初二数学竞赛试题
2014年秋初二数学竞赛试题（满分：150分；
考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的.答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分． 1.在实数范围内算术平方根等于它本身的数有（）
A.个 B.个 C.个 D.个 2.下列各数中，属于无理数的是（）
A.B.C.D.3.下列分解因式正确的是（）
A． B． C． D． 4.下列运算错误的是()A.B.C.D.5.下列命题正确的是()A.三个角对应相等的两个三角形全等 B.三边对应相等的两个三角形全等 C.面积相等的两个三角形全等 D.周长相等的两个三角形全等 6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图所示，则能说明 的依据是()A．ASA B． SSS C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 7.若，则的值为（）
A.B.C.D.二、填空题（每小题4分，共40分）：
8.计算：
． 9.写出两个不同的无理数，使这两个无理数的积为有理数，那么 这两个无理数可以是 和 ． 10.如果，且，那么 ． 11.计算：
． 12.命题：“如果两个角互余，那么这两个角的和为”的逆命题为 ． 13.如图，已知在中，是的中点，，垂足分别是、，则图中有 对 全等三角形． 14.若 则__________． 15..如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________． 16.如图，已知中，是高和的交点，则线段的长度为 ． 17.如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小菁依下列方法作图：
① 作∠A的角平分线交BC于D点． ② 作AD的中垂线交AC于E点，交AD于F点． ③ 连接．(1)根据所画的图形，下列正确的是（填序号）；
A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD＝DE D．CD＝BD(2)若，则__________． 三、解答题（共89分）：
18.（9分）计算：
19.(9分)计算：
20.(9分)已知，求代数式的值.21.(9分)如图，在中，,，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与，重合，连接，.试猜 想线段和的数量及位置关系，并加以证明． 22．(9分)若，求代数式的值． 23.（9分）如图，已知于点，于点，且，相交于点． 求证：(1)当时，；
(2)当时，． 24.（9分）如图，在四边形中，是的平分线，∥，连接、，求证：（1）
（2）是的平分线． 25.（13分）如图，把一张边长为厘米的正方形纸片四角均剪去一个边长为(<)厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．（1）①用含、的代数式表示纸片（阴影部分）的面积；
②当，时，利用因式分解计算折合后纸盒的表面积；
（2）当，时,求出纸盒的底面积． 26.（13分）已知：如图1，点为线段上一点，都是等边三角形，交于点，交于点.(1)求证：；
(2)求证：为等边三角形；
(3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.初二 数 学 试 题 参考答案及评分意见 说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分意见”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；
如属严重的概念性错误，就不给分． 一、选择题（每小题3分，共21分）
1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A 二、填空题（每小题4分，共40分）
8．9．不唯一 如：，10． 11．12．如果两个角的和为，那么这两个角互余.13． 14．15．α=β+γ 16．4 17．⑴ B ⑵ 三、解答题（共89分）
18.解原式……………………………………………6分 …………………………………………………………9分 19.解：原式 …………………………3分 ………………………………………6分 ……………………………………………………9分 20．解：∵ …………………………………4分 当 即 ∴……………………………………9分 21．解：BE＝EC，BE⊥EC 证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.又∵EA＝ED ∴△EAB≌△EDC(SAS)……………………………………………………5分 ∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.……………………9分 22．解：由，得：
…………………………………5分 ………………………9分 23．证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OE＝OD.∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，∴△OEC≌△ODB（AAS）
∴OB＝OC.………………………………………………………………４分(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∴△OEC≌△ODB(AAS)∴OE＝OD.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴△OEA≌△ODA(HL)∴∠1＝∠2.………………………………………………………………９分 24．解：（1）∵是的平分线，∴ 又 ∴≌(SAS)∴． ………………………………………5分（2）∵≌ ∴ ∴ ∵∥ ∴ ∴ ∴是的平分线……………………９分 25．解：（1）①（）.…………………………………（4分）
② 折合后纸盒的表面积=.…………（6分）
当a=6.4，b=1.8时，原式=(6.4+2×1.8)(6.4-2×1.8)=28 …………………………（8分）
（注：没有因式分解得出正确结果，扣1分）
(2)纸盒的底面积=……………………………………（10分）
当a+2b=8，ab=2时, ………………………（13分）
26．证明(1)∵△ACM，△CBN是等边三角形 ∴AC=MC,BC=NC, ∠ACM=60°, ∠NCB=60°…………………2分 ∴△CAN绕着C点顺时针旋转60°会与△MCB重合，∴△CAN≌△MCB ∴AN=BM ……………………………………………4分(2)∵△CAN≌△MCB ∴∠CAN=∠CMB 又∵∠MCF=180° ∠ACM ∠NCB=180° 60° 60°=60° ∴∠MCF=∠ACE ∴△CAE绕着C点顺时针旋转60°会与△CMF重合，∴△CAE≌△CMF……………………………………………………7分 ∴CE=CF ∴△CEF为等腰三角形, 又∵∠ECF=60° ∴△CEF为等边三角形.……………………………………………(9分)(3)画图正确 ………………………………………………(11分)结论仍然成立.………………………………………………………(13分)
