2021届江苏省苏州中学高三（10月份）调研数学试题（解析版）

2021 届江苏省苏州中学高三（10 月份）调研数学试题 一、单选题 1． ． 已知集合  22 0 A x x x    ， B x y x  ，则 A B （）A． ．   1 2 x x    B． ．   0 2 x x   C． ．   1 x x   D． ．   0 x x  【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法以及定义域的求法化简集合，再进行并集运算.【详解】∵集合  22 0 A x x x    ，∴集合   | 1 2 A x x     ∵集合   B x y x  ，∴集合   0 B x x   ∴   1 A B x x     故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，涉及了一元二次不等式的解法，定义域的求解，属于基础题.2． ． 已知34 5sin    ，0,2   ，则 cos  （（））A． ．210 B． ．3 210 C． ．22 D． ．7 210 【答案】A 【分析】利用角的变换 cos cos4 4             化简，求值.【详解】 0,2   ，,4 4 4        24cos 1 sin4 4 5               ，cos cos cos cos sin sin4 4 4 4 4 4                                    4 2 3 2 25 2 5 2 10    .故选：A 【点睛】本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.3． ． 若 0 b a  ，则下列不等式：

① a b  ； ② a b ab   ； ③22aa bb  中，正确的不等式的有（））A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 个 【答案】C 【分析】根据不等式的性质以及2()0 a b   即可判断正误.【详解】由 0 b a   知：

| | | | b a ，0 a b ab   ，而2()0 a b  ，则有2 22 a b ab  ，即22aa bb ，即②③都正确.故选：C 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.4 ．函数2()(0, 0)f x ax bx a b     在点(1,(1))f 处的切线斜率为 2，则8a bab的最小值是（）A ．10 B ．9 C ．8 D． ． 3 2 【答案】B 【解析】对函数求导可得，  " 2.f x ax b   根据导数的几何意义，  " 1 2 2 f a b   ，即b1.2a  8a bab=8 1b a =(8 1b a)·b(2a)=8a b2 b a +5≥28a b2 b a +5=4+5=9，当且仅当2 28a b2a bb a  即13 43ab 时，取等号.所以8a bab的最小值是 9.故选 B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件 5 ．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建

数 立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 的 Logistic 模型 ：0.23(53)()= 1etIKt 中，其中 K 为最大确诊病例数．当 I(*t)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 【答案】C 【分析】将 tt  代入函数    0.23 531tKI te 结合   0.95 I t K 求得 t  即可得解.【详解】    0.23 531tKI te ，所以   0.23 530.951tKI t Ke  ，则 0.23 5319te ，所以，  0.23 53 ln19 3 t    ，解得353 660.23t    .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6． ． 已知函数ln , 0(), 0e xx x xf xxx  则函数   1 y f x   的图象大致是（））A． ． B． ． C． ． D． ． 【答案】B 【分析】本题可用特殊值排除法解决问题,代入特殊值 0 x 、1 x  故排除 CD；当 0 x 时,利用导数判断单调性,排除 A,当 0 1 x   时,   1 0 y f x    ,当 1 x时,  1 0 y f x    ,即可得出最后答案.【详解】解：①当 0 x  时,     1 0 1 1 ln1 0 y f f       ； ②当 1 x  时,     1 1 0 0 ln0 0 y f f       ；故排除 CD;③ 当 0 x  时, 1 1 x   , 所以       1 l 1 1 n y f x x x             """1 ln 1 1 ln 1 x x y x x            " 1ln 1 1 11x x xx        ln 1 1 0 x     所以   1 y f x   在 0 x  时单调递减,故排除 A.④当 0 1 x   时, 0 1 1 x    ,       1 l 1 1 n y f x x x     ()0 1 1 x <-< ,  ln 1 0 x   ,       1 n 1 0 1 l x x y f x        ,故 B 符合, ⑤当 1 x 时, 1 0 x    11e1xxxy f   , 11 0, 0 exx--< > ,  110e1xy f xx     ,故 B 符合.故选：B 【点睛】本题考查函数图象,分段讨论图象的单调性、值域,利用排除法即可解得.7． ． 若定义在 R 上的奇函数  f x 满足对任意的 xR，都有     2 f x f x    成立，且   1 8 f ，则   2019 f，  2020 f，  2021 f 的大小关系是（））A． ．       2019 20202021 f f f   B． ．       2019 2020 2021 f f f   C． ．       2020 20192021 f f f   D． ．       2020 2021 2019 f f f   【答案】A

