2021届内蒙古呼和浩特市高三质量普查调研考试数学（理）试题（解析版）

2021 届内蒙古呼和浩特市高三质量普查调研考试数学（理）试题 一、单选题 1． ． 设集合  24 3 0 A x x x    ，  2 4 B x x   ，则 A B （（））A． ．   2 3 x x   B． ．  2 3 x x   C． ．   1 4 x x   D． ．   1 4 x x   【答案】C 【分析】解不等式确定集合 A，然后由交集定义得结论． 【详解】  24 3 0 { |1 3} A x x x x x       ，所以 { | } 1 4 A B x x    ． 故选：C． 2． ． 设  为第四象限角，且1sin cos5   ，则 tan2   的值为（））A． ．43 B． ．34 C． ．43 D． ．34 【答案】C 【分析】由题意可求得242sin cos25   ，则  2 49sin cos25   ，从而7sin cos5    ，由此解得3sin54cos5  ，再切化弦结合诱导公式求出答案． 【详解】解：∵1sin cos5   ，① ∴两边同时平方得11 2sin cos25   ，∴242sin cos25   ，∴491 2sin cos25   ，即  2 49sin cos25   ，又  为第四象限角，∴7sin cos5    ，② 联立①②解得3sin54cos5  ，∴sin2tan2cos2            4cos 453sin 35  ，故选：C． 3． ． 在复平面内，已知平行四边形 OABC 顶点 O，A，C 分别表示 2 5   i，3 2i ，则点 B 对应的复数的共轭复数为（））A． ． 1 7i  B． ． 1 6i  C． ． 1 6i   D． ． 1 7i   【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得出 , A C 坐标，由平行四边形得 B 点坐标，即得 B 点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】由题意(2,5),(3,2)A C ，设(,)B x y，∵ OABC 是平行四边形，AC 中点和 BO 中点相同，∴0 2 30 5 2xy      ，即17xy ，∴ B 点对应是 1 7i ，共轭复数为 1 7i  ． 故选：A． 4． ． 设函数    3 21 f x x a x ax    .若 若   f x 为奇函数，则曲线   y f x  在点    1, 1 f 处的切线方程为（））A． ． 4 1 y x   B． ．2 4 y x   C． ． 4 2 y x   D． ． 2 6 y x   【答案】C 【分析】由奇函数求得参数 a，然后计算导函数，得切线斜率，写出切线方程． 【详解】()f x 定义域是 R，∵()f x 上奇函数，∴3 2 3 2()(1)()(1)f x x a x ax f x x a x ax             ，即2(1)0 a x  ，∴ 1 0 a ，1 a  ． 3()f x x x  ，2()3 1 f x x ，(1)4 f，又(1)2 f ，∴切线方程是 2 4(1)y x   ，即 4 2 y x  ，故选：C． 5． ． 为了提高垃圾的资源价值和经济价值，力争做到物尽其用，国家向全民发出了关于垃圾分类的号召.为了响应国家号召，各地区采取多种措施，积极推 行此项活动.一商家

