《算法设计与分析》实验指导

作者：沙笪单 | 发布时间：2021-03-07 06:37:11 收藏本文下载本文

《算法分析与设计》实验指导.1 实验一锦标赛问题 [实验目的] 1.基本掌握分治算法的原理.2.能用程序设计语言求解锦标赛等问题的算法;[预习要求] 1.认真阅读数据结构教材和算法设计教材,了解分治算法原理;2.设计用分治算法求解背包问题的数据结构与程序代码.[实验题] 【问题描述】设有 n=2 k 个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

（1）每个选手必须与其他 n-1 个选手各赛一次；（2）每个选手一天只能参赛一次；（3）循环赛在 n-1 天内结束。

请按此要求将比赛日程表设计成有 n 行和 n-1 列的一个表。在表中的第 i 行，第 j 列处填入第 i 个选手在第 j 天所遇到的选手。其中 1≤i≤n，1≤j≤n-1。

[实验提示] 我们可以按分治策略将所有的选手分为两半，则 n 个选手的比赛日程表可以通过 n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分，直到只剩下两个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这两个选手进行比赛就可以了。

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 7 8 5 3 4 1 2 7 8 5 6 1 2 3 4 3 2 1 8 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 2 1 2 1 4 3 6 5 8 7 2 1 4 3 1 2 3 4 1 2 7 8 5 6 3 2 1 4 2 1 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1（1）（2）（3）图 1 2 个、4 个和 8 个选手的比赛日程表图 1 所列出的正方形表（3）是 8 个选手的比赛日程表。其中左上角与左下角的两小块分别为选手 1 至选手 4 和选手 5 至选手 8 前 3 天的比赛日程。据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这

2 样我们就分别安排好了选手 1 至选手 4 和选手 5 至选手 8 在后 4 天的比赛日程。依此思想容易将这个比赛日程表推广到具有任意多个选手的情形。

[实验步骤] 1.设计并实现算法并准备测试用例,修改并调试程序,直至正确为止;2.应用设计的算法和程序求锦标赛问题;3.去掉测试程序,将你的程序整理成功能模块存盘备用.[实验报告要求] 1.阐述实验目的和实验内容;2.阐述分治算法原理;3.提交实验程序的功能模块;4.记录最终测试数据和测试结果。

[思考与练习] 【金块问题】老板有一袋金块(共 n 块，n 是 2 的幂（n>=2）），将有两名最优秀的雇员每人得到其中的一块，排名第一的得到最重的那块，排名第二的雇员得到袋子中最轻的金块。假设有一台比较重量的仪器，请用最少的比较次数找出最重和最轻的金块。

3 实验二背包问题 [实验目的] 3.能用程序设计语言实现求解背包问题的算法;4.基本掌握动态规划法（贪心）的原理方法.[预习要求] 3.认真阅读数据结构教材和算法设计教材,了解背包问题的常用算法原理;4.设计用动态规划算法求解背包问题的数据结构和递归程序.[实验题] 【背包问题】有不同价值、不同重量的物品 n 件，求从这 n 件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量 W，但选中物品的价值之和最大。

[实验提示] 设 n 件物品的重量分别为 w 0、w 1、…、w n-1，物品的价值分别为 v 0、v 1、…、v n-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组 option[ ]，该方案的总价值存于变量 maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组 cop[ ]。假定当前方案已考虑了前 i-1 件物品，现在要考虑第 i 件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为 tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为 tv。算法引入 tv 是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值 maxv 时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比 maxv 大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。

对于第 i 件物品的选择考虑有两种可能：

（1）考虑物品 i 被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。

（2）考虑物品 i 不被选择，这种可能性仅当不包含物品 i 也有可能会找到价值更大的方案的情况。

按以上思想写出递归算法如下：

try(物品 i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值 tv){ /*考虑物品 i 包含在当前方案中的可能性*/ if(包含物品 i 是可以接受的){ 将物品 i 包含在当前方案中； if(i

4 } /*考虑物品 i 不包含在当前方案中的可能性*/ if(不包含物品 i 仅是可男考虑的)if(i

物品 0 1 2 3 重量 5 3 2 1 价值 4 4 3 1 并设限制重量为 7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。

[实验步骤] 4.设计并实现算法并准备测试用例,修改并调试程序,直至正确为止;5.应用设计的算法和程序求解背包问题;6.去掉测试程序,将你的程序整理成功能模块存盘备用.[实验报告要求] Try(0,0,12)Try(1,5,12)Try(1,0,8)Try(2,5,8)Try(3,7,8)Try(2,3,8)Try(3,5,8)不能得到更好的解不能得到更好的解超重不能得到更好的解得到解：(1,0,1,0)maxv=7 得到解：(0,1,1,1)maxv=8 不能得到更好的解超重