【分析】由     2 f x f x   ，可推出     4 f x f x  ，从而可知函数   f x 是周期函数，周期为 4，进而可得出     2019 1 f f  ，    2020 0 f f ，    2021 1 f f ，然后根据   f x 是 R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案.【详解】因为     2 f x f x   ，所以       4 2 f x f x f x    ，即   f x 是周期函数，周期为 4，又函数   f x 是 R 上的奇函数，所以   0 0  f，    1 1 8 f f   ，则       2019 3 1 8 f f f    ，    2020 0 0 f f  ，    2021 1 8 f f  ，所以       2019 2020 2021 f f f  .故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.8． ．距 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2点，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为（））A ．50 m，100 m B ．40 m，90 m C ．40 m，50 m D ．30 m，40 m 【答案】B 【分析】在直角三角形中分别表示 、2的正切值，由二倍角公式把二者联系起来，再分别表示 、2  的正切值，根据互余二者联系起来，然后再解两个不等式组成的方程组可得解.【详解】 设高塔高 H m，矮塔高 h m，在 O点望高塔塔顶的仰角为 β.则 tan tan120 2 120H h   ，根据三角函数的倍角公式有 221201201120hHh   ① 因为在两塔底连线的中点 O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在 O点望矮塔顶的仰角为2 ，由 tan60H ，tan2 60h     ，得6060Hh.② 联立①②解得 H＝90，h＝40.即两座塔的高度分别为 40 m，90 m.故选：B.【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，二倍角的正切公式、诱导公式.二、多选题 9． ．为 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（））A． ．2  B． ．   1 2   C． ． 2 2  D． ．   2 2   【答案】AB 【分析】分 2 种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线就是直角三角形的斜边2，所以所形成的几何体的表面积是  2 21 2 1 2 1 S rl r              .如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1，所以写成的几何体的表面积22 2 1 22S rl          .综上可知形成几何体的表面积是   2 1   或2 .故选：AB 【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.10． ．于 关于 x 的不等式    12 1 0 ax x a     有 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为

（）A． ．12 B ．1 C． ．－ －1 D ．2 【答案】AC 【分析】由题意先判断出 0 a，写出不等式的解集，由不等式    1 2 1 0 ax x a    的解集中恰有 3 个整数，则这 3 个整数中一定有 0 和 1,所以分这 3 个数为 101 ，，或0,1,2，分别计算求解即可.【详解】不等式    1 2 1 0 ax x a     的解集中恰有 3 个整数 当 0 a  时，不等式化为 1 0 x ，则解集中有无数个整数.当 0 a  时，不等式    1 2 1 0 ax x a     的解集中有无数个整数.所以 0 a，10a，1 2 1 a  ，所以11 2aa  所以不等式的解集为：1| 1 2 x x aa     ，由不等式    1 2 1 0 ax x a     的解集中恰有 3 个整数，则这 3 个整数中一定有 0 和1.则这 3 个整数为：

101 ，，或 0,1,2，若这 3 个整数为：

101 ，，则1 2 212 1aa     ，解得：12a   若这 3 个整数为：

0,1,2，则2 1 2 311aa    ，解得：

1 a 所以实数 a 的取值集合是1, 12    .故选：AC.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.11． ． 声音是由物体振动产生的声波, , 其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数

sin y A t   , , 我们听到的声音是由纯音合成的, , 称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数  1sin sin22f x x x   , , 则下列结论正确的是（））A． ． 2  是   f x 的一个周期 B． ．   f x 在 []0,2π 上有 3 个零点 C． ．   f x 的最大值为3 34 D． ．   f x 在 0,2    上是增函数 【答案】ABC 【分析】①分别计算 sin y x  和1sin22y x  的周期,再求其最小公倍数即可得到   f x的周期.②令()0 f x = 即可求得零点.③对   f x 求导,令 "0 f x  ,判断单调性即可求得极值.④对   f x 求导,令  "0 f x  ,即可求出单调递增区间.【详解】解：因为：

