反证法导案(教师)

作者：莫名恋深 | 发布时间：2021-03-02 18:42:28 收藏本文下载本文

反证法导案利用 30 分钟左右预习课本第 66-67 页．一、研究提纲 1．什么反证法？它与分析法有何区别？你能理解反证法的逻辑原理吗？ 2．用反证法证明数学命题时，一般是怎样的步骤？ 3．遇到什么样的命题时，会考虑用反证法去证明？二、自学反馈第 67 页练习A 三、典型例题例 1．已知xyyxy x y x          1,1, 2 , 0 , 0 求证：

中至少有一个小于 2．练习：1．已知数列  nb 的通项公式为13241 nnb.求证：数列  nb 中的任意三项不可能成等差数列．在用反证法证明该命题时，应反设． 2．否定“自然数 c b a、、中恰有一个偶数”时的正确反设为(C)A． c b a、、都是奇数 B． c b a、、都是偶数 C． c b a、、或都是奇数或至少有两个偶数 D． c b a、、中至少有两个偶数例 2．证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．例 3．已知平面 α 内有两条相交直线 b a,（交点为 P）和平面 β平行，求证：平面 α ∥平面 β ．例 4．设 p 是质数，证明 p 是无理数．四、巩固提高 1．已知函数)(x f 是),(  上的增函数，且 R b a   ,，求证：若)()()()(b f a f b f a f          ，则 0    b a ．证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.由已知 f(x)的单调性得 f(a)≥f(－b)．又 a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 2．若关于 x 的三个方程 0 3 4 42        a ax x，0)1(2 2        a x a x，0 2 22      a ax x 中至少一个方程有实数解，求实数 a 的取值范围．解：若三个方程均无实根，则有                   0 231121230)2(4)2(0 4)1(0)3 4(4)4(232 2221aa aaa aa aa a或 123     a。设 A=   123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数 a 的取值范围为      123a a a A C U 或 3．已知 b a, 是异面直线，直线 c平行于直线 a，那么 c 与 b 的位置关系为()C A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 4.设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 , , a b S   有 ab S ，则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z的两个不相交的非空子集，Z V T   且 , , , a b c T   有;, , , abc T x y z V    有 xyz V ，则下列结论恒成立的是（A）A． , T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B． , T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C． , T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D． , T V 中每一个关于乘法都是封闭的 A..C B, , V T, , } { V }, { T;D , V , T , } { V }, { T ,;T , , 1 , 1 , ， , T, 1 , V T, 1 Z, V T :从而本题就选不对故的显然关于乘法都是封闭时偶数奇数当不对故关于乘法不封闭关于乘法封闭时负整数非负整数当另一方面对乘法封闭从而即则由于则不妨设两个集合中的一个中一定在故整数由于解析                      T ab T b a T b aT b a 五、课堂小结六、课后作业：

课本 67 页练习A-1，68 页练习B-2,习题 B-1．补充习题：

1．设23 3   b a，求证2    b a． 2.q p.2 , 0 0, p3 3      试用反证法证明：

若 q p q 2.q p 2 q p0 q-p.0)(0)(, 2))((: 2, q p2.q)pq(p6.q)3pq(p 2.8 3 3)(, 0 , 0 , 22 2 22 2 3 33 33 2 2 3 3                             不成立，故假设相矛盾。）但这与（由上两式得：得又由即。代入上式得：

又证明：q p q pq p q p pqq pq p q pq pq pq q p p q pq p q p 2．已知 0    c b a，0 , 0     abc ca bc ab，求证：

0 , 0 , 0    c b a ． [证明] 用反证法：

假设 a，b，c 不都是正数，由 abc>0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设 a<0，b<0，c>0，则由 a＋b＋c>0，可得 c>－(a＋b)，又 a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即 ab＋bc＋ca<－a 2 －ab－b 2 ∵a 2 >0，ab>0，b 2 >0，∴－a 2 －ab－b 2 ＝－(a 2 ＋ab＋b 2)<0，即 ab＋bc＋ca<0，这与已知 ab＋bc＋ca>0 矛盾，所以假设不成立．因此 a>0，b>0，c>0 成立． 3．求证：过两条平行线中的一条直线的所有平面，都与另一条直线平行或经过另一条直线． 4．已知数列 } {na 满足：211  a , 111)1(21)1(3       nnnnaaaa，)1(01    n a an n；数列 } {nb 满足：nb =2 21 n na a   )1(  n ．(1)求数列 } {na，} {nb 的通项公式；(2)证明:数列 } {nb 中的任意三项不可能成等差数列．解：（I）由题意可知，).1(3212 21 n na a    令.32, 112n n n nc c a c   则又 ,43122 1   a c 则数列 } {nc 是首项为 ,431 c 公比为32的等比数列，即 1)32(43 nnc，故.)32(431 2)32(4311 1 2        nnnna a 又.0 , 0211 1  n n aa a 故.)32(431)1(1 1     n nna.)32(41])32(431 [ ])32(431 [1 1 2 21          n n nn n na a b（II）用反证法证明：

假设数列 } {nb 存在三点)(, , t s r b b bt s r  按某种顺序成等差数列，由于数列 } {nb

是首项为41，公比为32的等比数列，于是有t s rb b b  ，则只可能有s r tb b b   2 2 成立，1 1)32(41)32(41)32(412     t s t t，两边同乘 , 2 3r t r t  化简得.3 2 2 2 3s t t s r t r t       由于 t s r  ，所以上式左边奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.故数列 } {nb 中任意三项不可能成等差数列.5.已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 M x f )(，①方程 0)(  x x f 有实数根；②函数)(x f 的导数)(xf 满足 1)(0    x f ．（1）判断函数4sin2)(x xx f   是否是集合 M 中的元素，并说明理由；（2）集合 M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为 D，则对于任意   D n m  ,，都存在   n m x ,0 ，使得等式)()()()(0x f m n m f n f     成立．试用这一性质证明：方程 0)(  x x f 有且只有一个实数根.解：（Ⅰ）因为①当 0  x 时，0)0( f，所以方程 0)(  x x f 有实数根 0； ② x x f cos4121)(  ，所以 43,41)(x f，满足条件 1)(0    x f ；由①②，函数4sin2)(x xx f   是集合 M 中的元素.…………7 分（Ⅱ）假设方程 0)(  x x f 存在两个实数根     (,），则 0)(, 0)(    β β f α α f.不妨设   ，根据题意存在),(   c，满足)()()()(c f α β α f β f    .因为   )(f，  )(f，且   ，所以 1)( cf.与已知 1)(0    x f 矛盾.又 0)(  x x f 有实数根，所以方程 0)(  x x f 有且只有一个实数根.…………14 分