2,2.2.2 应用案巩固提升
[A 基础达标] 1．(2020·四川省宜宾市教学质量监测)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 8 后所得数据，则 A、B 两样本的下列数字特征对应相同的是()A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数 解析：选 B.A 样本数据为 42，43，46，52，42，50，其平均数为 42＋43＋46＋52＋42＋506＝ 2756，众数为 42，中位数为 43＋462＝ 892，由题可得，B 样本数据为 34，35，38，44，34，42，其平均数为 34＋35＋38＋44＋34＋426＝ 2276，众数为 34，中位数为 35＋382＝ 732，所以 A、B 两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同．故选 B.2．(2020·广东省惠州市期末考试)某班有 50 名学生，男女人数不相等．随机询问了该班5 名男生和 5 名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确的是()A．这 5 名男生成绩的标准差大于这 5 名女生成绩的标准差 B．这 5 名男生成绩的中位数大于这 5 名女生成绩的中位数 C．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 D．这种抽样方法是一种分层抽样 解析：选 A.5 名男生成绩的平均数为 90＋92＋94＋86＋885＝90，5 名女生成绩的平均数为 93＋93＋93＋88＋885＝91，这 5 名男生成绩的方差为 15 ×(22 ＋4 2 ＋2 2 ＋4 2)＝8，女生成绩的方差为 15 ×(22 ×3＋3 2 ×2)＝6，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以 A 对； 这 5 名男生成绩的中位数是 90, 5 名女生成绩的中位数为 93，所以 B 错； 该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以 C 错；若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以 D错．故选 A.3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析：选 C.由题意可知，甲的成绩为 4，5，6，7，8，乙的成绩为 5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为 6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为 6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为 15 ×[(4－6)2 ＋(5－6)2 ＋(6－6)2 ＋(7－6)2 ＋(8－6)2 ]＝2，15 ×[(5－6)2 ＋(5－6)2＋(5－6)2 ＋(6－6)2 ＋(9－6)2 ]＝ 125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为 4，D 错． 4．(2020·河南省信阳高级中学期末考试)某班有 50 名学生，在一次考试中统计出平均分数为 70，方差为 75，后来发现有 2 名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是 80 分却误记为 60 分，学生乙实际得分是 70 分却误记为 90 分，更正后的平均分数和方差分别是()A．70 和 50 B．70 和 67 C．75 和 50 D．75 和 67 解析：选 B.设更正前甲、乙、…的成绩依次为 a 1，a 2，…，a 50，则 a 1 ＋a 2 ＋…＋a 50 ＝50×70，即 60＋90＋a 3 ＋…＋a 50 ＝50×70，(a 1 －70)2 ＋(a 2 －70)2 ＋…＋(a 50 －70)2 ＝50×75，即 10 2 ＋20 2 ＋(a 3 －70)2 ＋…＋(a 50 －70)2 ＝50×75，更正后平均分为 x－ ＝ 150 ×(80＋70＋a 3 ＋…＋a 50)＝70； 方差为 s 2 ＝150 ×[(80－70)2 ＋(70－70)2 ＋(a 3 －70)2 ＋…＋(a 50 －70)2 ] ＝150 ×[100＋(a 3 －70)2 ＋…＋(a 50 －70)2 ]＝ 150 ×[100＋50×75－102 －20 2 ]＝67.故选 B.5．(2020·江西省上饶市期末统考)甲、乙两人在相同的条件下投篮 5 轮，每轮甲、乙各投篮 10 次，投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图)，则以下说法错误的是()
A．甲投篮命中次数的众数比乙的小 B．甲投篮命中次数的平均数比乙的小 C．甲投篮命中次数的中位数比乙的大 D．甲投篮命中的成绩比乙的稳定 解析：选 B.由折线图可知，甲投篮 5 轮，命中的次数分别为 5，8，6，8，8，乙投篮 5 轮，命中的次数分别为 3，7，9，5，9，则甲投篮命中次数的众数为 8，乙投篮命中次数的众数为 9，所以 A 正确； 甲投篮命中次数的平均数为 7，乙投篮命中次数的平均数为 6.6，所以 B 不正确； 甲投篮命中次数的中位数为 8，乙投篮命中次数的中位数为 7，所以 C 正确； 甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中次数的数据比较分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，所以 D 正确． 故选 B.6．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁平均环数 x－ 8.3 8.8 8.8 8.7 方差 s 2 3.5 3.6 2.2 5.4 若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙． 答案：丙 7．数据 x 1，x 2，…，x n 的平均数是 3，方差是 1，则数据 5－x 1，5－x 2，…，5－x n 的平均数和方差之和是________． 解析：由题意结合平均数和方差的性质可知，数据 5－x 1，5－x 2，…，5－x n 的平均数为5－3＝2，方差为(－1)2 ×1＝1，则平均数和方差之和是 2＋1＝3.答案：3 8．(2020·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本平均数为 1，则样本方差为________． 解析：因为样本的平均数为 1，所以 15 ×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得 a＝－1.所以样本的方差为 15 ×[(－1－1)2 ＋(0－1)2 ＋(1－1)2 ＋(2－1)2 ＋(3－1)2 ]＝2.答案：2 9．甲、乙两种冬小麦实验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位：t/km 2)：
