C下补充题
1.设2 22 22 22 21()sin ,0(,)00 ,x yx yx y f x yx yì+ + ? ï+=í+ = ïï î ；1）求(0,0)xf 及其在（0，0）处的连续性？2）(,)f x y 在（0，0）处是否可微？ 解：1）20 0(,0)(0,0)1(0,0)=lim lim sin 0xx xf x ff xx x-= = 2 22 2 2 2 2 22 21 2 12 sin cos ,0(,)00 ,xxxx yx y x y x y f x yx yì-+ ? ï+ + +=í+ = ïï î(,)(0,0)lim(,)xx yf x y® 不存在，故(,)xf x y 在（0，0）处不连续。
2）2 22 21(,)(0,0)()sin f f x y f x yx yD =-= ++ 2 2 2 2(,)(0,0)(,)(0,0)(0,0)x(0,0)lim = limx yx y x yf f f yfx y x yD--D+ + 2 22 2(,)(0,0)1= lim sin =0x yx yx y®++ 由定义知：
(,)f x y 在（0，0）处是可微的。
2.设(,)(,)f x y y x x y j =-，其中(,)x y j 在（0，0）处连续。
问：1）(,)x y j 满足什么条件时，(0,0)xf、(0,0)yf 均存在？ 2）(,)x y j 满足什么条件时，(,)f x y 在（0，0）处可微？ 解：1）0 0(,0)0(,0)(0,0)(0,0)=lim limxx xx x f x ffx xj--=0lim(,0)xxxxj®= 上极限中：左极限为(0,0)j ；右极限为(0,0)j-，故(0,0)=0 j 时，(0,0)xf 存在且为 0。同理，此时，(0,0)yf 也存在且值为 0。
2）(,)(0,0)(,)f f x y f y x x y j D =-=-
2 2 2 2(,)(0,0)(,)(0,0)(0,0)x(0,0)lim = limx yx y x yf f f yfx y x yD--D+ + 2 2(,)(0,0)= lim(,)=0x yy xx yx yj®-+ 2 2 2 2 2 2+ 2y x x yx y x y x y-＃+ + +故当(,)x y j 在（0,0）处为无穷小时（即(0,0)=0 j 时），上式极限存在且为 0，这时(,)f x y 在（0，0）处可微。