5 5.阐述实验目的和实验内容;6.阐述求解背包问题的算法原理;7.提交实验程序的功能模块;8.记录最终测试数据和测试结果。

[思考与练习] 请用其它的算法（如贪心、分支限界等）求解背包问题。

6 实验三作业调度问题 [实验目的] 1.熟悉多机调度问题的算法； 2.进一步掌握贪心算法 3.提高分析与解决问题的能力。

[预习要求] 1.认真阅读教材或参考书, 掌握贪心算法的基本思想； 2.写出求解“作业调度”的程序； 3.设计好测试用例。

[实验题] 要求给出一种作业调度方案，使所给的 n 个作业在尽可能短的时间内由 m 台机器加工处理完成。约定，每个作业均可在任何一台机器上加工处理，但未完工前不允许中断处理。作业不能拆分成更小的子作业。

[实验提示] 1.把作业按加工所用的时间从大到小排序； 2.如果作业数目比机器的数目少或相等，则直接把作业分配下去； 3.如果作业数目比机器的数目多，则每台机器上先分配一个作业，如下的作业分配时，是选那个表头上 s 最小的链表加入新作业。

typedef struct Job { int ID;//作业号 int time;//作业所花费的时间 }Job;typedef struct JobNode //作业链表的节点 { int ID;int time;JobNode *next;}JobNode,*pJobNode;typedef struct Header //链表的表头

7 { int s;pJobNode next;}Header,pHeader;int SelectMin(Header* M,int m){ int k=0;for(int i=1;i

[实验报告要求] 阐述实验目的和实验内容； 1 提交模块化的实验程序源代码； 2 简述程序的测试过程，提交实录的输入、输出文件； 3 鼓励对实验内容展开讨论，鼓励提交思考与练习题的代码和测试结果。

8 实验四回溯算法设计 [实验目的] 1.掌握回溯法解题的基本思想； 2.掌握回溯算法的设计方法； 3.针对子集和数问题，熟练掌握回溯递归算法、迭代算法的设计与实现。

[预习要求] 1.认真阅读教材或参考书, 掌握回溯法解题的基本思想, 算法的抽象控制策略； 2.了解子集和数问题及解向量的定长和变长状态空间表示； 3.针对解向量的定长表示, 设计状态空间树节点扩展的规范(限界)函数及实现方法； 4.分析深度优先扩展状态空间树节点或回溯的条件； 5.分析和设计生成解向量各分量可选值的实现方法； 6.设计和编制回溯算法的递归和迭代程序。

[实验题] 【组合数】找出从自然数 1，2，…，n 中任取 r 个数的所有组合。

[实验提示] 回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。

当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。

如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。

在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

可以采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于 a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：

（1）a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；（2）a[i]-i<=n-r+1。

按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：

首先放弃组合数个数为 r 的条件，候选组合从只有一个数字 1 开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为 1，2。继续这一过程，得到候选组合 1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因 a[2]上的 3 调整为 4，以及以后调整为 5都满足问题的全部要求，得到解 1，2，4 和 1，2，5。由于对 5 不能再作调整，就要从 a[2]回溯到 a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为 3，并向前试探，得到解 1，3，4。重复上述向前

9 试探和向后回溯，直至要从 a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：

void comb(int n,int r){ int i,j;i=0;a[i]=1;do { if(a[i]-i<=n-r+1)/*还可以向前试探*/ { if(i==r-1)/*已找到一个组合*/ { for(j=0;j

[实验报告要求] 1.阐述实验目的和实验内容； 2.提交模块化的实验程序源代码； 3.简述程序的测试过程，提交实录的输入、输出界面； 4.鼓励对实验内容展开讨论，鼓励提交思考与练习题的代码和测试结果。

[思考与练习] 1．在 3×3 个方格的方阵中要填入数字 1 到 N（N≥10）内的某 9 个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

2．试针对 0/1 背包问题设计回溯算法，比较与子集和数问题的算法差异。

3．求出在一个 n×n 的棋盘上，放置 n 个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。

10 实验五旅行商问题 [实验目的] 1 掌握分支限界法算法的解题的基本思想和设计方法； 2 区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解； 3 理解分支限界法算法中的限界函数应遵循正确、准确、高效的设计原则。

[预习要求] 1 认真阅读教材或参考书, 掌握分支限界法解题的基本思想； 2 设计状态空间树节点扩展的规范(限界)函数及实现方法； 3 分析和设计生成解向量各分量可选值的实现方法。

[实验题] 某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。

[设计提示] 用分支限界求解旅行商问题，其解空间是一个排列树。有两种基本的实现方法。第一种是只使用一个优先队列，队列中的每个元素中都包含到达根的路径。另一种是保留一个部分解空间树和一个优先队列，优先队列中的元素并不包含到达根的路径。