为某市无偿设计制作了一批新式分类垃圾桶，它近似呈长方体状，且其高为 0.45 米，为 长和宽之和为 2.4 米，现用铁皮制作该垃圾桶，按长方体计算，则使这个垃圾桶的容量最大时（不考虑损耗，不考虑桶盖），需耗费的铁皮的面积为（）平方米 A． ． 3.84 B． ． 3.6 C． ． 6.28 D． ． 4.8 【答案】B 【分析】设长为 x 米，则宽为   2.4 x  米，体积为 V 立方米，求出 V 的表达式，结合二次函数的性质即可求出取容量最大值的长和宽，从而可求出正确答案.【详解】解：设长为 x 米，则宽为   2.4 x  米，体积为 V 立方米，由题意知，       220.45 2.4 0.45 2.4 0.45 1.2 1.44 0 2.4 V x x x x x x           ，当 1.2 x  时，max0.45 1.44 0.648 V    立方米，即长为 1.2 米，宽为 1.2 米时，容量最大，此时铁皮面积为 1.2 1.2 0.45 1.2 2 0.45 1.2 2 3.6        平方米.故选:B.6． ． “ 杨辉三角 ” 是中国古代重要的数学成就，它比西方的 “ 帕斯卡三角形 ”了 早了 300多年.下图是由 “ 杨辉三角 ” 拓展而成的三角形数阵，记na 数 为图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成的数列  na 的第 n 项，则15a 的值为（））A ．210 B ．150 C ．120 D ．118 【答案】C 【分析】通过观察可得  11n na a n n N    ，通过累加法可得21 1,2 2na n n n N  ，从而可求出15a.【详解】解：由题意知， 11n na a n n N    ，即  11n na a n n N    ，所以2 13 2123...1n na aa aa a n     ，则 21 11 1 32 3..1 22 2 2nn na a n n n n         ，即2 21 11 3 1 312 2 2 2na a n n n n     ，当 2 n  时，   221 3 1 11 1 12 2 2 2na n n n n       ，当 1 n 时，11 112 2a   ，所以21 1,2 2na n n n N  ，则2151 115 15 1202 2a     .故选:C.7． ． 已知角 α、β 为 顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴.甲：“角 角 α、β 于 的终边关于 y 轴对称” ；乙：“   sin 0     ”.则条件甲是条件乙的（））A． ． 充分不必要条件 B． ． 必要不充分条件 C． ． 充要条件 D． ． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数角的关系进行判断即可.【详解】若角 α、β的终边关于 y 轴对称，则 2k       ，则 2k       ，则 2 0 sin sin k sin          （）（），若 0 sin    （），则 k     ，则角 α、β的终边关于 y 轴不一定对称，故条件甲是条件乙的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数角的对称关系是解决本题的关键，属于中档题． 8． ． 已知等差数列  na 的前 n 项和为nS，且110 a ，5 6S S ，下列四个命题：

① 公差d 的最大值为 2  ； ②70 S  ； ③ 记nS 的最大值为 M，则 M 为 的最大值为 30； ；④2019 2020a a .其真命题的个数是（））A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 个 【答案】B 【分析】设公差为 d，利用等差数列的前 n 项和公式，5 6S S ，得2 d  ，由前 n 项和公式，得728 S ，同时可得nS 的最大值，2 d  ，5 n 或 6 n  时取得，结合递

减数列判断 D． 【详解】设公差为 d，由已知110 a ，5 6S S ，得 5 10 106 10 15 d d     ，所以2 d  ，A正确； 所以77 10 21 70 2 21 28 S d       ，B 错误； 1(1)10(1)0na a n d n d       ，解得101 nd  ，1 110 0na a nd nd    ，解得10nd ，所以10 101 nd d    ，当 2 d   时，5 6 n  ，当 5 n 时，有最大值，此时 5 10 10(2)30 M      ，当 6 n  时，有最大值，此时 6 10 15(2)30 M      ，C 正确． 又该数列为递减数列，所以2019 2020a a ，D正确． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前 n 项和，掌握等差数列的前 n 和公式与性质是解题关键．等差数列前 n 项和nS 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由100nnaa 求得． 9． ． 已知 函数    3cos 2 > 0, <2f x x        ，其图象与直线 5 y  相邻两个交点的距离为2，若 ,12 16x       ，  2 f x  恒成立，则  的取值范围是（））A． ．,6 4      B． ． ,4 6       C． ． ,3 6      D． ． 0,4    【答案】A 【分析】由 5 是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得  值，再由不等式恒成立得 的范围． 【详解】由题意()f x 的最大值是 5，所以由()f x 的图象与直线 5 y 相邻两个交点的距离为2知2T，242 ．即()3cos(4)2 f x x    ，()2 f x <即cos(4)0 x   ，,12 16x      时，4 ,3 4x          ，因为2 ，所以3 6    ，4 4    ，所以3 24 2       ，解得6 4     ． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如 4  ，而  的求法有两种：

（1）由 x 的范围，求出 4x   的范围，并根据  的范围得出3  和4  的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．（2）先利用余弦函数性质，求出()2 f x  时，x 的范围，再由已知区间 ,12 16     是这个范围的子集，得出结论． 10． ． 下列四个命题：

