概率论作业实践作业
第一章随机事件与概率 1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A , ,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A , ,中的样本点。
解：样本空间为 反 正正、正反、反正、反 正正、正反 A, 正正 B, 正正、正反、反正 C 2.设31)( A P，21)( B P，试就以下三种情况分别求)(A B P：
（1）AB ，（2）B A，（3）81)( AB P 解：由公式.A B A B A AB 可得（1）1 1()()()()02 2P BA P B AB P B P AB ；（2）1 1 1()()()()2 3 6P BA P B A P B P A ；（3）838121)()()()( AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解: 记 H 表拨号不超过三次而能接通。Ai 表第 i 次拨号能接通。
如果第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
***101)|()|()()|()()()(2 1 3 1 2 1 1 2 1 13 2 1 2 1 1 A A A P A A P A P A A P A P A P H PA A A A A A H 三种情况互斥 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H 再发生的概率。)| | |)|(3 2 1 2 1 1B A A A B A A B PA B H P )|()|()|()|()|()|(2 1 3 1 2 1 1 2 1 1A A B A P A B A P B A P A B A P B A P B A P 53314354415451 4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：
（1）直到第 r 次才成功；（2）在 n 次中取得)1(n r r 次成功； 解:(1)p p Pr 1)1( (2)r n r rnp p C P )1(5.设事件 A，B 的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：
（a）必然对，（b）必然错，（c）可能对也可能错，并说明理由。
（1）若 A，B 互不相容，则它们相互独立。
（2）若 A 与 B 相互独立，则它们互不相容。
（3）()()0.6 P A P B ，则 A 与 B 互不相容。
（4）()()0.6 P A P B ，则 A 与 B 相互独立。
解：（1）必然错。因为 A 与 B 互不相容，AB，()0 P AB ，而()()0 P A P B ，所以()()()()P A P B P A P B ，即 A 与 B 不是相互独立的。
（2）必然错。因 A 与 B 相互独立，所以()()()0 P AB P A P B ，而 A 与 B 互不相容，AB，()0 P AB 。
（3）必然错。若 A 与 B 互不相容，则()0 P AB ，而()()()()P A B P A P B P AB 1.2()1 P AB 。
（4）可能对。A 与 B 相互独立时，()()()()P A B P A P B P AB 1.2()()0.84 P A P B 。
6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有 3 个白球，2 个红球；乙盒中放有 4 个白球，4 个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：
(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。
解：（1）设 A=｛甲盒中取出的球是白球｝，B=｛乙盒中取出的球是白球｝， 3 2(),()5 5P A P A， 4 5P B ,P.9 9A B A 根据全概率公式可得 P B P B B P B +P B A A A A 4 2 5 3 23()P B +P P9 5 9 5 45P A A A B A（2）由贝叶斯公式可得 5 3P PP AB159 5P A|B4 2 5 3 23 P B()P B +P P9 5 9 5A B AP A A A B A 7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。
解: 独立事件不是对立事件,也不一定是互斥事件;对立事件是互斥事件,不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件,一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布 1.设 X 的概率分布列为：
Xi 0 1 2 3 Pi 0.1 0.1 0.1 0.7 F(x)为其分布的函数，则 F（2）=？ 解：
由 F（x）=P｛X≤x｝得 F（2）=P｛x≤2｝=P｛x=0｝+ P｛x=1｝+P｛x=2｝ =0.1+0.1+0.1=0.3 2．设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=, 1 , 0;1 ,2xxxc则常数 c 等于？ 3.一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？ 解：设 X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6),(1) 2 2 352 0.6 0.4 0.2304 P X C (2) 3 3 2 4 4 5 5 05 5 53 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.3456 0.2592 0.07776 0.68256 P X C C C (3) 4 4 5 5 05 53 1 0.6 0.4 0.6 0.4 1 0.2592 0.07776 0.66304 P X C C (4 0 0 551 1 0 1 0.6 0.4 1 0.01024 0.98976 P X P X C 4.设随机变量 K 在区间(0, 5)上服从均匀分布, 求方程 42x+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。
