概率论复习材料题
函授概率论与数理统计复习题 一、填空题 1、已知 P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则 A、B、C 中至少有一个发生的概率为 0.45。
2、A、B 互斥且 A=B，则 P(A)= 0。
3．把 9 本书任意地放在书架上，其中指定 3 本书放在一起的概率为 112 4.已知()0.6 P A ，()0.8 P B ，则()P AB的最大值为 0.6，最小值为 0.4。
5、设某试验成功的概率为 0.5，现独立地进行该试验 3 次，则至少有一次成功的 概率为 0.875 6、已知()0.6 P A ，()0.8 P B ，则()P AB的最大值为 0.6。，最小值为 0.4。
7、设 A、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A∣ B)=0.6，则 P(A∪B)= 0.88。
8、设 X、Y 相互独立，X ~)3 , 0(U,Y 的概率密度为其它 , 00 ,41)(41x ex fx，则(2 5 3)E X Y -14，(2 3 4)D X Y 147。
9．设 A、B 为随机事件, P(A)= 0.3, P(B)= 0.4, 若 P(A|B)=0.5, 则 P(AB)= ____0.5___;若 A 与 B 相互独立, 则 P(AB)= ___0.58______.10.已知()0.5,()0.6,()0.2 P A P B P A B ，则()P AB＝ 0.3 11．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P{ 1 < X < 3} = ____2/5_______.12．设随机变量 X 的分布函数为 ,2 , 1 2 1 , 6.01 1 , 3.01 , 0)( xxxxx F 则 X 的分布律为 _ X 1 1 2 p 3.0 3.0 4.0 __________________ ______.13．若离散型随机变量 X 的分布律为 则常数 a = ____0.3_____;又 Y = 2X + 3, 则 P{Y > 5} = ____0.5_____.14、设 A、B 为随机事件，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8，则 P(A+B)=__ 0.7 __。
15．设随机变量 X 服从二项分布 b(50, 0.2), 则 E(X)= ___10_____, D(X)= _____8______.16．设随机变量 X ~ N(0, 1), Y ~ N(1, 3), 且 X 和 Y 相互独立, 则 D(3X 2Y)=.17．设随机变量 X 的数学期望 E(X)= , 方差 D(X)= 2 , 则由切比雪夫不等式有 P{|X | < 3 } _____8/9___.二、选择题 1．设 A, B, C 是三个随机变量，则事件“A, B, C 不多于一个发生” 的逆事件为(D).(A)A, B, C 都发生(B)A, B, C 至少有一个发生(C)A, B, C 都不发生(D)A, B, C 至少有两个发生 2、射击 3 次，事件iA 表示第 I 次命中目标（I=1,2,3），则事件（D）表示恰命中一次。
（A）3 2 1A A A （B） 1 2 3 1 2 1A A A A A A X 1 2 3 p k 0.5 0.2 a
（C）ABC （D）3 2 1 3 2 1 3 2 1A A A A A A A A A 3、事件 A，B 为任意两个事件，则（D）成立。
（A） A B B A （B） A B B A （C） A B B A （D） B A B B A 4、设 A、B 为两事件，且 A B，则下列式子正确的是（A）。
（A） A P B A P （B） A P AB P （C） B P AB P （D） A P B P A B P 5．设随机变量 X, Y 相互独立, 与 分别是 X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y} 分布函数 为(C).(A)max{ , }(B)+ (C)(D)或 6、如果常数 C 为（B）。则函数 x 可以成为一个密度函数。
（A）任何实数（B）正数（C）1（D）任何非零实数 7．对任意两个随机变量 X 和 Y, 若 E(XY)= E(X)E(Y), 则(D).(A)X 和 Y 独立(B)X 和 Y 不独立(C)D(XY)= D(X)D(Y)(D)D(X + Y)= D(X)+ D(Y)8、袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机摸出 4 个球，其中恰有 3个白球的概率为（D）。
（A）53（B）81535（C）81533（D）485C 9．设随机变量 X 的概率密度为 f(x), 且满足 f(x)= f(x), F(x)为 X 的分布函数, 则对任意实数 a, 下列式子中成立的是(A).(A)(B)
(C)(D)10.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1),则B21} 0 {)A( Y X P 21} 1 {)B( Y X P 21} 0 {)C( Y X P 21} 1 {)D( Y X P 11．设 X 1 , X 2 , …, X n(n 3)为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 的无偏估计量的是(C).(A)X(B)0.1(6X 1 + 4X 2)(C)(D)X 1 + X 2 X 3 三、计算题 1、一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产，甲厂和乙厂生产的产品分别占 70％和 30％，甲乙两厂的合格率分别为 95％和 90％，现从中任取一只，则（1）它是次品的概率为多少？（2）若为次品，它是甲厂生产的概率为多少？ 解：设 A ‘次品’，B ‘产品是甲厂生产’ 依题意有：