 11 1: 0, ,2 3x xp x            ；2p : : 1 12 30,1 ,log log x x x   ；3p ： 1210, , log2xx x      ；4p ：131 10, , log3 2xx x           ..其中的真命题是（））A． ．1 3, p p B． ．1 4, p p C． ．2 4, p p D． ．2 3, p p 【答案】C 【分析】对于四个命题，分别利用指数函数和对数函数的性质，进行判断和排除，由此得出正确结论.【详解】当 0 x  时，1 12 3x x         恒成立，故1p 为假命题，排除 , A B 两个选项.当12x 时，12121 1log2 2   ，故3p 为假命题，排除 D 选项，故选 C.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的性质.对于选择题，可以利用特殊值排除法来求解.属于基础题.11． ．图 下面图 1 是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图 2 所示, , 图

2 中圆的半径均为 1, , 且相邻的圆都相切, ,A, ,B, ,C, ,D 是其中四个圆的 圆心, , 则 AB • CD （（））A ．32 B ．28 C ．26 D ．24 【答案】C 【分析】建立以 , a b 为一组基底的基向量,其中 1 a b   且 , a b 的夹角为 60°,根据平面向量的基本定理可知,向量 AB 和 CD 均可以用 ab，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以 , a b 为一组基底的基向量,其中 1 a b   且 , a b 的夹角为 60°, ∴2 4 AB a b  ,4 2 CD a b  , ∴   2 212 4 4 2 8 8 20 8 8 20 1 1 262AB CD a b a b a b a b                .故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12． ． 已知定义在 R 上的可导函数  f x，对于任意实数 x 都有     2 f x f x x    成立，且当   ,0 x  时，都有   2 1 f x x    成立.若 若    22 3 < 1 3 f m m f m m   ，则实数 m 的取值范围为（））A． ．   , 1   B． ．1,3     C． ．11,3    D． ．   1,0  【答案】C 【分析】引入函数2()()g x f x x x   ，由已知确定()g x 是偶函数，由导数可得单调

性，题设不等式化为(2)(1)g m g m  ，然后利用单调性和奇偶性可求解． 【详解】设2()()g x f x x x   ，则2 2 2()()()2()()g x f x x x f x x x x f x x x g x             ，所以()g x 是偶函数，0 x  时，因为   2 1 f x x   ，所以()()2 1 0 g x f x x     ，即()g x 在(,0]  上是减函数，从而()g x 在 [0,) 上是增函数，   22 3 < 1 3 f m m f m m   ，即2 2(2)(2)2(1)(1)(1)f m m m f m m m        ，即(2)(1)g m g m  ，所以(2)(1)g m g m  ，2 1 m m  ，2 24 2 1 m m m   ，113m    ． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，解题关键是引入新函数2()()g x f x x x   ，确定它的奇偶性，单调性，不等式也转化为(2)(1)g m g m  ，这样问题可求解． 二、填空题 13． ． 已知实数 x，y 满足约束条件：04 01x yx yy    ，则 2 z x y   的最小值为______.【答案】1 【分析】画出不等式表示的可行域，再利用几何意义求最值，2 z x y   表示在 x 轴上截距的 2 倍，所以只需求出可行域内的点在 x 轴上截距最小时即可求出 z 的最小值.【详解】解：画出不等式表示的可行域，做出直线 l ：

2 y x ，平移当直线 l 过点 C 时，2 z x y   有最小值，解01x yy  得：

  1,1 C，代入 2 z x y   得：

1 z 

故答案为：1 14． ．1| |-1xe dx值为______． ． 【答案】 2 2 e.【分析】由| | xy e  是偶函数可得1 1| |-1 02x xe dx e dx  ，再用微积分基本定理求定积分即可.【详解】解：因为| | xy e  是偶函数，1 1| | 1 1 00-1 02 2 | 2()2(1)x x xe dx e dx e e e e        ，故答案为：