解: 由0 32 16 16)2(4 4 162 2 k k k k 可得:2 , 1 k k 所以52} 2 { K P 5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过 10 分钟的概率；（2）10 分钟 到 20 分钟的概率。
解:0 , 2.0)(~2.0 x e x f Xx 2 21002.01 1 2.0 1 } 10 { 1 } 10 { e e dx e X P X Px
4 220102.02.0 } 20 10 { e e dx e X Px 6.随机变量 X～N(3, 4),(1)求 P(2 解:)5.0(1)1()5.0()1()23 2()23 5(} 5 2 { X P 6915.0 1 8413.0 =0.5328 1 1)5.3(2)5.3()5.3()23 4()23 10(} 10 4 { X P)5.2()5.0(1)23 2()23 2(1 } 2 { 1 } 2 { X P X P =6977.0 6915.0 9938.0 1)5.2(1))5.0(1(1 5.0 5.0 1)23 3(1 } 3 { 1 } 3 { X P X P)23(} {)23(1 } { 1 } { cc X Pcc X P c X P 所以 5.0)23(c 故 3 c 6.随机变量 X～N(3, 4),(1)求 P(2 解：因为 X～N(3, 4)，将其化成标准形式 即 32xP X x F x （1） 5 3 2 32 5 5 2 1 0.52 2P X F F 1 0.5 1 0.8413 0.6915 1 0.5328 10 3 4 34 10 10 4 3.5 3.52 2P X F F 2 3.5 1 2 0.9998 1 0.9996 2 3 2 32 1 2 1 2 2 1 2 2 12 2P X P X P X F F 1 0.5 2.5 1 1 0.5 1 2.5 0.5 1 2.5 0.6915 1 0.9938 0.6977 3 33 1 3 1 3 1 1 0.5 0.52P X P X F (2)因为 P X c P X c ，所以 1 , P X c P X c P X c 所以 12P X c 所以 3 12 2cP X c F c ，又因为 102 所以30,2c即3 c 7．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X，Y 的分布律分别为 X 0 1 Y 1 2 P 41 43 P 52 53 试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量 Z=XY 的分布律.解: X Y 1 2 0 0.1 0.15 1 0.3 0.45 Z 0 1 2 P 0.25 0.3 0.45 8.思考题:举出几个随机变量的例子。 （1）掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 1，2，3，4，5，6 来表示。 （2）一位篮球运动员 3 次罚球的得分结果用数字表示。 （3）在 100 张体育彩票中，有 5 张三等奖，现从中任取 10 张，抽得三等奖的张数用 X 表示。 第三章 多维随机变量及其概率分布 1.设盒子中有 2 个红球，2 个白球，1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示取到的白球个数，写出(X, Y)的联合分布律及边缘分布律。 解：X 可能的取值为 0，1，2.Y 可能的取值为 0，1，2.Y X 0 1 2 0 0 0 0.1 0.1 1 0 0.4 0.2 0.6 2 0.2 0 0.1 0.3 0.2 0.4 0.4 1 2.设二维随机变量),(Y X的联合分布律为： 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值；(1)6.0)1( X P；(2)5.0)2 | 1( Y X P；(3)设)(x F是 Y 的分布函数，5.0)5.1( F。 解(1) 1 0.6, P X 1 1, 0 1, 1 1, 2 0.1 0.2 0.6 P X P X Y P X Y P X Y b ……① 1, 0.1 0.2 0.1 0.2 1,iji jp a b ……② 由①②得0.1, 0.3 a b （2） 1| 2 0.5, P X Y 1, 2 0.20.52 0.2P X YP Y a ……① 又1, 0.1 0.2 0.1 0.2 1,iji jp a b ……② 所以据①②得 a=0.2 b=0.2（3）)(x F是 Y 的分布函数，5.0)5.1( F 所以 ()0, 0 0, 1 1, 1 1, 0 F x P Y x P X Y P X Y P X Y P X Y 0.1 0.2 0.1 0.5 b ……① 又1, 0.1 0.2 0.1 0.2 1,iji jp a b ……② 所以据①②得 a=0.3 b=0.1 3.)(Y X、的联合密度函数为： 他 其 01 0 , 1 0)(),(y x y x ky x f 求（1）常数 k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3)P(X+Y<1)；(4)P(X<1/2)。 