 1sin sin22f x x x   ① sin y x  的周期是 2  , 1sin22y x  的周期是22  , 所以  1sin sin22f x x x   的周期是 2  ,故 A正确.②当  1sin sin2 02f x x x    ,   0,2 x   时, sin sin cos 0 x x x   sin(1 cos)0 x x   sin 0 x  或 1 cos 0 x   解得 0 x  或32x 或 2 x   , 所以   f x 在 []0,2π 上有 3 个零点,故 B 正确.③  1sin sin22f x x x     sin sin cos f x x x x    "2 2cos cos sin f x x x x    22cos cos 1 x x    令  "0 f x  ,求得1cos2x  或 cos 1 x  ，因为   f x 在11,2骣琪-琪桫 单调递增,在1,12   单调递减, 所以1cos2x  时取得最大值,则3sin2x    max3 1 3 3 32 2 2 4f x    ,故 C 正确.④由③得  "22cos cos 1 f x x x    , 要求增区间则  "0 f x  , 即 cos 1 x（不成立）,或1cos 12x   , 所以 0 2 23k x k      所以   f x 在 0,2    上是增函数是错误的,故 D错误.故选：ABC 【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便.12． ．域 对于具有相同定义域 D 的函数  f x 和   g x，若存在函数   h x kx b  （（k，b数 为常数），对任给的正数 m，存在相应的0x D ，使得当 xD  且0 x x  时，总有      00f x h x mh x g x m      ，则称直线 : l y kx b   为曲线   y f x  与   y g x  的“ 分渐近线”.给出定义域均为   | 1 D x x   的四组函数，其中曲线   y f x  与   y g x  存在“ 分渐近线” 的是（））A． ．  2f x x ，  g x x  B． ．   10 2xf x ， 2 3 xg xx C． ． 21 xf xx， ln 1lnx xg xx D． ．  221xf xx，    2 1xg x x e     【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.【详解】解：

  f x 和   g x 存在分渐近线的充要条件是 x 时，    0,()()f x g x f x g x    ． 对于①， 2f x x ，  g x x ，当 1 x 时，令      2F x f x g x x x    ，由于1()2 02F x xx   ，所以   h x 为增函数，不符合 x 时，    0 f x g x  ，所以不存在分渐近线； 对于②，  10 2 2xf x  ， 2 32,(1)xg x xx  ()()f x g x  ，2 3 1 3()()10 210xxxf x g xx x         ，因为当 1 x 且 x 时，    0 f x g x  ，所以存在分渐近线； 对于③，21()xf xx，ln 1()lnx xg xx，21 1 1 1 1 1 1()()ln ln lnx x nxf x g x x xx x x x x x          当 1 x 且 x 时，1x与1ln x均单调递减，但1x的递减速度比1ln x快，所以当 x 时，    f x g x  会越来越小，不会趋近于 0，所以不存在分渐近线； 对于④，22()1xf xx，    2 1xg x x e    ，当 x 时，22()()220+12 22+1xxxf x g x x ex x e     ，且()()0 f x g x  ，因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是 BD． 故选：BD． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.三、填空题 13． ． 若二次函数  22 4 1 f x x ax a     有一个零点小于1  于，一个零点大于 3，则实数 a 的取值范围是____________.【答案】4,5    【分析】由二次函数  22 4 1 f x x ax a     的图象开口向下，且在区间   , 1  ，  3, 内各有一个零点，可得  1 03 0ff   ，求解即可.【详解】因为二次函数  22 4 1 f x x ax a     的图象开口向下，且在区间   , 1  ，  3, 内各有一个零点，所以  1 1 2 4 1 03 9 6 4 1 0f a af a a             ，解得45a .所以实数 a 的取值范围是4,5   .故答案为：4,5   .【点睛】本题考查二次函数的零点分布，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14． ．集 在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“ 类”，记为[k]，即[k]＝ ＝{5n ＋k| n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：

① ①2 014 ∈[4] ； ② ②－ －3 ∈[3] ； ③Z ＝[0] ∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]； ； ④数 整数 a，b 属于同一“ 类” 的充要条件是“a －b ∈[0]” ．其中，正确的结论是________． ． 【答案】①③④ 【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解． 【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确； 在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误； 在③中，∵整数集中的数被 5除的数可以且只可以分成五类，∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确； 在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402，∴2015 与 2010属于同一个“类”[0]，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属