2 2 e 【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题.15． ． 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 020 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30°、相距 0 10 海里 C处的乙船，若设乙船朝北偏东  弧度的方向沿直线前往 B 处救援，则 sin  ＝ ＝________..【答案】5 714 【分析】利用正弦定理可得20sin3sin10ACBACB     ，故可解出 tan ACB ，再利用同角的三角函数的基本关系式可求 sin ACB ，最后利用两角和的正弦求出sin .【详解】在 ABC  中，由正弦定理可得sin sinAC ABABC ACB ，所以sin3sin 2sin3AB ACBACB ACBAC          ，整理得到 2sin 3cos ACB ACB   ，故3tan2ACB  ，因为 0,3ACB     ，所以3 21sin7 7ACB   ，2 2 7cos7 7ACB    又1 2 7 3 21 5 5 7sin sin6 2 7 2 7 14 2 7ACB          ，填5 714.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.16． ． 已知集合   1, 2， A k k k n     ，k，n 为正整数，若集合 A 中所有元素之为 和为 2019，则当 n 取最大值时，集合 A ______.（用列举法表示集合 A）【答案】   334,335,336,337,338,339 【分析】由题意利用等差数列的前 n 项和公式，分类讨论 n，得出结论.【详解】 集合   1, 2, , A k k k n     ，k，n 为正整数， A 中共有 n 个正整数，且这 n 个正整数从小到大排列，构成以 k+1 为首项，以 1 位公差的等差数列.若集合 A 中所有元素之和为(1)2 1(1)2019 3 6732 2n n k nn k n        ，当 n 为偶数时，设 n=2m，m 为正整数，(2 2 1)3 673 k m m     ， m=3，2k+2m＋1=673,即 m=3，n=6，k=333，即 3, 6, 333 m n k   .当 n 为奇数时，设 2 1 n m  ，m 为正整数，(1)(2 1)3 673 k m m      ，2 1 3, 1 673 m k m      ，即 1, 3, 671 m n k   ，故 n 的最大值为 6，此时   334,335,336,337,338,339 A.【点睛】关键点点睛：本题转化为等差数列求和，注意分 n 为奇数、偶数两种情况分类讨论，属于创新性题目，难度中等.三、解答题 17． ． 设函数   sin cos f x x x  ，xR.（（1）已知   0,2   ，函数   f x   是奇函数，则  的 值；（（2）若3 24 5f    ，且   0,   ，求   2 f  的值.【答案】（1）34  或74  ；（2）1725.【分析】（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦的诱导公式结合奇函数的性质得出  ；（2）由（1）化简已知得3cos5 ，从而得4sin3 ，用两角和的正弦公式和二倍角公式变形后代入，即可求值． 【详解】（1）易得：

()2sin4f x x     ，∴   2sin4f x x       ，∵   f x   为奇函数，∴4k   ，k Z ，∵   0,2   ，∴34  或74 .（2）易得：3 22sin 2cos4 2 5f                ，∴3cos5 ，故4sin5 =，∴   2 2sin 2 sin2 cos24f          2172sin cos 2cos 125      .【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，考查三角函数的求值问题．（1）三角函数问题，一般需要利用二倍角公式，两角和与差的正弦（或余弦公式），诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性

质求解；（2）三角函数求值问题，需要先利用三角函数恒等变换进行化简变形，把已知条件化简，把求值式化简，然后确定已知与未知间角的关系，确定选用的公式进行求值． 18． ．是 下面是 2020 年全国新高考卷 17 题：在 ①3 ac ； ② sin 3 c A ； ③ 3  c b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在 ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin 3sin A B =，6C，______ ？已知某同学选择条件 ② 解答此题，最后得到的结论是：这样的三角形存在且只有唯一一个.请你通过计算推理，判断该同学的结论是否正确.【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理得 b c ，从而求得三角形的其它两个内角，然后由已知条件求得边 c，又得 b，余弦定理求得 a ． 也可由 sin 3 c A 用正弦定理得 sin 3 a C ，这样可先求得 a，然后由正弦定理化角为边求得 b，再用余弦定理求得 c ． 【详解】法一：结论正确，理由如下：

由 sin 3sin A B = 得3 a b =，又6C，由余弦定理得：2 2 22 cos c a b ab C    22 2 233 2 32b b b b     ，故 c b  则6C B ，23A，又 sin 3 c A，∴ 2 3 c  ∴2 3 b c  ，而23A，由余弦定理可求得：

