高考百盛高三冲刺班数学练习（五）（附答案）

1 百盛高三冲刺班数学测试（五）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2 sina B b ，则角 A 等于（）A．3 B．3或23 C．6 D．6或56 2．在 ABC 中，“ A B ”是“ sin sin A B  ”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若3A，4 b ，ABC 的面积为 3 3，则 sin B （）A．2 3913 B．3913 C．5 213 D．3 1313 4．在 ABC 中，角, , A B C 的对边分别为 , , a b c，已知 , 3, 33A a b  ，则 c（）A． 3 B． 3 3  C．3 D． 2 3 5．已知曲线  2ln f x a x x   在 1 x  处的切线方程为 0 x y b   ，则 ab （）A．3 B．5 C．6 D．8 6．已知函数()f x 的导函数为()f x，且满足()3(2)ln f x f x x  ，则(2)f 为()A．14 B．14 C．ln22 D．ln22

2 7．物体做直线运动，其运动规律是23n tt （t 为时间，单位是 s，n 为路程，单位是 m），则它在 3 s 末的瞬时速度为（）A．134 B．194 C．173 D． 10 8．若ln4 ln5.3 ln6, ,4 5.3 6a b c   ，则 a b c、、的大小是（）A． a b c   B． c b a   C． ca b   D． b a c   二、多选题 9．如图是函数()y f x  的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A．()f x 在  2, 1   上是增函数 B．当 3 x  时，()f x 取得最小值 C．当 1 x   时，()f x 取得极小值 D．()f x 在  1,2  上是增函数，在   2,4 上是减函数 10．设函数cos2()2 sin cosxf xx x，则（）A．()()f x f x    B．()f x 的最大值为12C．()f x 在 ,04    单调递增 D．()f x 在0,4    单调递减 三、填空题 11．3 2()3 2 1 f x x x x     在区间 [0,1] 上的最大值为_______.12．已知   f x 是定义域为 R 的奇函数， f x  是   f x 的导函数，  1 0 f  ，当 0 x  时，    0 xf x f x  ，则关于 x 的不等式   0 xf x  解集为____________.13．已知锐角 ABC 中，2 A B   ，4 AC ，则 BC 的范围为___________.3 14．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线9y xx （0 x ）上的一个动点，则点 P 到直线 0 x y   的距离的最小值是________． 四、解答题 15． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知3sin cos sin cos2b A C c A B a  ．（1）求 A 的大小；（2）若 b a ，3 b c  ，3 a ，求 ABC 的面积． 16．已知函数  2ln f x a x bx  ，a ､ b R ，若   f x 在 1 x  处与直线12y =-相切.（1）求 a，b 的值；（2）求   f x 在1,ee   上的极值.17．已知函数2()4(2)ln f x x x a x    ，a R .（1）当 8 a  时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间 [2,) 内单调递增，求 a 的取值范围.4

5 参考答案 1．D 【分析】 由正弦定理化简得1sin2A，即可求解.【详解】 因为 2 sin a B b ，由正弦定理可得 2sin sin sin A B B ，又因为(0,)B  ，可得 sin 0 B ，所以1sin2A，又由(0,)A  ，所以6A 或56.故选：D.2．A 【分析】 根据 A B  与 sin sin A B  的互相推出情况，确定出属于何种条件.【详解】 因为 A B  a b  ，再由正弦定理可知：

sin sin A B ，所以 sin sin A B A B    ； 因为 sin sin A B ，根据正弦定理可知 a b ，又 a b A B   ，所以sin sin A A B B   ，所以“ A B  ”是“ sin sin AB  ”的充要条件，故选：A.【点睛】 结论点睛：在三角形中，三角形的内角越大，其所对的边越长，反之亦成立；三角形的内角越小，其所对的边越短，反之亦成立.6 3．A 【分析】 由面积公式可得 3 c ，由余弦定理可得：2 2 22 cos 13, a b c bc A     得 13 a ，再由正弦定理可得答案 【详解】 1sin 3 3 32   S bc A c，所以 3 c ，由余弦定理可得：2 2 22 cos 13, a b c bc A     得 13 a  又由正弦定理可得：sin sina bA B，所以sin 2 39sin13 b ABa，故选：A.4．D 【分析】 可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于 0.【详解】 因为 , 3, 33A a b  ，由余弦定理得2 2 22 cos a b c bc A   ，即2 29 3 2 3 cos 3 33c c c c       ，23 6 0 c c    ，2 3 c  或 3 c  （舍).故选：D.7 5．C 【分析】 根据导数的几何意义，可求得切线的斜率   1 2 k f a    ，又切线为 0 x y b   ，可得斜率 1 k  ，即可求得 a 的值，求得切点坐标，代入切线方程，即可求得 b 的值，即可得答案.【详解】 由  2ln f x a x x  ，得   2af x xx  ，所以()f x 在1 x  处的切线斜率   1 2 k f a   ，又   f x 在 1 x  处的切线方程为 0 x y b   ，所以斜率 1 k  ，所以 2 1 a  ，解得 3 a  ，则  23ln f x x x  ，  1 1 f ，将点(1,1)代入 0 x y b   ，得 1 1 0 b   ，解得 2 b  ，所以     3 2 6 ab    .故选：C.6．B 【分析】 对函数()f x 求导，即可得出(2)f .【详解】 1()3(2)xf x f    

