高考卷,普通高等学校招生考试江西,文科数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分． 第I卷 考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则为（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：=，选B.2．函数的最小正周期为（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：选B.3．函数的定义域为（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：选A.4．若，则等于（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：

所以选D.5．设，则的值为（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：令=1，右边为；

左边把代入，选A.6．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：从中有放回地取2次，所取号码共有8*8=64种，其中和不小于15的有3种，分别是（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为选D.7．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：线段所在直线方程与抛物线交于则：，选B.8．若，则下列命题正确的是（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：显然A、C、D不正确，选B.9．四面体的外接球球心在上，且，在外接球面上两点间的球面距离是（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：由球心在上，且，得球的半径R=1，选C.10．设在内单调递增，则是的（）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 解析：在内单调递增，则在上恒成立。；

反之，在内单调递增，选C.11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，则它们的大小关系正确的是（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：观察图形可知体积减少一半后，下部越细剩余酒的高度越高，最高为，最低为，应有.选A.12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）

Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外 Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能 解析：由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内，选C.第II卷 注意事项：

第II卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点 分别为，则 ． 解析：

14．已知等差数列的前项和为，若，则 ． 解析：由题意得 15．已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 ． 解析：若函数的图象经过点，则有 所以函数的图象必经过点.16．如图，正方体的棱长为1，过点A作平面的垂线，垂足为点． 有下列四个命题 Ａ．点是的垂心 Ｂ．垂直平面 Ｃ．二面角的正切值为 Ｄ．点到平面的距离为 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）

解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；

面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；

连接即为二面角的平面角, C正确;对于D, 连接面,故点是 的三等分点,故点到平面的距离为从而D错.则应填A，B，C.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知函数满足．（1）求常数的值；

（2）解不等式． 解：（1）因为，所以；

由，即，．（2）由（1）得 由得，当时，解得，当时，解得，所以的解集为． 18．（本小题满分12分）

如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点 是的中点，当，时，求的值． 解：（1）将，代入函数中得，因为，所以． 由已知，且，得．（2）因为点，是的中点，． 所以点的坐标为． 又因为点在的图象上，且，所以，从而得或，即或． 19．（本小题满分12分）

栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗 的概率分别为，移栽后成活的概率分别为，．（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；

（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率． 解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；

分别记甲、乙两种果树苗移栽成活 为事件，，，．（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 ；

（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，则，． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 ． 解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为 ． 20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，．（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求与平面所成的角的大小；

（3）求此几何体的体积． 解法一：

（1）证明：作交于，连． 则，因为是的中点，所以． 则是平行四边形，因此有，平面，且平面 则面．（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，作于，因为平面平面，则面． 连结，则就是与面所成的角． 因为，所以． 与面所成的角为．（3）因为，所以． ． ． 所求几何体的体积为． 解法二：

（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量． 由且平面知平面．（2）设与面所成的角为． 求得，． 设是平面的一个法向量，则由得，取得：． 又因为 所以，则． 所以与面所成的角为．（3）同解法一 21．（本小题满分12分）

设为等比数列，．（1）求最小的自然数，使；

（2）求和：． 解：（1）由已知条件得，因为，所以，使成立的最小自然数．（2）因为，…………①，…………② 得：。

所以． 22．（本小题满分14分）

设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）如图，过点的直线与双曲线的右支 交于 两点．问：是否存在，使 是以点为直角顶点的等腰直角三角形？ 若存在，求出的值；

若不存在，说明理由． 解：（1）在中，（小于的常数）

故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线． 方程为．（2）方法一：在中，设，，． 假设为等腰直角三角形，则 由②与③得，则 由⑤得，，故存在满足题设条件． 方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得 所以，． 则．① 由，可设，则，． 则．② 由①②得．③ 根据双曲线定义可得，．平方得：．④ 由③④消去可解得，故存在满足题设条件．

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