高考数学（理）考点一遍过考点55,正态分布-之

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.一、正态曲线 1．正态曲线的定义 函数，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)． 2．正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，关于直线对称；

③曲线在处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；

越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 二、正态分布 1．正态分布的定义及表示 如果对于任何实数，随机变量X满足(即x=a，x=b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作． 2．正态分布的三个常用数据 ①；

②；

③.【注】若，则.考向一 正态分布 关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法：

(1)熟记，的值．(2)正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上的概率相同．(3).(4)若X服从正态分布，即，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.典例1 已知随机变量服从正态分布，若，则 A．0.6827 B．0.8522 C．0.9544 D．0.9772 【答案】C 【解析】因为随机变量服从正态分布，所以其图象关于直线对称，因为，所以，所以，所以.故选C.【名师点睛】本题考查正态分布，关键是对正态分布曲线的理解与掌握，是基础题.利用正态分布的对称性结合已知求得，然后求解即可.1．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则 A． B． C． D． 2．已知随机变量ξ服从正态分布,且 A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 考向二 正态分布的应用 正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；

有时也会与概率统计结合，在解答题中考查． 典例2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为(参考数据：若，则；；

.)A．0.9544 B．0.6826 C．0.9974 D．0.9772 【答案】D 【解析】由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，则.由正态分布的对称性，可得.3．已知某厂生产的电子产品的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，．（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在的概率；

（2）现从该厂随机抽取3件产品，记抽到的3件产品使用寿命在的件数为，求的分布列和数学期望． 1．随机变量服从正态分布，若，则 A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知随机变量，且，则 A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，若，则等于 A． B． C． D． 4．已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图所示，则 A． B． C． D． 5．某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为 A．10 B．20 C．30 D．40 6．已知随机变量～，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 附：若随机变量～，则，.A．6038 B．6587 C．7028 D．7539 7．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度不低于的概率为 A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2 8．设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是 A． B． C． D． 9．已知随机变量服从正态分布，即，且，若随机变量，则 A．0.3413 B．0.3174 C．0.1587 D．0.1586 10．若随机变量服从正态分布，则，.设，且，则__________.11．为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为__________.（附：若随机变量服从正态分布，则，.）

12．在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人? 附：.13．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求E（X）． 附：． 若，则，． 14．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店11月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：

x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7（1）求出与的回归方程；

（2）判断与之间是正相关还是负相关；

若该地11月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；

（3）设该地11月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：①回归方程中，.②，若～，则，.15．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；

①；

②；

③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；

仅满足其中两个，则等级为乙；

若仅满足其中一个，则等级为丙；

若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；

（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.1．(2015年高考湖北卷)设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A． B． C．对任意正数，D．对任意正数，2．（2015年高考山东卷）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，.）

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 3．(2015年高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为 A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 附：若X~N(μ，σ2)，则.4．(2017年高考新课标Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 变式拓展 1．【答案】A 【解析】由正态分布N(μ，σ2)的性质知，x=μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；

又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.@#网 【名师点评】熟练掌握正态密度曲线的性质是解决正态分布问题的关键． 2．【答案】C 【名师点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：

①熟记P(μ－σ

（2）分布列见解析，期望为． 【解析】（1）～正态分布，． ∴．.即从该厂随机抽取一件产品，其使用寿命在的概率为． 数学期望为：． 【思路点拨】（1）由X～N（1000，σ2），且P（X≤800）=0.1，P（X≥1300）=0.02，可得P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）=P（X≥1200）=P（X≤800），即可得出P（1200≤X＜1300）.（2）由（1）可得P（800＜X＜1200）=1﹣2P（X≤800）=，从而可得Y～B(3,)，由P（Y=k）=（k=0，1，2，3）即可得出． 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.考点冲关 1．【答案】B 【名师点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，直接根据正态曲线的对称性求解即可，属于中档题.正态曲线的常见性质有：

学#￥（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；

（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;（3）正态分布区间上的概率，关于对称，.2．【答案】B 【解析】由正态分布的对称性知，故本题选B.3．【答案】A 【解析】由随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（）=P（）=0.15，可得μ=3，且P（）=1﹣P（）﹣P（）=1﹣0.15﹣0.15=0.70，∴P（）=P（）=0.35． 故答案为A． 【名师点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．由已知可得P（）=1﹣P（）﹣P（）=0.70，再由对称性可得P（）的值． 4．【答案】D 【解析】正态分布密度曲线关于直线对称，且在处取得峰值，由图得，故.故选D.5．【答案】B 【名师点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于直线x=10对称，利用对称写出要用的频数，题目得解．根据大米质量ξ服从正态分布N（10，σ2），得到大米质量ξ关于直线x=10对称，根据P（9.9≤ξ≤10.1）=0.96，得到P（ξ＜9.9）==0.02，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数． 6．【答案】B 【解析】由题意得，落入阴影部分的概率为，则落入阴影部分的点的个数的估计值为.故选B.7．【答案】C 【解析】由题意可得，μ=100，且P（80＜ξ＜120）=0.7，则P（ξ≤80或ξ≥120）=1﹣P（80＜ξ＜120）=1﹣0.7=0.3． ∴P（ξ≥120）=P（ξ≤80或ξ≥120）=0.15，则他速度不低于120的概率为0.15． 故选C． 【名师点睛】根据正态分布的定义，可以求出P（ξ≤80或ξ≥120）的概率，除以2得答案．关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：

①熟记P(μ－σ

（2）110.【解析】由题知参赛学生的成绩为X，因为，所以，则，（人）． 因此，此次参赛学生的总数约为696人．（2）由，（人）． 因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人． 【思路分析】（1）由题意首先确定正态分布中的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可；

（2）利用（1）的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数． 13．【答案】（1）200,150；

（2）（i）0.6826；

（ii）68.26.【方法点晴】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差、正态分布的应用，其中解答涉及离散型随机变量的期望与方差的公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，解答中正确、准确的计算是解得问题的关键.（1）利用离散型随机变量的期望和方差的公式，即可求解样本平均数和样本方差；

（2）（i）由（1）知，从而求出，注意运用所给数据；

（ii）由（i）知，运用即可求得.14．【答案】（1）；

（2）9.56（或）千克；

（3）.【解析】（1）∵，，【名师点睛】（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 学%……（2）关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：

①熟记的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.15．【答案】（1）见解析；

（2）（i）；

（ⅱ）.【解析】（1）由题意知：，，，所以由图表知道：，【名师点睛】本题考查了正态分布中3原则及其简单应用，概率分布及其分布列、数学期望的简单计算，属于中档题.（1）根据3原则，分别求得其对应的概率，进而判断出M的性能级别.（2）（i）通过题意可知，样本中共有6件次品，可知M生产的次品率为0.06，通过二项分布的概率分布即可求得次品的数学期望.（ii）通过题意可知，从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2，分别求其概率，再利用期望公式可得解.直通高考 1．【答案】C 【解析】由正态密度曲线的性质可知，的密度曲线分别关于、对称，因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以对任意正数，.2．【答案】B 【解析】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：，故选B.3．【答案】C 【解析】由题意可得，设落入阴影部分的点的个数为n，则P=，则n=3 413，选C.4．【答案】（1），；

（2）（i）见解析；

（ii）需对当天的生产过程进行检查，的估计值为10.02，的估计值为..网，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.

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