8 1(2)3(2)2f f     ，解得：1(2)4f   故选：B 【点睛】 本题主要考查了求某点处的导数值，属于基础题.7．C 【分析】 求出导数，分析得该物体在 3 s 末的瞬时速度即为 3 t  时的导数值，将 3 t  代入导数即可得解.【详解】 232 n tt ，该物体在 3 s 末的瞬时速度即为 3 t  时的导数31 1763 3tn   .故选 C 【点睛】 本题考查求解具体函数的导数、导数的意义，属于基础题.8．B 【分析】 令  ln xf xx，用导数法研究其单调性，然后利用单调性求解.【详解】 令  ln xf xx，则  21 ln xf xx ，当 0 x e   时，  0 f x  ，当 x e  时，  0 f x  ，9 所以   f x 在   0,e 上递增，在   , e  上递减，又因为 4 5.3 6 e   ，所以       4 5.3 6 f f f  ，即 c b a  ，故选：B 9．CD 【分析】 根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.【详解】 根据图象知当   2, 1 x  ，  2,4 x 时，"()0 f x ，函数单调递减；当   1,2 x ，  4, x  时，"()0 f x ，函数单调递增.故 A 错误，D 正确；当 1 x   时，()f x 取得极小值，C 正确；当 3 x  时，()f x 不是取得最小值，B 错误.故选：CD 10．AD 【分析】 先证明()f x 为周期函数，周期为 ，从而 A 正确，再利用辅助角公式可判断 B 的正误，结合导数的符号可判断 C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为 R，且cos2()2 sin cosxf xx x，10      cos 2 2 cos2()2 sin cos 2 sin cosx xf x f xx x x x       ，故 A 正确． 又2cos2 2cos2()4 2sin cos 4 sin2x xf xx x x  ，令2cos24 sin2xyx，则 24 2cos2 sin2 4 cos 2 y x y x y x      ，其中2 22cos ,sin4 4yy y    ，故2414yy即2415y ，故2 15 2 1515 15y   ，当2 1515y 时，有15 1cos ,sin4 4   ，此时   cos 2 1 x    即2x k  ，故max2 1515y ，故 B 错误．      22 22 2sin2 4 sin2 2cos 24 1 4sin2()4 sin2 4 sin2x x xxf xx x         ，当 0,4x    时，()0 f x ，故()f x 在 0,4    为减函数，故 D 正确． 当 ,04x     时，1 sin2 0 x   ，故 3 1 4sin2 1 x    ，因为 2 t x  为增函数且 2 ,02x     ，而 1 4sin y t   在,02    为增函数，所以   1 4sin2 h x x   在 ,04    上为增函数，故 1 4sin2 0 x   在 ,04    有唯一解0x，11 故当  0 ,0x x  时，  0 h x  即()0 f x  ，故()f x 在  0 ,0x 为减函数，故 C 不正确． 故选：AD 【点睛】 方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用． 11．2 319 【分析】 先求导，得到函数()f x 的单调性，从而得到函数()f x 在3[0,1 ]3上单调递增，在3[1 ,1]3上单调递减，可得函数()f x 在 [0,1] 上的最大值.【详解】 解：2()3 6 2 f x x x  ，令()0 f x 得，313x  ，令()0 f x 得，313x  或313x  ，∴()f x 在3,13     和31 ,3     上单调递增；令()0 f x 得，3 31 13 3x    ，∴()f x 在3 31 ,13 3     上单调递减，∴函数()f x 在3[0,1 ]3上单调递增，在3[1 ,1]3上单调递减，∴函数()f x 在 [0,1] 上的最大值为3 2 3(1)13 9f   .12 故答案为：2 319.12．(1,0)(0,1) 【分析】 构造函数()()f xg xx，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解． 【详解】 令()()f xg xx，求导2()()()xf x f xg xx   0 x> 时，    0 xf x f x   ，则当 0 x  时，2()()()0   xf x f xg xx，即()g x 在(0,) 上单调递减，又()f x 为奇函数，即()()f x f x   ，则()()()()()   f x f xg x g xx x，故()g x 为偶函数且在(,0) 上单调递增，因为   1 0 f  ，故     1 1 0 g g   ，作出()g x 的图像性质类似下图所示，由  20()0()0      xf x x g x g x，由图可知，1 0 x    或 0 1 x  .故答案为：