% 70)( B P，% 30)( B P，% 5)|( B A P，% 10)|( B A P，（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B ＝ 065.0 % 10 30 % 5 % 70 （2）)()|()()|()()|()|(B P B A P B P B A PB P B A PA B P 5385.03.0 1.0 7.0 05.07.0 05.0 2、某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为 4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1)求这件产品是次品的概率;(2)若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率? 解：设 A 事件表示“产品为次品”，B 1 事件表示“是甲厂生产的产品”，B 2 事件表示“是乙厂生产的产品”，B 3 事件表示“是丙厂生产的产品”(1)这件产品是次品的概率:)()()()()()()(3 3 2 2 1 1B P B A P B P B A P B P B A P A P 035.0 2.0 05.0 35.0 02.0 45.0 04.0 (2)若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:
3518035.045.0 04.0)()()()(1 11 A PB P B A PA B P 3、用 3 个机床加工同一种零件，零件由 3 个机车加工的概率分别为 0.5, 0.3, 0.2,各机床加工零件的合格率分别为 0.94, 0.9, 0.95,求全部产品中的合格率。
解：设 任取一件产品为合格品 B 产品的事件，分别表示取到三个车间，，3 2 1A A A 则由条件 2.0 , 3.0 , 5.03 2 1 A P A P A P 95.0 , 90.0 , 94.03 2 1 A B P A B P A B P 由全概率公式 93.0 95.0 2.0 90.0 3.0 94.0 5.0 B P 4、设连续型随机变量 X 的概率密度为，其他 , 0 0 , sin)( x x Ax f 求 :(1)常 数 A 的 值;(2)随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 F(x);(3)}.2 3{ X P 解：(1)A x x A x x f 2 d sin d)(10 21 A(2) xt t f x F d)()(0 d 0 d)()(0 x xt t t f x F x 时，当)cos 1(21d sin210d d)()(000x t t t t t f x F xx x 时，当 1 0d d sin210d d)()(00 x xt t t t t t f x F x 时，当 所以 xt t f x F d)()(= xx xx, 10), cos 1(210 , 0
(3)414121)3()2(}2 3{ F F X P 5、一个袋中共有 10 个球，其中黑球 3 个，白球 7 个，先从袋中先后任取一球（不放回）(1)求第二次取到黑球的概率;(2)若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率? 解：设 A 事件表示“第二次取到黑球，B 1 事件表示“第一次取到黑球”，B 2 事件表示“第一次取到白球”，(1)第二次取到黑球的概率:)()()()()(2 2 1 1B P B A P B P B A P A P 3.01079310392 (2)若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率: 923.010392)()()()(1 11 A PB P B A PA B P 6、设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 求:(1)求 X, Y 的边缘概率密度 f X(x), f Y(y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)?(2)求 P{ X + Y 1} 解：(1) 其它，02 0), 2(21d)2(d),()(10x x y y xy y x f x f X 其它，01 0 , 2 d)2(d),()(20y y x y xx y x f y f Y 因为),()()(y x f y f x fY X ，所以 X 与 Y 是相互独立的.(2)247d)1)(2(21d)2(d } 1 {1021010 x x x y y x x Y X Px 7、设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 求:(1)求 X, Y 的边缘概率密度 f X(x), f Y(y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)?(2)求 P{ X + Y 1}
解：
(1) 其它，02 0), 2(21d)2(d),()(10x x y y xy y x f x f X 其它，01 0 , 2 d)2(d),()(20y y x y xx y x f y f Y 因为),()()(y x f y f x fY X ，所以 X 与 Y 是相互独立的.(2)247d)1)(2(21d)2(d } 1 {1021010 x x x y y x x Y X Px 8 8、已知连续型随机变量 X X 的密度函数为 其它 , 0), 0(,2)(2a xxx f 求（1 1）a a ；（2 2）分布函数 F(x)；（3 3）P(－ 0.5 < X < 0.5)。
解 ：202(1)()1 axf x dx dxa 22 202 0()()0 2 0()()()()1 xx xxx F x f t dtt x x F x f t dt dtx F x f t dt （）当 时，当 时，当 时，22 0, 0(), 0 1, xx F x xx 故(3)P（--0.5