6 a ，与由 sin = sin 3 c A a C  求得的结论是一致的，故满足条件的三角形存在且唯一.法二：结论正确，理由如下：

∵ sin 3 c A，∴ 2 sin sin 3 R C A，∴ sin 3 a C  ∵6C，∴ 6 a  ∵ sin 3sin A B =，∴3 a b =，∴ 2 3 b ，由 6 a ，2 3 b ，6C，利用余弦定理可求得2 3 c ，可以验证求得的结果与所有条件相吻合，故满足条件的三角形存在且唯一.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，正弦定理除直接用解三角形外，还可以进行边角转换，便于化简变形计算．在出现正弦或边的关系时可能需要用正弦定理进行边角转换． 19． ． 已知某厂以 t 小时/ 千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 0.11 t  ），且每小时可获得利润560 3 1 tt     元 元.（（1）若厂家以生产该产品 2 小时获得利润至少为 1800 元的速度进行生产，记 1 天（按8 小时计算）生产该产品的数量为 m 千克，求出 m 的取值范围；（（2）要使生产 680 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【答案】（1）  24,80 ；（2）当16t  时利润最大为 207400 元.【分析】（1）计算出生产该产品的速度为8m小时/千克，根据题意可得出关于 m 的不等式，结合80.1< 1m 可求得 m 的取值范围；（2）设生产速度为 t 小时/千克，计算出利润 y 关于 t 的函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得 y 的最大值及其对应的 t 的值.【详解】（1）易得：生产该产品每小时获得利润至少为 900 元，8 小时生产产品的数量为 m 千克，故生产速度为8m小时/千克.8 560 3 1 9008mm        ，整理得25 112 192 0 m m   ，即   5 8 24 0 m m   ，又80.1< 1m，可得 8 80 m  ，因此，24 <80 m  ；（2）设生产速度为 t 小时/千克，故生产 680 千克需要 680t 小时.所以，利润  25680 60 3 1 680 60 3 5 y t t t tt            ，当16t  时利润最大为 207400 元.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 20． ． 已知等比数列    na n N   满足2 3 4a a a ，1 3 22 3 a a a  .（（1）定义：首项为 1 且公比为正数的等比数列为 “ M  数列 ”，证明：数列  na 是“ M  数列 ” ；（（2）记等差数列  nb 的前 n 项和记为nS，已知59 b ，864 S ，求数列  2 1 n nb a的前 n 项的和nT.【答案】（1）证明见解析；（2）  4 7 2 7nnT n   .【分析】（1）由等比数列的通项公式求出公比，根据题意证明数列  na 是“ M  数列”；（2）由等差数列的性质求出 2 1nb n  ，当 1 q  时，由等差数列的求和公式求出nT ；当 2 q = 时，由错位相减法求出nT.【详解】（1）证明：由题意可设公比为 q，则2 3 31 1a q a q  得：11 a  21 1 12 3 a a q a q   得：

1 q  或 2 q = ∴数列  na 是“ M  数列”.（2）设数列  nb 的公差为 d 易得：

 4 5 84 64 b b S    得：47 b  ∴5 42 d b b   ，得：

2 1nb n   由（1）知 若 1 q ，则2 14 3n nb a n 

∴ 21 4 322nn nT n n    若 2 q =，则12 nna-=，∴  12 14 3 2 nn nb a n   ∴    0 2 2 11 2 5 2 9 2 4 7 2 4 3 2n nnT n n           ① ∴    2 3 12 1 2 5 2 9 2 4 7 2 4 3 2n nnT n n          ② ①  ②得：

   2 3 11 2 5 2 9 2 4 7 2 4 3 2n nnT n n           ∴  18 1 21 4 3 21 2nnnT n     ∴   4 7 2 7nnT n   .【点睛】对于 “等差乘等比”类型的数列，一般采用错位相减法求数列的和.21． ． 已知函数  2ln f x x x x   .（（1）求证：

 0 f x ；（（2）函数        21 >0 g x f x x a x a    ，有两个不同的零点1x，2x.求证：1 2ln ln 2ln 0 x x a   .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)求出函数的导函数，从而可求出函数的单调性，进而可知     1 0 f x f  .(2)求出     ln 0>0 g x ax x a   ，不妨令1 2x x ， 12>1xt tx，由已知条件可得只需证明  12ln < >1 t t tt 即可，令  12ln h t t tt  ，结合导数求出函数单调性，从而可求出     1 0 h t h  ，即证出所证结论.【详解】（1）证明：易得：