基础题． 15． ．知 已知 sinθ ＋cosθ＝ ＝713，θ∈ ∈(0，π)，则 tanθ ＝________.【答案】125 【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出 2sin cos  的值小于 0，得到 sin 0  ，cos 0  ，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出 sin  与 cos  的值，即可求出 tan  的值． 【详解】解：将已知等式7sin cos13    ①两边平方得：2 2 249(sin cos)sin 2sin cos cos 1 2sin cos169              ，1202sin cos 0169     ，0    ，sin 0   ，cos 0  ，即 sin cos 0    ，2289(sin cos)1 2sin cos169        ，17sin cos13     ②，联立①②，解得：12sin13 ，5cos13  ，则12tan5   ． 故答案为：125 ． 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题． 四、解答题 16． ． 已知 A、B、C 是平面上任意三点，且 BC a ， CA b，AB c .则 则c bya b c 的最 小值是______.【答案】2 －12 【详解】依题意，得 b c a  …，于是 1c b c b cya b c a b c      12c b c b ca b c    

1 11 22 2 2 2c a b c c a ba b c a b c        厖 17． ． 已知集合    22| log 4 15 9 , A x y x x x      R，  | 1, B x x m x    R ‖（1 1）求集合 A ；（2 2）若 p ：

x A ，q ：

x B ，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围..【答案】（1）3| 34A x x     （2） 1, 4,4     【分析】(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可．（2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可． 【详解】解：（1）∵    22| log 4 15 9 , A x y x x x R       ∴24 15 9 0 x x    ，则(3)(4 3)0 x x    ∴334x  ，∴3| 34A x x     .（2）∵   | 1, B x x m x    R ‖ ∴由 | | 1 x m   可得：

1 x m   或 1 x m   ∴ 1 x m   或 1 x m ≤ ∴  | 1 B x x m    或  1 x m   ∵ p ：

x A ，q ：

x B ，且 p 是 q 的充分不必要条件 ∴ 1 3 m  或314m  ∴ 4 m≥ 或14m   ∴实数 m 的取值范围是  1, 4,4    .【点睛】本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题． 18 ．已知函数()sin()(0, 0,0)2f x A x A          的部分图象如图所示，其中点(1,2)P 为函数图象的一个最高点，(4,0)Q 为函数图象与 x 轴的一个交点，O 为坐标原点．

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x  的图象向右平移 2 个单位得到()y g x  的图象，求函数()()()h x f x g x   图象的对称中心． 【答案】（Ⅰ）()2sin()6 3f x x   ；（Ⅱ）1(3 ,1)()2k k Z   ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要确定()sin()f x A x     的解析式，利用最高点确定 A，由 P、Q 两点确定周期，从而可确定 ，再结合五点法（或正弦函数的性质）可确定  ；（Ⅱ）由平移变换得出()g x 的表达式，从而求出()()f x g x，展开后用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个三角函数，同样结合正弦函数的性质可得对称中心． 试题解析：（Ⅰ）由题意得振幅 2 A，周期 4(4 1)12 T    ，又212，则6  将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x  ，得 sin()16x  ，∵ 02  ，∴3 ，故()2sin()6 3f x x   ．（Ⅱ）由题意可得()2sin(2)2sin6 3 6g x x x         ． ∴2()()()4sin()sin 2sin 2 3sin cos6 3 6 6 6 6h x f x g x x x x x x             1 cos 3sin 1 2sin()3 3 3 6x x x         ． 由3 6x k    得13()2x k k Z    ∴()y h x  图像的对称中心为1(3 ,1)()2k k Z   【解析】函数()sin()f x A x     的解析式与性质． 19． ． 如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC  中，ABC 和 △1AAC 为 均是边长为 2 的等边三角形，点 O 为 AC 中点，平面1 1AAC C 平面 ABC ．

（（1）证明：1AO 平面 ABC ；（（2）求直线 AB 与平面1 1ABC 所成角的正弦值． 【答案】（1）理由见解析；（2）64． 【分析】（1）证明1AO AC ，通过平面1 1AAC C 平面 ABC，推出1AO 平面 ABC ．（2）如图，以 O 为原点，OB，OC，1OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面1 1ABC 的法向量为(, ,)n x y z ，设直线 AB 与平面1 1ABC 所成角为 ，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）证明：1 1AA AC ，且 O 为 AC 的中点，1AO AC  ，又平面1 1AAC C 平面 ABC，且交线为 AC，又1AO 平面1 1AAC C，1AO  平面 ABC ；（2）解：如图，以 O 为原点，OB，OC，1OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．

