计、运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。

随着对教学内容的改革，本课程可以与高等数学中的某些部分结合起来讲授，如向量代数；又可在多元函数的微分学中介绍其部分应用，如二次型的正定性。

四、本课程的基本要求、课时分配，教学计划

通过本课程的学习，要求学生熟练掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，利用矩阵的初等变换求解方程组及逆阵，向量组的线性相关性，利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。

教学计划具体如下： 第一章 行列式（5学时）

1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质。

2.掌握行列式的计算，知道克莱姆法则。

第二章 矩阵（7学时）

1.了解矩阵的定义，掌握常见的特殊矩阵及其性质； 2.掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律；

3.了解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质及其求逆方法； 4.了解分块矩阵及其运算。

3.理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的计算；

4.熟练掌握矩阵的初等变换；了解初等矩阵的性质及与初等变换的关系；

5.熟练掌握用初等变换求逆矩阵。

第三章 线性方程组（2学时）

1.理解线性方程组的基本概念

2.熟练掌握方程组的求解过程（高斯消元法）

3.熟练掌握线性方程组解的理论，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

第四章 向量的线性相关性（8学时）

1．n维向量的概念；

2．了解向量组的线性相关、线性无关的定义及有关结论；

3．了解等价向量组、最大无关组与秩的概念，会求向量组的最大无关组与秩；

4．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 5．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 6．掌握用初等变换法求线性方程组的通解；

7．线性空间的概念与基本性质，线性空间的维数、基与向量的坐标。第五章 相似矩阵（6学时）

1．理解特征值、特征向量的概念及性质，掌握特征值、特征向量的计算法； 2．了解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可对角化的条件； 3．了解内积定义，标准正交基，正交矩阵。

4．了解实对称矩阵的特征值特征向量性质，掌握实对称矩阵正交对角化方法。

第六章 二次型（4学时）

1．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法； 2．知道二次型的秩、惯性律、规范形；

3．掌握二次型和对应矩阵的正定性及其判别方法。

五、考核方式：平时作业和期末闭卷考试

六、教材《线性代数》，方卫东，吴洪武，华南理工大学出版社，广州，2008.2，第一版。

七、本课程的教学方式

本课程的特点是理论性强，逻辑性强，其教学方式应注重启发式、引导式，讲授时应注意以矩阵作为教学的主线，将其它的内容与矩阵有机联系起来。

八、执行大纲时应注意的问题

1、如果条件允许，可以安排一定学时的数学实验课，用MATLAB语言实现一些繁琐的计算，如矩阵求逆、线性方程组求解等。

2、本课程的概念较多，讲授时需注意前后概念之间的联系。

第6篇：线性代数学习总结

数学四

线 性 代 数 总 结

一、行列式

1．n阶行列式的概念

a11 a12 …… a1n(1)n阶行列式的递归定义a21 a22 …… a2n 有n ^ 2个数组成的n阶列式是一个算式，当……………… n=1时an1 an2 …… ann

la11l=a11。当n≥2时

n

D=a11A11 + a12A12 + … + a1A1n=∑a1j A1j

j=1

其中A1j=(-1)^ 1+ jM1j，为a1j的代数余子式。

a21… a2j-1 a2j+1… a2na31… a3j-1 a3j+1… a3n 为a1j的余子式。……………………an1… anj-2 an j+1… ann

(2)n阶行列式的逆序定义

a11 a12 …… a1n

a21 a22 …… a2n

∑(-1)^σ(i1,i2…in)a1i1 a2i2…anin………………

an1 an2……ann（i1,i2…in）

2．行列式的性质

性质一行列式的行和列互换后，行列式的值不变。

性质二行列式的两行（或两列）互换，行列式改变符号。

推论如果行列式中有两行（或列）的对应元素相同，则此行列式为零。性质三用数k乘以行列式的一行（列），等于以数k乘以此行列式。

推论如果行列式某行（列）的所有元素的公因子，则公因子可以提到行列式外面。

推论如果行列式有两行（或两列）的对应元素成比列，则行列式等于零。推论如果行列式中以行（或一列）全为零，则行列式的值必为零。

性质四如果行列式中的某行（或某列）均为两项之和，则行列式等于两个行列式之和。

推论如果将行列式某一行（或某一列）的每一个元素都写成M（M≥2）个元素的和，则此行列式可以写成M个行列式的和。

性质五将行列式的某一行（列）的每一个元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

性质六如果行列式中某行（或列）中各元素是其余各行（或各列）分别乘一常数后各对应元素之和，则行列式的值为零。

性质七行列式的任何一行（或列）的元素于另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和必为零。

ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a1nAjn = 0(i≠j)

3．拉普拉斯展开式

行列式按k行（或列）展开，则c

D = ∑ MiAi(Mi为k阶子式，Ai为k阶代数余子式)

i=1

4． 利用拉普拉斯展开式的两种特殊情况

a11 … a1n0… 0………………………… a11 … a1n an1 … ann0… 0…………c11 … c1nb11 … b1n an1 … ann…………………………

cm1 …cmnbm1 …bmn

0…0a11 … a1n……………………………ann=（-1）^(mn)0…0a n1

c11 … c1nb11 … b1n…………………………cm1…cmnbm1 …bmn

5． 重要公式及结论

b11 … b1n …………… bm1 …bmn

a11 … a1n……………an1 … ann b11 … b1n …………… bm1 …bmn

(1)如果A,B均为n阶矩阵，则lABl = lAllBl，但AB≠BA。(2)如果A,B均为n阶矩阵，则lA±Bl ≠ lAl±lBl。(3)如果A为n阶矩阵，则lkAl = k^n lAl。(4)如果A为n阶矩阵，则lAl = lA´l