   12 1 > 0 f x x xx   ，令   0 f x   得 1 x，令   0 f x 得 0 1 x  ，∴   f x 在  1, 上单调递增；在  0,1 上单调递减.∴     1 0 f x f  .（2）解：易得     ln 0 >0 g x ax x a   ，∴1 1ln ax x ，2 2ln ax x ，两式作差得：1 21 2ln ln x xax x，要证：1 2ln ln 2ln 0 x x a   ，只需证：21 21< ax x，只需证：21 21 2 1 2ln ln 11xt tx，即证  12ln < >1 t t tt，令  12ln h t t tt  ，  22 21 2 11 0th tt t t      ，∴   h t 在  1, 上单调递减，∴    1 0 h t h  ，∴  12ln < >1 t t tt.【点睛】关键点睛：

本题第二问的关键是通过零点的定义以及换元法，将所证命题转化为 12ln < >1 t t tt 恒成立，结合导数单调性即可证明.22． ．系 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为12 11txttyt  （（t 为参数），曲线C 2 的参数方程为2 2cos2sinxy  （α 为参数），以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ线）求曲线 C 1 线 的普通方程和曲线 C 2 的极坐标方程；（Ⅱ）射线102       线 与曲线 C 2 于 交于 O，P 两点，射线22    线 与曲线 C 1点 交于点 Q，若△ △OPQ 的面积为 1，求|OP| 的值.【答案】（Ⅰ）1 0 x y   ，4cos    ；（Ⅱ）2 2.【分析】（Ⅰ）由曲线 C 1 的参数方程消去参数 t，即得曲线 C 1 的普通方程.由曲线 C 2 的参数方程消去参数 α，得曲线 C 2 的普通方程，根据cossinxy   ，即得曲线 C 2 的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线 C 2 的极坐标方程为 4cos   ，设点(4cos ,)P  .曲线 C 1的普通方程化为极坐标方程得 cos sin 1 0       ，则点1,cos sin 2Q    .由1| | | | 12POQS OP OQ   ，求出 ，即求 | | OP 的值.【详解】（Ⅰ）曲线 C 1 的参数方程为12 11txttyt  （t 为参数），化为111121xtyt    （t 为参数），两式相减消去参数 t，得曲线 C 1 普通方程方程为：

1 0 x y   .曲线 C 2 的参数方程为2 2cos2sinxy  （α 为参数），化为2 2cos2sinxy  （α 为参数）两式平方相加消去参数 α，得普通方程方程为2 2(2)4 x y   ，即2 24 0 x y x   ，根据cossinxy   ，得曲线 C 2 的极坐标方程为 4cos   .（Ⅱ）由曲线 C 2 的极坐标方程为 4cos   ，设点(4cos ,)P  .由于直线 C 1 的极坐标方程为 cos sin 1 0       ，可得点1,cos sin 2Q    ，1 14cos 12 cos sinPOQS      ，40 , cos sin ,2        .故|OP|＝4cos 2 2  .【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，属于中档题.23． ．（（1）已知 a，0 b，求证：3 3 2 2a b a b ab   .（（2）已知 , , a b c 为正数，且 1 a b c   ，求证13ab bc ca   .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法证明即可得证;

（2）由 a，b，c 为正数，且 1 a b c   ，将 1 a b c    两边平方,然后结合2 22 a b ab  ，2 22 b c bc  ，2 22 a c ac  ，然后左右相加求解即可.【详解】证明：（1）   3 3 2 2 2 2()()a b a b ab a a b b b a         2 2 2()()()a b a b a b a b       0 a  ，0 b，0 a b   ，2()0 a b  ，2()()0 a b a b    ，则有3 3 2 2a b a b b a   （2）已知 a，b，c 为正数，且 1 a b c   ，则2 2 2 2()2 2 2 1 a b c a b c ab bc ac         .由2 22 a b ab  ，2 22 b c bc  ，2 22 a c ac  ，左右相加得：2 2 2a b c ab bc ca     ，故 3()1 ab bc ca   ，故13ab bc ac   .【点睛】本题考查了利用作差法证明不等式，重点考查了重要不等式，属基础题.

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