[参考数据类型或变量] /* 定义边结构 */ typedef struct _EDGE { int head;int tail;} EDGE;/* 定义路径结构 */ typedef struct _PATH { EDGE edge[MAX_CITIES];int edgesNumber;} PATH;/* 定义花费矩阵结构 */ typedef struct _MATRIX { int distance[MAX_CITIES][MAX_CITIES];

11 int citiesNumber;} MATRIX;/* 定义树结点 */ typedef struct _NODE { int bound;// 相应于本结点的花费下界 MATRIX matrix;// 当前花费矩阵 PATH path;// 已经选定的边 struct _NODE* left;// 左枝 struct _NODE* right;// 右枝 } NODE;[参考子程序接口与功能描述] int Simplify(MATRIX* c)功能：归约费用矩阵，返回费用矩阵的归约常数 EDGE SelectBestEdge(MATRIX c)功能：

搜索所有花费为零的边中最合适的，使左枝下界更大 MATRIX LeftNode(MATRIX c, EDGE edge)功能：

删掉所选分枝边 MATRIX RightNode(MATRIX c, EDGE edge, PATH path)功能：

删除行列和回路边后的矩阵 EDGE LoopEdge(PATH path, EDGE edge)功能：

计算回路边的函数，除了加入的新边，当前结点路线集合中还可能包含一些已经选定的边，这些边构成一条或几条路径，为了不构成回路，必须使其中包含新边的路径头尾不能相连，本函数返回这个头尾相连的边，以便把这个回路边的长度设成无穷。

int MatrixSize(MATRIX c, PATH path)功能：

计算花费矩阵当前阶数 void ShowPath(PATH path, MATRIX c)功能：显示路径 void ShowMatrix(MATRIX c)功能：

显示花费矩阵 [实验步骤] 1 录入、修改并测试你的程序，直至正确为止； 2 针对问题实例，实录运行时的输入、输出界面； 3 将你的程序和实录的界面存盘备用。

12 [实验报告要求] 1 阐述实验目的和实验内容； 2 提交模块化的实验程序源代码； 3 简述程序的测试过程，提交实录的输入、输出文件； 4 鼓励对实验内容展开讨论，鼓励提交思考与练习题的代码和测试结果。

[思考与练习] 1 试针对作业调度问题设计分支限界算法，并上机测试其正确性。

2 试对本实验中的问题，用回溯解法求解，并比较这两种算法的区别与执行效率。

13 附：实验（设计）报告参考格式设计一多段图问题的动态规划算法与实现一、实验目的 1.掌握有向网的成本邻接矩阵表示法； 2.掌握多段图问题的动态规划递推算法； 3.进一步掌握动态规划法的基本思想和算法设计方法； …… 二、实验内容 1 1．．任务描述 1）多段图问题简介 …… 2）设计任务简介设计求解多段图问题的动态规划算法，即设计和实现多段图问题的表示方案、动态规划递推算法，设计对算法或程序的测试方案并完成测试。

2 2．．多段图问题的表示方案本设计采用成本邻接矩阵表示多段图，针对多段图(可插入图例)描述成本邻接矩阵的规模与元素意义…… 3 3．．递推过程的抽象描述本设计采用前向或后向递推公式。用自然语言、伪程序设计语言或流程图等形式针对多段图问题的求解（抽象地）描述递推过程…… 4 4．．主要数据类型与变量 typedef NodeNumber int;/* 节点编号 */ typedef CostType int;/* 成本值类型 */ CostType cost[n][n]={…};/* 成本邻接矩阵, n 为顶点数 */ NodeNumber path[k];/* k 段图最短路径上的节点编号数组 */ NodeNumber cur=-1;/* 当前邻接节点 */（必要时，可对数据类型和变量进一步解释或说明，增加可读性）5 5．．算法或程序模块 int FindForward(CostType *cost[n], NodeNumber i, NodeNumber cur)

14 功能: 根据邻接矩阵查找节点 i 的下一个前向邻接节点, 成功时返回节点编号, 否则返回-1;cur 为当前的前向邻接节点, 第一次调用时其值为-1.int FindBackward(CostType *cost[n], NodeNumber i, NodeNumber cur)功能: 根据邻接矩阵查找节点 i 的下一个后向邻接节点, 成功时返回节点编号, 否则返回-1;cur 为当前的后向邻接节点, 第一次调用时其值为-1.（必要时，可对算法或程序模块进一步解释或说明，增加可读性）三、测试 1 1．．方案描述测试方案、测试模块、测试数据实例（文字数据、图或表等形式）…… 2 2．．结果结合测试数据实例描述测试过程和测试结果，最好给出表示测试过程和结果的抓图，对测试结果进行分析并得出结论。

四、总结与讨论可针对本设计谈体会、谈改进、谈设想等，展示你的概括、归纳和创新思维能力，看重的不是你的对与错，而是鼓励你的想象和创新思维。

附：程序模块的源代码