(5)如果A为n阶可逆矩阵，则lA¯；¯l =k^n / lAl。(6)如果A*为A的伴随矩阵，则lA*l = lAl^(n-1)

lAl（i = j）

(7)如果A为n阶矩阵,则ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a

0（i≠j）

A C A O O A

(8)O B= lAl lBl ；（-1）^(mn)lAl C B B O

O A

B C

=（-1）^(mn)lAl lBl。

(9)a11X a11Oa22a22

==Oann Xann

=a11 a22 … ann。

Oa1n Oa1n2n-1=a 2n-1=aan1O an1X

a11Oa2

2Oann

Xa1na2n-1

an1O

=(-1)^ [n(n+1)/ 2] a1n a2n-1 … an1。(10)范德蒙行列式

111…1

a1a2a3…an

a1^2a2^2a3^2…an^2=∏(aj – ai)其中(ai≠aj)(i≠j)……………………………1≤i≤j≤n

a1^n-1a2^n-1a3^n-1 … an^n-1

6． 行列式的求值方法

（1）一般行列式的求值方法

将行列式化为上、下三角行列式；

将行列式中一列的其余元素化为零，在按该列展开，不断降阶计算；（2）n阶行列式的求值方法

行列式中较多元素是零时，利用行列式的定义计算；

当各行（或列）诸元素之和相等时，可将各行（或列）加到同一行（或列）中去； 各行（或列）加减同一行（或列）的倍数，适用于可变为三角形式或提取公因子的； 观察一次因式法； 升阶法； 降阶法； 拆项法；

递归法（归纳法）；

第7篇：线性代数学习总结

线性代数学习总结

----------应化11 王阳（2110904024）

时间真快，一转眼看似漫长的大一就这样在不知不觉中接近尾声。纵观一年大学的学习和生活，特别是在线代的学习过程中，实在是感慨颇多。在此，我就从老师教学和自身学习方面，谈谈自己的一点体会。

老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，如果脱离了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例的对照，可以加深记忆理论知识。然后要注重易混淆概念的区别，必要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。而行列式和矩阵有本质的区别，行列式是一个具体的数值，并且行列式的行数和列数必须是相等的。其实老师在教学过程中，应该学会轻松一点，我不希望看到老师在讲台上讲得满头大汗，而学生坐在下面听得云里雾里的场面，这就需要老师能够精选一些内容讲解，不需要都讲，而其他相关的内容让学生自己通过举一反三就得到就可以了。老师可以自己选一些经典的例子来讲，而不一定要讲书上的例子。然后对于例子中的计算，老师就可以不用算了，多叫学生动动手，增加我们的积极性，并且这样也更能发现问题。再就是线性代数的课时少，这是一个客观存在的原因，所以更要精讲。而不需全部包揽。当然，若果能通过改革，增加课时是最好不过了。这也算一点小小的建议吧。

再者，在自身学习过程中，我想说明的是，大学里的学习是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。所以教材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。总体看来，我们使用的课本题型简单易懂，非常适合初学者学习。但它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加练习，慢慢领悟那些概念性的东西。然后对于教材内容的侧重点，我觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务的。我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的秩的计算，都是为了了解线性方程组的解的情况。在线性方程组的求解过程中，我们运用了矩阵的行变换来求基础解系，当然这就相当于求极大无关组。还有对线性相关和线性无关的讨论，这也关系到线性方程组的解。所以在改革中，应该拿线性方程组为应用的实例，来一步一步的解剖概念和定理。当然一些好的、典型的解题方法，也应该用具体的例子来讲解，这是一本教材必须具备的。

当然在学习过程中，我们应该具备能够整体把握老师所讲重点的能力，注意各个章节的联系。数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。知识体系是一环扣一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，老师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。对于后来学的，应该多翻翻书看看前面是怎么说的，往往前面学习的内容是为后面做铺垫的，所以在学了后面的知识后，再看前面的知识，会对前面的知识有一个新的认识，会更好的加深对它的理解和记忆。这一点上老师您做的很好。

然后对于书上花了很大的篇幅写的matlab实验，我觉得这是好事，但是在教学中老师是不会教我们的，因为课时有限，这是情理当中的，但是作为学生，我觉得应该好好地利用书上的资源，单靠做练习的笔头功夫是难以解决实际问题的。

总的来说，在线代的学习过程中，老师你总是能够调节课堂的气氛，让大家在开心的笑声中学习，并穿插着一些为人处事的道理，这都将让我们在以后的生活和工作中受益匪浅。很高兴能在你的班上学习这门课，我想我会永远记住您那一个个宁人忍俊不禁的冷笑话。

线性代数教学观摩心得体会

线性代数心得体会

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《简明线性代数》要点总结

西南交大峨眉数学实验基础实验四_线性代数篇