解：（1） , 1 f x y dxdy 并且 Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 其他 01 0 , 1 0)(),(y x y x ky x f 1 1 12 100 0 0()()2kk x y dxdy k x y dxdy kxy y dx 12 10012 2 2 2 2k k k k kkx dx x x ，1 k （2）1 1 1 122 2 2 200 0 01 1 1,()2 2 2P X Y x y dxdy xy y dx 12012201 1 1 1 1 1 12 8 4 8 16 16 8x dx x x (3)P 1 1 12 100 0 011()2xxP X Y x y dxdy xy y dx 1021301 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 3 2 2 3 3xdx x x （4） 1120 01 1 1 2 212 2 20 0 0 01 1 32 2 2 2 2 8y x xP X x y dy dx xy dx x dx 4．)(Y X、的联合密度函数为： 他 其 00 , 1 0),(x y x kxyy x f 求（1）常数 k；（2）P(X+Y<1)；(3)P(X<1/2)。 解：（1） , 1 f x y dxdy 并且 其他 00 , 1 0),(x y x kxyy x f 1 1 12 3 4 10 00 0 0 012 2 8 8xxk k k kkxydxdy kxydxdy xy dx x dx x 8 k （2） 1201 112 2 32 20 08 1 8 1 11 8 4 8 2 23 4 3 8 6yyP X Y xydx dy y y dy y y （3） 12041 1 1 1 1 22 3 42 2 2 2 20 0 01 1 1 1 18 4 42 2 2 4 2 16y yyP X xydx dy x y dy y y dy y 5.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求 X 与 Y 的边缘密度函数。 y xy xy x f ,)1)(1(1),(2 2 2 解：边缘概率密度 Xf x或 Yf y可由 , X Y的概率密度 , f x y给出。 , , ,Xf x f x y dy x , , ,Yf y f x y dx y , X Y关于 X 的边缘概率密度为 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1arctan1 1 1 1 1 1Xf x dy dy yx y x y x x , X Y关于 Y 的边缘概率密度为 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1arctan1 1 1 1 1 1Yf y dx dx xx y y x y y 6.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求 X 与 Y 的边缘密度函数。 解：边缘概率密度 Xf x或 Yf y可由 , X Y的概率密度 , f x y给出， , , ,Xf x f x y dy x , , ,Yf y f x y dx y , X Y关于 X 的边缘概率密度为 000xx x x x x xXf x e dy e dy e y e x xe 即 , 00, 0xXxe xf xx , X Y关于 Y 的边缘概率密度为 x x x y yY yyf y e dx e d x e e e e 即 , 00, 0yYe yf yy 他 其 00),(x y ey x fx 7.(X, Y)的联合分布律如下，Y X 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值；(1)3 / 1)1( Y P；(2)5.0)2 | 1( Y X P；（3）已知 X 与 Y 相互独立。 解:(1)3161} 1 { a Y P,61 a(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18（3）由表可得 X，Y 的边缘分布 X 1 2 P 1/3 a+b+1/9 Y 1 2 3 P 1/6+a 1/9+b 1/6 由条件可知 XY 相互独立，可得 P{X=1，Y=1}=P{X=1}*P{Y=1}=1/3*（1/6+a）=1/6 得 a=1/3 P{X=1，Y=2}=P{X=1}*P{Y=2}=1/3*（1/9+b）=1/9 得 b=2/9 8.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数 c，并讨论 X 与 Y 是否相互独立？ 他 其 01 0 , 1 0),(2y x cxyy x f 解: 16),(10102 cdxdy cxy dxdy y x f,c=6 x dy xy dy y x f x f X 2 6),()(102 ,21023 6),()(y dx xy dy y x f y f Y ),()()(y x f y f x fY X ,故 X 与 Y 相互独立.9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？ 解:由联合分布可以得到五一的边缘分布,反之不能成立，在独立条件下，边缘分布可以唯一确定联合分布。.第四章 随机变量的数字特征 1．盒中有 5 个球，其中 2 个红球，随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球的个数，则 EX 是：B（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.2.