高考卷-15全国卷二数学卷

作者：liulanggege | 发布时间：2021-02-27 14:03:13 收藏本文下载本文

2015全国卷二数学满分: 班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________ 一、单选题（共12小题）

1．已知集合，则（）

A． B． C． D． 2．若为实数，且，则（）

A．-4 B．-3 C．3 D．4 3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．已知，则（）

A．-1 B． 0 C．1 D．2 5．设是等差数列的前项和，若，则（）

A．5 B．7 C．9 D．11 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A． B． C． D． 7．已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为（）

A． B． C． D． 8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的为（）

A．0 B．2 C．4 D．14 9．已知等比数列满足，则（）

A． B． C． D． 10．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点。若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）

A． B． C． D． 11．如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记，将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（）

A． B． C． D． 12．设函数，则使得成立的的取值范围是（）

A． B． C． D．二、填空题（共4小题）

13.已知函数的图像过点，则=________。

14.若x，y满足约束条件，则的最大值为_________。

15.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为_________。

16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________。

三、解答题（共8小题）

17.△ABC中D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求.18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了个用户，根据用户对其产品的满意度的评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表。

B地区用户满意度评分的频数分布表（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度，（不要求计算出具体值，给出结论即可）

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由。

19.如图，长方体中，，点E，F分别在上，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；

（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。

20.已知椭圆的离心率为，点在C上．（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直线不经过原点O，且不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值。

21.已知．（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围.22.如图O是等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）若AG等于圆O半径，且，求四边形EDCF的面积。

23.在直角坐标系中，曲线（t为参数，且），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（Ⅰ）求与交点的直角坐标；

（Ⅱ）若与相交于点A，与相交于点B，求最大值． 24.设均为正数，且．证明：

（Ⅰ）若，则；

（Ⅱ）是的充要条件．答案部分 1.考点：集合的运算试题解析：

由题意在数轴上表示出集合与集合，如图所以，选A 答案：A 2.考点：复数综合运算试题解析：

由，得，所以，选D 答案：D 3.考点：变量相关试题解析：

对于选项A：从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；

对于选项B：2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；

对于选项C：从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；

对于选项D：2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，选D 答案：D 4.考点：平面向量坐标运算试题解析：，选B 答案：B 5.考点：等差数列试题解析：

由题意得：，所以所以，选A 答案：A 6.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：

如图所示截面为，设边长为，则截取部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，选D 答案：D 7.考点：圆的标准方程与一般方程试题解析：因为外接圆的圆心在直线的垂直平分线上，即直线上，可设圆心，由得，解得，圆心坐标为所以圆心到原点的距离，选B 答案：B 8.考点：算法和程序框图试题解析：

输入第一步成立，执行，不成立执行第二步成立，执行，成立执行，第三步成立，执行，成立执行第四步成立，执行，成立执行第四步成立，执行，不成立执行第五步不成立，输出.选B 答案：B 9.考点：等比数列试题解析：

设公比为，由题意得，解得：，所以答案：C 10.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：

如图，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时故，则球的表面积为，选C．答案：C 11.考点：函数模型及其应用试题解析：由已知得，当点在边上运动时，即时，；

当点在边上运动时，即时，当时，；

当点在边上运动时，即时，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线性，选B 答案：B 12.考点：函数综合试题解析：

当时，所以在单调递增，因为函数为偶函数，所以在单调递减，所以，即，平方得解得，所求x的取值范围是．选A．答案：A 13.考点：函数及其表示试题解析：

把代入得：

答案：-2 14.考点：线性规划试题解析：

作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即将代入目标函数，得即的最大值为．答案：8 15.考点：双曲线试题解析：

设双曲线方程为，把点代入，可得，所以所以双曲线的标准方程是．故答案为：．答案：

16.考点：导数的概念和几何意义试题解析：

因为，所以在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．由于切线与曲线相切，联立得，又两线相切有一切点，所以有，解得．故答案为：．答案：8 17.考点：三角函数综合试题解析：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；

（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

18.考点：频率分布表与直方图试题解析：

（Ⅰ）

通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6 得P（）=（0.005+0.02）×10=0.25 ∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 19.考点：立体几何综合试题解析：

（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；

（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

20.考点：圆锥曲线综合试题解析：

（1）椭圆C：，（）的离心率，点（2，）在C上，可得，解得，所求椭圆C方程为：

（2）设直线：，A，B，M，把直线代入可得，故=，=，于是在的斜率为：==，即． ∴直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 21.考点：导数的综合运用试题解析：（Ⅰ）的定义域为，所以，若，则，∴函数在上单调递增，若，则当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；

当时，在取得最大值，最大值为，∵, ∴，令，∵在单调递增，∴当时，当时，∴的取值范围为答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（0，1）

22.考点：圆试题解析：

（Ⅰ）如图所示，连接，则即.因为，所以，所以，即.因为，所以.因为是等腰三角形，所以，所以，所以.（Ⅱ）设的半径为，.在中，.，解得.在中，.，，是等边三角形.连接，，.在，..在中，.四边形的面积为.答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

23.考点：曲线参数方程试题解析：

（Ⅰ）将曲线化为直角坐标系方程 ,.联立解得.所以交点坐标为，.（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中.因此的极坐标为，的极坐标为.所以.当时，取得最大值，最大值为.答案：（Ⅰ），（Ⅱ）4 24.考点：不等式证明试题解析：

（Ⅰ）由题意可得，而，即.（Ⅱ）

答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析