由已知可得(0 O，0，0)(0 A，1 ，1 10),(3,0,0),(0,0, 3)(0,2, 3)B A C，1(3,0, 3)AB ，1 1(3,1,0),(0,2,0)AB AC   平面1 1ABC 的法向量为(, ,)n x y z ，则有2 03 3 0yx z   ，所以 n 的一组解为(1,0,1)n ，设直线 AB 与平面1 1ABC 所成角为 ，则 sin cos , AB n   又· 3 6cos ,4 2 2AB nAB nAB n  ，所以直线 AB 与平面1 1ABC 所成角的正弦值：64． 【点睛】关键点睛：解题的关键在平面与平面垂直的判断定理的应用，以及利用法向量求解直线与平面所成角，主要考查学生空间想象能力以及计算能力，难度属于中档题 20． ． 已知函数2()(1)f x x x x a     ．（（1）若 1 a，解方程()1 f x  ；（（2）若函数()f x 在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（（3）若 1 a 且不等式()2 3 f x x   对一切实数 xR 恒成立，求 a 的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）当 1 a 时，故有 22 1, 1(){ 1,1x xf xx   ，当 1 x 时，由()1 f x ，有22 1 1 x  ，解得 1 x 或 1 x 当 1 x 时，()1 f x  恒成立 ∴ 方程的解集为 或（2）22(1),(){(1),x a x a x af xa x a x a     ，若 在 上单调递增，则有 1{ 41 0aaa ，解得，13a  ∴ 当13a  时，在 上单调递增（3）设()()(2 3)g x f x x    则22(3)3,(){(1)3,x a x a x ag xa x a x a        不等式()2 3 f x x   对一切实数 xR 恒成立，等价于不等式()0 g x  对一切实数xR 恒成立． 1 a， 当(,)x a   时，()g x 单调递减，其值域为2(2 3,)a a   ，由于2 22 3(1)2 2 a a a      ，所以()0 g x  成立． 当 [ ,)x a   时，由 1 a，知34aa，()g x 在34ax 处取最小值，令，得 3 5 a   ，又 1 a，所以 3 1 a    综上，[ 3,1 a ）． 21． ． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2 22 21(0)x ya ba b    的左、右顶点分别为A、B 为，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于, C D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线 l

过椭圆的右焦点 F 且垂直于 x 轴时，四边形 ACBD 为 的面积为 6.（（1）求椭圆的标准方程；（（2）设直线 , AC BD 的斜率分别为1 2, k k.① 若2 13 k k ，求证：直线 l 过定点； ② 若直线 l 过椭圆的右焦点 F，试判断12kk是否为定值，并说明理由.【答案】（1）2 214 3x y  ；（2）①证明见解析；②1231 kk 【分析】（1）由题意焦距为 2，设点0(1,)C y，代入椭圆2 22 21(0)x ya ba b   ，解得20bya ，从而四边形 ACBD 的面积226 2 2 2ABCbS a ba  ，由此能求出椭圆的标准方程．（2）①由题意1:(2)AC y k x  ，联立直线与椭圆的方程2 214 3x y ，得2 2 211(3 4)16 12 0 k x k    ，推导出21218 6(3 4kCk，12112)3 4kk ，22228 6(34kDk，22212)3 4kk，由此猜想：直线 l 过定点(1,0)P，从而能证明 P，C，D 三点共线，直线 l 过定点(1,0)P ． ②由题意设1(C x，1)y，2(D x，2)y，直线 : 1 l x my  ，代入椭圆标准方程：2 214 3x y ，得2 2(3 4)6 9 0 m y my    ，推导出1 2263 4my ym  ，1 2293 4y ym ，由此推导出11 1 1 2 1 2 1 2 122 2 1 2 1 1 2 222(2)(1)1(2)(3)3 32yk x y x y my my y yyk y x y my my y yx         （定值）． 【详解】（1）由题意焦距为 2，可设点0(1,)C y，代入椭圆2 22 21(0)x ya ba b   ，得202 211ya b ，解得20bya ， 四边形 ACBD 的面积226 2 2 2ABCbS a ba  ，23 b  ，24 a ， 椭圆的标准方程为2 214 3x y  ．（2）①由题意1:(2)AC y k x  ，联立直线与椭圆的方程2 214 3x y ，得2 2 211(3 4)16 12 0 k x k    ，2112116 1223 4kxk ，解得211216 83 4kxk，从而11 1 12112(1)3 4ky k xk  ，21218 6(3 4kCk ，12112)3 4kk ，同理可得22228 6(34kDk，22212)3 4kk，猜想：直线 l 过定点(1,0)P，下证之：