设 X 有密度函数：083)(2xx f他 其4 2 x, 求)1(), 1 2(),(2XE X E X E ,并求 X 大于数学期望)(X E的概率。 解:2152432383)(4422 x dxxx X E 2 a b 1/9 824)81163(83)1 2()1 2(3 4422 x x dxxx X E 41248183 1)1(4222 2 x dxxx XE 6 7 1831)5.7(1)5.7())((422 dxxX P X P X E X P 3.设二维随机变量),(Y X的联合分布律为 Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 已知65.0)( XY E，则 a 和 b 的值是： （A）a=0.1, b=0.3；（B）a=0.3, b=0.1；（C）a=0.2, b=0.2；（D）a=0.15, b=0.25。 解： 0 0 0.1 0 1 0.2 0 2 1 0 0.1 1 1 1 2 0.2 0.65 E XY a b ……① 又 0.1 0.20.1 0.2 1 a b ……② 联立①②得 0.15, 0.25 a b 4．设随机变量(X, Y)的联合密度函数如下：求)1(, , XY E EY EX。 他 其 02 0 , 1 0),(y x xyy x f 解：边缘概率密度 Xf x或 Yf y可由 , X Y的概率密度 , f x y给出 , , ,Xf x f x y dy x , , ,Yf y f x y dx y , X Y关于 X 的边缘概率密度为 22 2 2001 12 0 22 2Xf x xydy x ydy x y x x ，即 2 , 0 10,Xx xf x 其它 , X Y关于 Y 的边缘概率密度为 12 1 1001 11 02 2 2Yyf y xydx y xdx y x y ，即 , 0 220,Yyyf y 其它 又 ,XE X xf x dx xf x y dxdy ,YE Y yf y dy yf x y dxdy 1 20 0,XE X xf x dx xf x y dxdy x xydxdy 21 2 1 12 2 2 3 10 00 0 0 02 2()22 3 3yx xydy dx x dx x dx x 1 20 0,YE Y yf y dy yf x y dxdy y xydxdy 3 21 2 1 12 10 00 0 0 08 8 43 3 3 2 3y xy xydy dx x dx xdx 1 2 1 22 20 0 0 01 1 , 1 E XY xy f x y dxdy xy xydxdy x y xy dxdy 1 2 1 2 1 2 12 2 2 3 2 2 20 00 0 0 0 0 0 01 13 2x y dxdy xy dxdy x y dx dy xy dx 1 2 120 0 08 8 172 13 9 9x dx dy xdx 5．设 X 有分布律： 则)3 2(2 X X E是：D（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.6.丢一颗均匀的骰子，用 X 表示点数，求DX EX,.解：X 的分布为 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,61)( k k X P 276216166***611)( X E 6916166***611)(2 2 2 2 2 2 X E 619))(()()(2 2 X E X E X D X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 7.X 有密度函数： 04 /)1()(xx f他 其2 0 x，求 D(X).解： 22D X E X E X 又 4 322 2 2 2001 54 16 12 3x x xE X x f x dx x dx 4 322001 74 16 12 6x x xE X xf x dx x dx 2225 7 113 6 36D X E X E X 8.设(2)X P,)6.0 , 3(~ B Y,相互独立，则)2(), 2(Y X D Y X E 的值分别是：（A）-1.6 和 4.88；（B）-1 和 4；（C）1.6 和 4.88；（D）1.6 和-4.88.9.设)3 , 4(~), ,(~ N Y b a U X，X 与 Y 有相同的期望和方差，求b a,的值。（B）（A）0 和 8；（B）1 和 7；（C）2 和 6；（D）3 和 5.10．下列结论不正确的是（C）（A）X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关；（B）X 与 Y 相关，则 X 与 Y 不相互独立；（C）)()()(Y E X E XY E ，则 X 与 Y 相互独立；（D）)()(),(y f x f y x fY X，则 X 与 Y 不相关； 11．若 0),( Y X C O V，则不正确的是（D）（A）)()()(Y E X E XY E ；（B）)()()(Y E X E Y X E ；（C）)()()(Y D X D XY D ；（D）)()()(Y D X D Y X D ； 12．（Y X,）有联合分布律如下，试分析 X 与 Y 的相关性和独立性。 