实验微分方程建模问题
实验 微分方程建模问题 班级专业：
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一．实验目的 1 1、了解数学建模的基本概念和步骤。
2 2、掌握微分方程建模的基本步骤，熟悉微分方程的数值解法，学习微分方程建模的基本方法，会用 Matlab 实现简单的计算机模拟，绘制模拟曲线，并根据所建模型作预测。
3、掌握 Matlab 中非线性拟合方法 二．实验内容 树木生长与 c logistic 方程 树木的生长经历生长缓慢期到旺盛生长期，而后增长速度趋缓，最 终达到稳定的总生长量．如果对此生长过程进行动态描述，可看作是一个呈“S S” 形曲线的生长方程．第一段大致相当于幼龄阶段，第二段相当于中、壮龄阶段，第三段相当于近、成熟龄阶段． 长白侧柏(Thuja koraiensis Nakai)是分布于我国吉林及朝鲜半岛北部的一种植物, ,在《中国植物红皮书》中被列为渐危种．下表是一组关于长白侧柏的树龄与树高的调查数据，现通过这些数据（见下表），研究长白侧柏的树高生长规律． 表1 1 长白侧柏树高在不同年龄的调查数据 树龄 10 20 30 40 50 60 70）树高（米）0.48 1.57 2.23 3.24 4.48 5.95 6.92 树龄 80 90 100 110 120 130 140）树高（米）7.9 8.57 8.89 9.06 9.21 9.32 9.38 设x x（t t）表示t t 时刻长白侧柏的树高，服从的规律如下：0(1)(0)dx xrxdt Kx x ，请应用 matlab对该微分方程求解； 应用表1 1 的数据，对（2 2）中方程的解进行曲线拟合，计算各系数的值，并计算相关系数R R ；请作图比较实测结果与模型预测结果。
解：（A)数学模型与实验步骤 S S te p 1、在 command 窗口中对微分方程求解，指令如下：
x=dsolve("Dx=r*x*(1-x/K)","t")运行结果整理如下，即方程的解为：
*1()1r tKx tc Ke S S tep 2、建m m 文件，应用已有数据对模型进行曲线拟合，程序如下：
clear all,clc t=10:10:140;y=[0.48 1.57 2.23 3.24 4.48 5.95 6.92 7.9 8.57 8.89 9.06 9.21 9.32 9.38];scatter(t,y,5,"r","filled"),hold on;
fun=inline("b(1)./(1+(b(1)*b(2))*exp(-b(3)*t))","b","t");b=[10 0.5 0.01];parameters =lsqcurvefit(fun,b,t,y)R=corrcoef(y,fun(parameters,t));R=R(1,2)t=10:140;y=fun(parameters,t);plot(t,y)运行结果整理如下：
（（1））方程各系数的值为：K=9.4153，c1=1.9960，r=0.0573 ；（2 2）相关系数R R= = 0.9993 ；（3 3）实测结果与模型预测结果 的图形比较 0 20 40 60 80 100 120 1400246810长 白 侧 柏 树 高 生 长 拟 合 曲 线时 间 林木大小 思考题：在某一人群中推广新技术是通过其中已经掌握新技术的人进行的。该人群的总人数为 N，在 0 t 时刻已经掌握新技术的人数为0x，在任意时刻 t 已经掌握新技术的人数为 t x（将 t x 视为连续可微变量），其变化率与已经掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例常数 0 k，求 t x。
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