2 13 k k ，1 22 21 22 21 22 21 212 123 4 3 48 6 8 61 13 4 3 4PC PDk kk kk kk kk k         1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 21 2 1 1 1 14 12 4 36 4 401 4 4 9 1 4 36 9 1 4 1 4k k k k k kk k k k k k           ，P ，C，D 三点共线， 直线 l 过定点(1,0)P ． ②12kk为定值，理由如下：

由题意设1(C x，1)y，2(D x，2)y，直线 : 1 l x my  ，代入椭圆标准方程：2 214 3x y ，得2 2(3 4)6 9 0 m y my    ，2 21,226 36 36(3 4)2(3 4)m m mym    ，1 2263 4my ym   ，1 2293 4y ym ，11 1 1 2 1 2 1 2 122 2 1 2 1 1 2 222(2)(1)(2)(3)32yk x y x y my my y yyk y x y my my y yx         2 22 2 22 22 29 6 3()3 4 3 4 3 49 93 33 4 3 4m m my ym m mm my ym m            

2222313 49333 4mymmym   （定值）． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题． 22． ． 设函数      2ln 1 f x x a x x    ，其中 a R ..（Ⅰ）讨论函数   f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若   0, 0 x f x    成立，求 a 的取值范围..【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）a 的取值范围是   0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求 21 2 121 1ax ax af x ax ax x       ，令 22 1 g x ax ax a     通过对 a 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数   f x 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果   0 0  f 这一特殊性，通过对参数的讨论确定 a 的取值范围.试题解析：函数      2ln 1 f x x a x x     的定义域为   1,    21 2 121 1ax ax af x ax ax x        令  22 1 g x ax ax a    ，  1, x  （1）当 0 a  时，  1 0 g x  ，  0 f x   在   1,   上恒成立 所以，函数   f x 在   1,   上单调递增无极值；（2）当 0 a  时，   28 1 9 8 a a a a a      ①当809a   时，0  ，  0 g x  所以，  0 f x  ，函数   f x 在   1,   上单调递增无极值； ②当89a  时，0   设方程22 1 0 ax ax a     的两根为1 2 1 2,(), x x x x 

因为1 212x x    所以，1 21 1,4 4x x   由   1 1 0 g    可得：111 ,4x     所以，当  11, x x   时，    0, 0 g x f x   ，函数   f x 单调递增； 当  1 2, x x x  时，    0, 0 g x f x   ，函数   f x 单调递减； 当  2 ,x x   时，    0, 0 g x f x   ，函数   f x 单调递增； 因此函数   f x 有两个极值点．（3）当 0 a  时，0   由   1 1 0 g    可得：11, x   当  21, x x   时，    0, 0 g x f x   ，函数   f x 单调递增； 当  2 ,x x   时，    0, 0 g x f x   ，函数   f x 单调递减； 因此函数   f x 有一个极值点． 综上：

当 0 a  时，函数   f x 在   1,   上有唯一极值点； 当809a   时，函数   f x 在   1,   上无极值点； 当89a  时，函数   f x 在   1,   上有两个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）当809a   时，函数   f x 在   0, 上单调递增，因为   0 0  f 所以，  0, x  时，  0 f x ，符合题意；（2）当819a   时，由   0 0 g ，得20 x  所以，函数   f x 在   0, 上单调递增，又   0 0  f，所以，  0, x  时，  0 f x ，符合题意；（3）当 1 a 时，由   0 0 g ，可得20 x 

所以  20, x x  时，函数   f x 单调递减； 又   0 0  f 所以，当  20, x x  时，  0 f x  不符合题意；（4）当 0 a  时，设     ln 1 h x x x    因为   0, x  时， 11 01 1xh xx x     所以   h x 在   0, 上单调递增，因此当   0, x  时，    0 0 h x h   即：

  ln 1 x x   可得：

     2 21 f x x a x x ax a x       当11 xa  时， 21 0 ax a x    此时，  0, f x  不合题意.综上所述，a 的取值范围是 []0,1 【解析】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.

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