Y X-1 0 1-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 解： X 与 Y 的分布律分别为 X-1 0 1 3 2 31 0 1 08 8 8E X ; 22 2 23 2 3 31 0 18 8 8 4E X 223 304 4D X E X E X 3 2 31 0 1 08 8 8E Y ; 22 2 23 2 3 31 0 18 8 8 4E Y 223 304 4D Y E Y E Y 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 18 8 8 8 8E XY 1 1 11 1 1 0 1 1 08 8 8 , 0 0 0 Cov X Y E XY E X E Y , 003 34 4XYCov X YD X D Y 故 X 与 Y 不相关，又 1 1 1 11, 1 , 1 18 8 8 64P X Y P X P Y 所以 X 与 Y 相互独立 , ,i j i jP X x Y y P X x X Y y 故 X 与 Y 不相互独立； 13．)()()(Y E X E XY E 是 X 与 Y 不相关的（B）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。 14.)()()(Y E X E XY E 是 X 与 Y 相互独立的（A）A 必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。 15.思考题：（1）设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试验证 X 与 Y 不相关，但不独立。 他 其 01 4 / 21),(2 2y x y xy x f P 3/8 2/8 3/8 Y-1 0 1 P 3/8 2/8 3/8 （2）设),(Y X有 他 其 0145),(2y x yy x f，试验证)()()(Y E X E XY E ，但 X 与 Y 不相互独立 解: 0421)(11122 xdxdyy xx X E 97421)(11122 xdxdyy xy Y E 11122421)(xdxdyy xxy XY E0,0 ,不相关 01 1 ,8)1(21421)(2 2122xx xdyy xx fxX 01 0 ,27421)(252yydxy xy fyy Y 显然:),()()(y x f y f x fY X ,所以 X 与 Y 不独立.（2）设),(Y X有 他 其 0145),(2y x yy x f，试验证)()()(Y E X E XY E ，但 X 与 Y 不相互独立 解: 045)(1112 xdxdyyx X E 7545)(1112 xd x d yyy Y E 045)(1112 xdxdyyxy XY E)()()(Y E X E XY E 01 1 ,8)1(545)(412xxdyyx fxX 01 0 ,2545)(23yydxyy fyy Y 显然:),()()(y x f y f x fY X ,所以 X 与 Y 不独立.讨论)()()(Y E X E XY E 与独立性，相关性与独立性之间的关系 解:若 X 与 Y 相互独立,则)()()(Y E X E XY E ,反之不成立.独立一定不相关,反之不真.第五章大数定律及中心极限定理 1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 0.004 的指数分布，现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年（8760 小时）的近似概率。 解：设第 I 只元件的寿命为 21,2, , 30;250;250.i i iX i E X D X 301iiY X 是这 30 只元件的寿命总和。 2250 30 7500;30 250 E Y D Y 所以 30301175008760 7500 8760 75008760 8760 130 250 30 250 30 250iiiiXP Y P X P 1 0.9201 1 0.8212 0.1788 2.某一随机试验，“成功”的概率为 0.04，独立重复 100 次，由中心极限定理求最多“成功”6 次的概率的近似值。 解：X 是实验成功的次数，则 100,0.04;100 0.04;100 0.04 0.96 1.92 X B np npq 0 4 4 6 40 6 1.041 2.0833 0.8508 1 0.9812 0.8321.92 1.92 1.92XP X P 第六章样本与统计量 1.有 n=10 的样本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，则样本均值 X =，样本均方差 S，样本方差2S。 解：1 21.2 1.4 1.9 2.0 1.5 1.5 1.6 1.4 1.8 1.41.5710nx x xXn 1022 2 2 2 2211 11.2 1.57 1.4 1.57 1.9 1.57 2.0 1.57 1.5 1.571 9iis x xn 2 2 2 2 21.5 1.57 1.6 1.57 1.4 1.57 1.8 1.57 1.4 1.57 0.0646 0.254 s 2．设总体方差为2b有样本nX X X , , ,2 1，样本均值为 X，则),(1X X Cov。 解：因为样本nX X X , , ,2 1均值的期望等于总体的期望，即 E X E X 又 1,2, ,iE X E X i ，所以 1,2, ,iE X E X i 因为 , Cov X Y E XY E X E Y 且 , Cov X X E XX E X E X D X 所以 1 1 1, Cov X X E X X E X E X E XX E X E X D X 又 2bD Xn,所以 21 ,bCov X X D Xn 3.查有关的附表，下列分位点的值：9.0Z=，)5(21.0=，)10(9.0t=。 解：0.9 0.11.28(9)Z Z 逆查标准正态分布表，属于参数的区间估计问题。 