高考数学（理）考点一遍过考点50,随机事件概率-之

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.一、随机事件及其概率 1．事件的分类 2．频率与概率（1）事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.（2）事件的概率：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，因此可以用来估计概率.注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.二、事件间的关系及运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或A·B)互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.三、概率的基本性质 1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.2．当事件A与事件B互斥时,，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即.3．若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得.考向一 由频率估计随机事件的概率 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.典例1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示: 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率(1)计算表中乒乓球优等品的频率;(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)【解析】(1)依据公式f=,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.典例2 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间(分钟)10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.学@# B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.1．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1个该产品获利润5元，未售出的产品，每个亏损3元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图如图所示.该同学为这个开学季购进了160个该产品，以，单位:个)表示这个开学季内的市场需求量.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;（2）根据直方图估计利润不少于640元的概率.考向二 事件间的关系及运算 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系． 典例3 判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加医德培训,其中(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.2．从一批产品中取出三件产品，设，，则下列结论不正确的是 A．与互斥且为对立事件 B．与为对立事件 C．与存在着包含关系 D．与不是互斥事件 考向三 概率加法公式的应用 概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析． 求复杂事件的概率通常有两种方法：

（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；

（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.典例4 某花店每天以每枝6元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于92元的概率.学#￥ 所以这100天的日利润的平均数为.(ii)当天利润不少于92元即12n-102,即n, 所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54.典例5 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示: 年降水量(mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300] 概率 0.10 0.25 0.20 0.12（1）求年降水量在[200,300]内的概率;（2）求年降水量在[100,250)内的概率.3．在一次学业水平测试中，小明成绩在60~80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为 A．0.2 B．0.3  C．0.5 D．0.8 4．近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率;（2）试估计生活垃圾投放错误的概率.1．事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件发生的概率的范围是 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是 A．某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7 B．一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次“正面朝上” C．某地发行福利彩票，回报率为，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．概率等于1的事件不一定为必然事件 3．同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是 A．恰有1枚正面和恰有2枚正面 B．至少有1枚正面和恰有1枚正面 C．至少有2枚正面和恰有1枚正面 D．最多有1枚正面和恰有2枚正面 4．口袋中装有一些大小相同的红球和黑球,从中取出2个球.两个球都是红球的概率是,都是黑球的概率是,则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是 A． B． C． D． 5．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是 A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 6．设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为 A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 7．在一次随机试验中，三个事件的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是 ①与是互斥事件，也是对立事件；

②是必然事件；

③；

④.A．0 B．1 C．2 D．3 8．指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称;(2)直线y=kx+6是定义在上的增函数;(3)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.9．经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04(1)至多有2人排队等候的概率是多少?(2)至少有3人排队等候的概率是多少? 10．在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.（1）求任取一张，中一等奖的概率；

（2）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率.11．减轻雾霾的“雾炮”机的工作原理与建筑工地上常用高压水枪除尘的原理差不多，某公司为测试他们生产的“雾炮”的降尘作用，经过100次测试得到了某“雾炮”降尘率的频数分布表：

（1）估计降尘率在以下的概率；

（2）若降尘率达到以上，则认定雾炮除尘有效，请根据以上数估计该雾炮的除尘有效的概率.12．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆,统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障 的时间x(年)03 02 轿车数量(辆)2 1 3 44 2 3 45(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(将频率视为概率)变式拓展 1．【解析】（1）设需求量的中位数为，则根据直方图知，∴，解得.故估计这个开学季内市场需求量的中位数为.（2）设利润不少于640元为事件, 当时,利润为；

当时,利润为，由,解得.又，∴估计利润不少于640元的概率为0.7.2．【答案】A 【解析】因为从一批产品中取出三件产品，有:，，其中包含，两种情况，因此与互斥但不是对立事件；

与为互斥事件，也是对立事件；

与存在着包含关系，即与不是互斥事件.故答案为A． 3．【答案】A 【解析】由题意，小明成绩为优秀的概率为P=.4．【解析】（1）设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m,厨余垃圾总量为n, 则m=400,n=400+100+100=600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为==.（2）设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确.因为P()==0.7, 所以P(A)=1-P()=1-0.7=0.3.考点冲关 1．【答案】D 【解析】必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率的范围是，故选D． 2．【答案】D 正确.综上所述，故选D.3．【答案】D 【解析】掷2枚硬币，有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），4个基本事件，则互为对立事件的是最多有1枚正面和恰有2枚正面，故答案为D． 4．【答案】B 【解析】由题意知,从袋中取出2个球包含事件:2个都是红球, 2个都是黑球，1个红球和1个黑球.由互斥事件的性质知,取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是.选B． 5．【答案】A 【解析】由于=，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件,即“至多有一张移动卡”,选A． 6．【答案】B 【解析】因为P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.选择B． 7．【答案】B 【解析】由题意知，不一定是互斥事件,所以，,所以,只有④正确,所以说法正确的个数为1.选B． 8．【解析】必然事件有(1);随机事件有(2)(3).对于(3),当|a+b|=|a|+|b|时,有两种可能:一种可能是a,b同号,即ab>0;另外一种可能是a,b中至少有一个为0,即ab=0.￥%网 10．【解析】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，它们是互斥事件.由条件可得，（1）由对立事件的概率公式知，所以任取一张，中一等奖的概率为；

（2）∵，而，∴，又，∴.所以任取一张，中三等奖的概率为.12．【解析】(1)设A,B,C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年,第2年和第3年之内,设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内, 因为A,B,C是互斥的,其概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=, 所以P(D)= P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=, 即首次出现故障发生在保修期内的概率为.(2)乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为, 故首次出现故障发生在保修期内的概率为.

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