第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议． 解：由题意得 x－甲 ＝ x－乙 ＝10.s 2 甲 ＝ 15 ×[(9.8－10)2 ＋(9.9－10)2 ＋(10.1－10)2 ＋(10－10)2 ＋(10.2－10)2 ]＝0.02，s 2 乙 ＝ 15 ×[(9.4－10)2 ＋(10.3－10)2 ＋(10.8－10)2 ＋(9.7－10)2 ＋(9.8－10)2 ]＝0.244，甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于 10，且 s 2 甲 ＜s 2 乙，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，推荐引进甲种冬小麦大量种植． 10．某中学从参加环保知识竞赛的学生中抽取了部分学生的成绩进行分析，不过作好的茎叶图和频率分布直方图因故均受到不同程度的损坏，其可见部分信息如图所示，据此解答下列问题：
(1)求抽取学生成绩的中位数，并修复频率分布直方图；(2)根据修复的频率分布直方图估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩．(以各组的区间中点值代表该组的各个值)解：(1)抽取的学生总人数为 2÷(0.01×10)＝20，中位数应该是第 10 和第 11 个学生的成绩的平均数，故中位数为 75＋772＝76，[90，100]的频率为 0.015×10＝0.15；[60，70)的频率为520 ＝0.25，即频率组距 ＝0.025；[70，80)的频率为720 ＝0.35，即频率组距 ＝0.035；[80，90)的频率为
1－(0.1＋0.25＋0.35＋0.15)＝0.15，即 频率组距 ＝0.015.修复的频率分布直方图如图所示．(2)0.1×55＋0.25×65＋0.35×75＋0.15×85＋0.15×95＝75，因此，估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩是 75 分． [B 能力提升] 11．某市有 15 个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为 20 万，标准差为 s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为 20 万，被误统计为 15 万，乙景点实际为 18 万，被误统计成 23 万；更正后重新计算，得到标准差为 s 1，则 s 与 s 1 的大小关系为()A．s＝s 1 B．s＜s 1 C．s＞s 1 D．不能确定 解析：选 C.由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为 x－，则 s＝ 115 [（15－ x－）2 ＋（23－ x －）2 ＋（x3 － x－）2 ＋…＋（x15 － x－）2 ]，s 1 ＝ 115 [（20－ x－）2 ＋（18－ x －）2 ＋（x3 － x－）2 ＋…＋（x15 － x－）2 ].若比较 s 与 s 1 的大小，只需比较(15－ x－)2 ＋(23－ x －)2与(20－ x－)2 ＋(18－ x －)2的大小即可．而(15－ x－)2 ＋(23－ x －)2 ＝754－76 x － ＋2 x － 2，(20－ x －)2 ＋(18－ x －)2 ＝724－76 x － ＋2 x － 2，所以(15－ x－)2 ＋(23－ x －)2 ＞(20－ x －)2 ＋(18－ x －)2.从而 s＞s1.12．已知样本数据 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5 ∈N，该样本数据的平均数为 7，样本数据的方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值是________． 解析：由题意知 15(x 1 ＋x 2 ＋x 3 ＋x 4 ＋x 5)＝7，15 [(x 1 －7)2 ＋(x 2 －7)2 ＋(x 3 －7)2 ＋(x 4 －7)2 ＋(x 5－7)2 ]＝4⇒(x 1 －7)2 ＋(x 2 －7)2 ＋(x 3 －7)2 ＋(x 4 －7)2 ＋(x 5 －7)2 ＝20.易知(x i －7)2 <20，i＝1，2，3，4，5，又因为 x i ∈N，所以 x i ≤11.设 x 3 ＝11，那么(x 1 －7)2 ＋(x 2 －7)2 ＋(x 4 －7)2 ＋(x 5 －7)2 ＝4.必然存在样本数据相等，不满足题意；设 x 3 ＝10，那么(x 1 －7)2 ＋(x 2 －7)2 ＋(x 4 －7)2 ＋(x 5 －7)2＝11，不妨设 x 1 ＝4，x 2 ＝6，x 4 ＝7，x 5 ＝8，且满足 15(x 1 ＋x 2 ＋x 3 ＋x 4 ＋x 5)＝7.所以当最大值为
10 时存在 5 个数都为整数，满足题意． 答案：10 13．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65 元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其 11 月到次年 4 月起执行非夏季标准如下：
第一档 第二档 第三档 每户每月用电量(单位：度)[0，200](200，400](400，＋∞)电价(单位：元/度)0.61 0.66 0.91 例如：某用户 11 月用电 410 度，采用合表电价收费标准，应交电费 410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费 200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)． 为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市 100 户居民的 11月用电量，工作人员已经将 90 户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后 10 户的月用电量(单位：度)为 88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.组别 月用电量 频数统计 频数 频率 ① [0，100] ②(100，200] ③(200，300] ④(300，400] ⑤(400，500] ⑥(500，600] 合计(1)完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；(2)根据已有信息，试估计全市住户 11 月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)设某用户 11 月用电量为 x 度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交 y 1 元，按照阶梯电
价收费标准应交 y 2 元，请用 x 表示 y 1 和 y 2，并求当 y 2 ≤y 1 时，x 的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于 75%的用户带来实惠？ 解：(1)频率分布表如下：
组别 月用电量 频数统计 频数 频率 ① [0，100] 4 0.04 ②(100，200] 12 0.12 ③(200，300] 24 0.24 ④(300，400] 30 0.3 ⑤(400，500] 26 0.26 ⑥(500，600] 4 0.04 合计 100 1 频率分布直方图如图：
(2)该 100 户用户 11 月的平均用电量 x－ ＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，所以估计全市住户 11 月的平均用电量为 324 度．(3)y 1 ＝0.65x，y 2 ＝ 0.61x，0≤x≤2000.66（x－200）＋122＝0.66x－10，200
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