立几专题共案
专题四 立体几何 撰稿 人：惠文旭【专题要点】 1、在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用.2、通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力.3、使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 【 考纲要求】 】（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系（2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理；（3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理；（4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
（5）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
（6）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图（7）掌握球的表面积、体积公式.【命题趋势及预测】 空间几何体的三视图和直观图是高考考查的重点，尤其是三视图，一般会将三视图和几何体的体积与表面积结合在一起考查，题目难度不大，对空间想象力有一定要求，一般以选择题形式出现，空间中的平行与垂直关系的考查是另一个重点，以解答题出现的几率较大，解答题除考查空间位置关系外还会考查几何体的体积表面积的计算；立几部分在高考试题中所占分值大约 17 分左右。
第一讲 空间几何体 【 知识归纳】 】 1 ．空间几何体的三视图(1)正视图：从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；(2)侧视图：从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；(3)俯视图：从几何体的上面向下面正投影得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度． 2 常见几何体的体积表面积公式（1）表 面积公式 ① 圆柱的表面积 ② 圆锥的表面积 ③ 圆台的表面积 ④ 球的的表面积（2）体积公式 1、柱体的体积 2、锥体的体积 3、球体的体积 第一课时 考点一：空间几何体的三视图与直观图 例 例 1 1① ①（14 年湖南 4）某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（）②、(14 年陕西 8)将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱 锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）
练习1 1 ：
1、（14 年福建 4）一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 2、（14 浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 例 例 2 2、①（14 年广东）某几何体的三视图如左下图所示，它的体积为()()A 72 ()B 48 ()C ()D ②（14 年北京）某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是（）（A）28+ 6 5（B）30+ 6 5（C）56+ 12 5（D）60 练习2 2 ：
1、（14 年辽宁）一个几何体的三视图如图 1 所示，则该几何体的体积为_____ 图 1 图 2 2、（14 年天津 10）一个几何体的三视图如图 2 所示（单位：m）,则该几何体的体积 3m.3、（14 年北京)某四棱锥的三视图如图 3 所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+ 16 2(C)48(D)16 32 2 图 3 图 4 图 5 4、（14 年辽宁 8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3，它的三视图中的俯视图如图 4
VB C D M A所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是（）(A)4(B)2 3(c)2(D)3 5、某四面体的三视图如图 5 所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）(A)8(B)6 2(C)10(D)8 2 第二课时 考点二 ：
空间几何体的体积和表面积 例 例 3 3、①（课本原题）如右图，棱锥的底 ABCD 是矩形，AC 与 BD 交与 M，VM 是棱锥的高，若 VM=4cm,AB=4cm,VC=5cm,求 棱锥的体积和表面积。
②(13 年山东)如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED 的体积为＿＿＿＿＿习练习3：
1、（14 年上海）一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2，该诉表面积为 2、（14 年江苏）如图，在长方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，3cm AB AD ，12cm AA ，则四棱锥1 1A BB D D 的体积为 cm 3 ． 3、（课本原题）如图，多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF// AB,平面 FBC 垂直于平面 ABCD,三角形 FBC 中 BC 边上的高 FH=2，EF=32, 求该多面体的体积。
课后跟踪练习：
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1.(14 年安徽 8)一个空间几何体得三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为（）（A）48(B)32+8 (C)48+8 (D)80 CF A B EHDD A B C 1C 1D 1A 1B
2.(14 年广东 9)如右上图 1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A． B． C． D． 2 3.（4 14 年北 湖北 7 7))设球的体积为 V 1 ,它的内接正方体的体积为 V 2，下列说法中最合适的是（）A.V 1 比 V 2 大约多一半 B.V 1 比 V 2 大约多两倍半 C.V 1 比 V 2 大约多一倍 D.V 1 比 V 2 大约多一倍半 4.(14 年陕西 18)直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=A A 1，CAB =2。（Ⅰ）证明1 1B A C B ;（Ⅱ）已知 AB=2，BC= 5，求三棱锥1 1C A AB 的体积 5、（14 年全国课标）如图，三棱柱1 1 1ABC ABC 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= 12 AA 1，D是棱 AA 1 的中点。(Ｉ)证明：平面1BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比值。