    1,0 0,1  U.13 【点睛】 方法点睛：本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，构造函数常用形式：

（1）利用()f x 与 x 的构造，常用构造形式：出现“  ”用()xf x，出现“  ”用()f xx；（2）利用()f x 与xe 的构造，常用构造形式：出现()()f x f x   形式，构造函数()()xF x e f x  ；出现()()f x f x 形式，构造函数()()xf xF xe ； 13．  4 2,4 3 【分析】 根据题中条件，由正弦定理，得到 8cos BC B ，再求出 B 的范围，即可得出结果.【详解】 因为锐角 ABC 中，2 A B   ，4 AC ，所以，由正弦定理可得：sin sinBC ACA B，则4sin 4sin28cossin sinA BBC BB B  ，又 ABC 为锐角三角形，所以222A BB A   ，即3222BB ，所以6 4B  ，因此2 3cos2 2B  ，所以  8cos 4 2,4 3 BC B  .故答案为：

 4 2,4 3.14．6 【分析】

14 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】 解：当直线 0 x y  平移到与曲线9y xx  相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 0 x y   的距离最小.由291 1 yx    ，得3 22x （负值舍去），9 22y ，即切点3 2 9 2,2 2Q    ，则切点 Q 到直线 0 x y   的距离为2 23 2 9 22 261 1，故答案为：

6 ． 【点睛】 本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题，是中档题.解题的关键在于直线0 x y  平移到与曲线9y xx  相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 0 x y   的距离最小.15．（1）3A 或23；（2）32． 【分析】（1）由正弦定理化简得3sin2B C  （），进而得到3sin2A，即可求解；

15（2）由（1）得到3A，由余弦定理求得 2 bc ，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）因为3sin cos sin cos2b A C c A B a  ，由正弦定理可得3sin sin cos sin sin cos sin2B A C C A B A   因为(0,)A  ，可得 sin 0 A  所以3sin cos sin cos2B C C B  ，可得3sin2B C  （），又因为 A B C    ，可得3sin sin2A B C   （），因为(0,)A  ，所以3A 或23.（2）因为 b a ，所以3A，又由 3, 3 b c a   ，则2 2 22 9, 3 b bc c a    ，所以2 2 26 2 b c a bc    ，由余弦定理可得：2 2 22 cos b c a bc A bc    ，解得2 bc ，所以1 3sin2 2ABCS bc A .【点睛】

16 对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.16．（1）112ab ；（2）极大值为12，无极小值.【分析】（1）求得函数额导数   2af x bxx  ，根据题意列出方程组，即可求得 , a b 的值；（2）由（1）得  21ln2f x x x  ，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，函数  2ln f x a x bx  ，可得   2af x bxx  ，因为函数   f x 在 1 x  处与直线12y =-相切，所以  1 0112ff  ，即2 012a bb     ，解得11,2a b  .（2）由（1）得  21ln2f x x x  ，定义域为   0,  ，且 21 1 xf x xx x   ，令   0 f x  ，得 0 1 x  ，令   0 f x  ，得 1 x .所以   f x 在1,1e   上单调递增，在   1,e 上单调递减，17 所以   f x 在1,ee   上的极大值为  112f  ，无极小值.17．（1）函数()f x 的递减区间为(0,3)，递增区间为(3,) ,（2）2 a  【分析】（1）求导后，令()0 f x ，得递减区间，令()0 f x ，得递增区间；（2）将问题转化为()0 f x 在区间 [2,) 内恒成立，再分离变量可得22 4 2 a x x    在区间 [2,) 内恒成立，转化为min()a g x ，再根据二次函数求出最小值即可得到结果.【详解】（1）8 a  时，2()4 6ln f x x x x   (0)x ，6()2 4 f x xx   22 4 6 x xx ，令()0 f x ，得22 3 0 x x   ，解得 0 3 x   ； 令()0 f x ，得22 3 0 x x   ，解得 3 x ，所以函数()f x 的递减区间为(0,3)，递增区间为(3,).（2）因为2()2 4af x xx   22 4 2 x x ax  ，且()f x 在区间 [2,) 内单调递增，所以()0 f x 在区间 [2,) 内恒成立，所以22 4 2 0 x x a    ，即22 4 2 a x x    在区间 [2,) 内恒成立，令2()2 4 2 g x x x   ，[2,)x ，则min()a g x ，因为2()2 4 2 g x x x    在区间 [2,) 内为增函数，18 所以 2 x  时，()(2)2ming x g  ，所以 2 a .【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了由函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围，属于基础题.

高考百盛高三冲刺班数学练习（四）（附答案）

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高考百盛高三冲刺班数学练习（五)（附答案）,(6)

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