20.1(5)9.236 查附表 4，0.1, 5 n 1, t n t n （P132） 0.9 0.110 10 1.3722, t t 查附表 3 0.1, 10 n 5．设总体),(~2 N X，样本nX X X , , ,2 1，样本均值 X，样本方差2S，则 ~ 0,1/XNn； ~ 1/Xt nS n 2 2211()~ 1niiX X n 2 2 2 22 21 221 11()~n ni nii iX X X XX n iX 是标准化。 第七章 参数估计 1.设总体 X 的密度函数为： 他 其 01 0)(1x xx f，有样本nX X X , , ,2 1，求未知参数 的矩估计。 解：总体期望为 11 11 10 001 1E X x x dx x dx x 由矩估计法，令1X,所以1XX ，即21XX 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~ X，为估计 的值，在实地随机地调查了 20 次，每次 1 分钟，结果如下 次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求 的一阶矩估计和二阶矩估计。 解:2.5 x,8.62 s,1 EX,21 DX,所以1923.01ˆ x,3835.01ˆ s 3.设总体 X 的密度函数为： 他 其 01 0)1()(x xx f，有样本nX X X , , ,2 1，求未知参数 的极大似然估计。 解： 似然函数为 1 1(1)(1)(),n nni ii iL x x 两边取对数 1ln ln(1)()nniiL x 即 1ln ln(1)lnniiL n x 两边对 求导 1ln1 1ln 01 2 2niid Lnxd 得 的极大似然估计211lnniinx 4.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度),(~2 N X,抽取 9 根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求 的置信度为95.0的置信区间，（1）若2 2048.0 ,（2）若2未知 解：（1）1.36+1.49+1.43+1.41+1.27+1.40+1.32+1.42+1.471.397, 0.05, 0.0489x 的置信度为95.0的置信区间 0.048 0.0481.96 , 1.96 1.397 1.96 ,1.397 1.96 1.387,1.4079 9x xn n （2） 22 2 2 22i1 1s = x = [ 1.36-1.397 1.49-1.397 + 1.43-1.397 + 1.41-1.397n-1 8x 2 2 2 2 2+ 1.27-1.397 + 1.40-1.397 + 1.32-1.397 + 1.42-1.397 + 1.47-1.397 ] 0.0049 的置信度为95.0的置信区间 /2 /2 0.025 0.0250.0049 0.00491 , 1 1.397 8 ,1.397 89 9s sx t n x t n t tn n 0.0049 0.00491.397 2.306 ,1.397 2.306 1.3932,1.40089 9 的置信区间就是2的置信区间的端点的算术根 0.036, 0.076 5.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查 16 个另件，测量其长度，得075.12 x㎜，s = 0.0494 ㎜,设另件长度),(~2 N X,取置信度为95.0，（1）求2的置信区间，（2）求 的置信区间。 解:00244036.02 s,0366054.0)1(2 s n,262.6)15(2975.0 ,448.27)15(2025.0 所以2置信区间为: 0058.0 , 0013.0262.60366054.0,448.270366054.0.的置信区间为:[0.0361,0.0762] 第八章假设检验 1.某种电子元件的阻值（欧姆）)400 , 1000(~ N X,随机抽取 25 个元件，测得平均电阻值992 x，试在1.0 下检验电阻值的期望 是否符合要求？ 解： 2 2~(1000, 400), 20 X N , 由题意，可提出假设检验：0 0 1 0: 1000;: 1000 H H 这是2为已知，关于 的双侧假设检验问题，因此用 U 检验法。取检验统计量 0~ 0,1 ,XU Nn其中25, 992.n x 且00992 10002,2025XUn 又0.0520.1, 1.65 Z Z , 02 22 , , , 1.65 1.65, U W Z Z 拒绝1000 :0 H 2.在上题中若2未知，而 25 个元件的均方差25 s，则需如何检验，结论是什么？ 解:由于方差未知,故用 t 检验.检验假设: 1000 :0 H,1000 :1 H 6.15 / 251000 992 t 查表 7109.1)24(05.0 t 由于7109.1 6.1 t,故接收原假设, 电阻值的期望 符合要求, 3.成年男子肺活量为3750 毫升的正态分布，选取 20 名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为3808 x毫升，设方差为2 2120 ，试检验肺活量均值的提高是否显著（取02.0 ）？ 解： 2 2 2~(3750, 120), 120 X N , 根据题意，可提出假设检验：0 0 1 0: 3750;: 3750 H H 这是2为已知，关于 的双侧假设检验问题，因此用 U 检验法。取检验统计量 0~ 0,1 ,XU Nn其中20, 3808.n x 且003808 3750 1033.839,120 12020 20XUn 又0.0120.02, 2.34 Z Z , 02 23.839 , , , 2.34 2.34, U W Z Z 拒绝0H：肺活量提高显著；