第二讲 空间点、线、面的位置关系 【 知识归纳 】 1．空间点、线、面的位置关系 空间两直线的位置关系有 三种； 空间线与面的位置关系有 两种； 空间两平面的位置关系有 两种。
2.空间点、线、面的位置关系的判定与性质（1）直线与平面平行的判定：
（2）直线与平面平行的性质：
（3）直线与平面垂直的判定：
（4）直线与平面垂直的性质：
（5）平面与平面平行的判定：
（6）平面与平面平行的性质：
第一课时 考点一：对定理、性质的考 查 例 例 1、、① ①（14 年浙江）设 l 是直线，a，β 是两个不同的平面 A.若 l∥a,l∥β，则 a∥β B.若 l∥a，l⊥β，则 a⊥β C.若 a⊥β,l⊥a,则 l⊥β D.若 a⊥β, l⊥a,则 l⊥β ②（1 14 4 年浙江 4)若直线 l 不平行于平面 a，且 l a ，则(A)a 内的所有直线与 l 异面(B)a 内不存在与 l平行的直线(C)a 内存在唯一的直线与 l平行(D)a 内的直线与 l 都相交习练习1 ：
1、、（1 14 4 年四川 6)1l，2l，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）（A）1 2 2 3, l l l l 1l //2l（B）1 2l l ,1l //3l 1 3l l （C）1l //2l //3l 1l，2l，3l 共面（D）1l，2l，3l 共点 1l，2l，3l 共面 2、、（1 14 4 年福建 15)如图，正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF∥平面 AB 1 C，则线段 EF 的长度等于____.考点二 ：
线线、线面的位置关系 例 2、(14 年天津 17)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 45 ADC ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2, M 为 PD的中点.(Ⅰ)证明：PB∥平面 ACM;(Ⅱ)证明：AD⊥平面 PAC;
习练习2 ：1、、（14 年浙江 20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB= 2。AD=2，BC=4,AA 1 =2，E 是 DD 1 的中点，F 是平面 B 1 C 1 E 与直线 AA 1 的交点。
（1）证明 :EF∥A 1 D 1 ；（2）证明 :BA 1 ⊥平面 B 1 C 1 EF； 2（14 年北京）、如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△A 1 DE的位置，使 A 1 F⊥CD，如图 2。
（1）求证：DE∥平面 A 1 CB；（2）求证：A 1 F⊥BE；（3）线段 A 1 B 上是否存在点 Q，使 A 1 C⊥平面 DEQ？说明理由。
第二课时 考点三：面与面的位置关系 例 3（14 年江苏卷）如右上图，在四棱锥 ABCD P 中，平面 PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点。
求证：（1）直线 EF‖平面 PCD；（2）平面 BEF⊥平面 PAD 练习3 3：1、（14 年江苏16）、如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC 中，1 1 1 1AB AC ，D E，分别是棱1BC CC，上的点（点D 不同于点 C），且 AD DE F ，为1 1BC 的中点． 求证：（1）平面 ADE 平面1 1BCC B ；（2）直线1// AF平面 ADE． 2、（14 年江西）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 是线段 AB 上的两点，且 DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4 2，DE=4.现将△ADE，△CFB 分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两点重合与点G，得到多面体 CDEFG.求证：（1）平面 DEG⊥平面 CFG；（2）求多面体 CDEFG 的体积。
课后跟踪练习：
1.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面； ④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是（）（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）②和④ 2.(课本原题)如图，已知△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD⊥平面 ABC，且 EC、BD 在平面 ABC 的同侧，M 为 EA 的中点，CE=CA=2BD，求证：（1）DE=DA；（2）平面 BDM⊥平面 ECA(3)平面 DEA⊥平面 ECA 专题综合练习：
1 1、、一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）（A）6（B）12（C）24（D）36 2 2、、设 m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面． 有下列四个命题：① 若 m ， ，则 m ； ② 若 // ，m ，则 m // ；③ 若 n ，n ，m ，则 m ； ④ 若 ， ，m ，则 m ．其中正确命题的序号是()(A)①③(B)①②(C)③④(D)②③ 3 3、如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P 是上底面1 1 1 1ABC D 内一动点，则三棱锥 P ABC 的主视图与左视图的面积的比值为____.4、、（1 14 4 年 全国新课 18))如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 60 DAB，ABCD PD AD AB 底面 , 2，（1）证明：
BD PA;(2)设，1 AD PD 求三棱锥 D-PBC 锥的高.5、(14 年山东 19)如图，几何体 E ABCD 是四棱锥，△ ABD 为正三角形，, CB CD EC BD .(Ⅰ)求证：
BE DE ；(Ⅱ)若∠ 120 BCD ，M 为线段 AE 的中点，求证：
DM ∥平面 BEC.6、(14 年海南 19)如图 5 所示，在四棱锥 P ABCD 中，AB平面 PAD，/ / , AB CD PD AD ，E是 PB 中点，F 是 DC 上的点，且12DF AB ，PH 为 PAD 中 AD 边上的高。
（1）证明：
PH 平面 ABCD ；（2）若 1, 2, 1 PH AD FC ，求三棱锥 E BCF 的体积；
（3）证明：
EF 平面 PAB ．
