21年高考22题逐题特训小题满分练1
练 小题满分练 1 1．(2020·全国Ⅰ)已知集合 A＝{x|x 2 －3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则 A∩B 等于()A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3} 答案 D 解析 ∵A＝{x|x 2 －3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1
答案 B 解析 函数的定义域为 R，f(－x)＝3－ x －3 x|－x＋1|＋|－x－1| ＝3－ x －3 x|x－1|＋|x＋1| ＝－f(x)，故函数 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项 AD；当 x≥1 时，f(x)＝ 3x －3 － x2x，x→＋∞，f(x)→＋∞，可排除选项 C.7．已知 α∈(0，π)，12 sin 2α＝cos 2α＋1，则 cos α 等于()A.55或 0 B.55 C.2 55 D.2 55或 0 答案 A 解析 ∵ 12 sin 2α＝cos 2α＋1，∴sin αcos α＝2cos 2 α，∵α∈(0，π)，∴cos α＝0 或 sin α＝2cos α，∵sin 2 α＋cos 2 α＝(2cos α)2 ＋cos 2 α＝1，解得 cos 2 α＝ 15，解得 cos α＝55或 cos α＝－55(舍去)． ∴cos α＝0 或 cos α＝55.8．设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和，若 S 4S 8 ＝13，则S 8S 16 等于()A.310 B.13 C.19 D.18 答案 A 解析 根据等差数列的性质，若数列{a n }为等差数列，则 S 4，S 8 －S 4，S 12 －S 8，S 16 －S 12 也成等差数列． ∵ S 4S 8 ＝13，∴数列 S 4，S 8 －S 4，S 12 －S 8，S 16 －S 12是以 S 4 为首项，以 S 4 为公差的等差数列，则 S 8 ＝3S 4，S 16 ＝10S 4，∴S 8S 16 ＝310.9．已知下列两个命题，命题甲：平面 α 与平面 β 相交；命题乙：相交直线 l，m 都在平面 α内，并且都不在平面 β 内，直线 l，m 中至少有一条与平面 β 相交．则甲是乙的()
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由题意知，此问题等价于判断①命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 α 内，且都不在平面 β 内，若 l，m 中至少有一条与 β 相交，则平面 α 与平面 β 相交，②命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 α 内，并且都不在平面 β 内，若 α 与 β 相交，则 l，m 中至少有一条与 β相交的真假．对于①命题，此处在证明必要性，因为平面 α 内两相交直线 l 和 m 至少有一条与 β 相交，不妨假设直线 l 与 β 相交，交点为 P，则 P 属于 l 同时属于平面 β，所以 α 与 β有公共点，且由相交直线 l 和 m 都在平面 α 内，并且都不在平面 β 内，可知平面 α 与 β 必相交，故①命题为真命题．对于②命题，此处在证明充分性，因为平面 α 与 β 相交，且两相交直线 l 和 m 都在平面 α 内，且都不在平面 β 内，若 l，m 都不与 β 相交，则 l，m平行于平面β，那么 α∥β，这与 α，β 相交矛盾，故②命题也为真命题． 10．从分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数字的奇偶性不同的概率是()A.15 B.25 C.35 D.45 答案 C 解析 所有基本事件有 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54，共 20 种，其中抽到的 2 张卡片上的数字的奇偶性不同的有 12,14,23,25,34,45,21,41,32,52,43,54，共 12种，根据古典概型的概率公式可得所求事件的概率为 1220 ＝35.11.(2020·广州模拟)△ABC 是边长为 2 的等边三角形，M 为 AC 的中点．将△ABM 沿 BM 折起到△PBM 的位置，则当三棱锥 P－BCM 的体积最大时，三棱锥 P－BCM 外接球的表面积为()A．π B．3π C．5π D．7π 答案 C 解析 当三棱锥 P－BCM 的体积最大时，P 点最高，此时 PM⊥MC，PM⊥BM，BM⊥MC，因为三棱锥 P－BCM 的外接球与以 MP，MB，MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，设其半径为 R，又因为 MP＝MC＝1，MB＝ 3，所以(2R)2 ＝MP 2 ＋MC 2 ＋MB 2 ＝1＋1＋3＝5，所以三棱锥 P－BCM 外接球的表面积为 4πR 2 ＝5π.12．已知函数 f(x)＝2ln x－ 12 ax2 ＋(a－2)x＋a＋1(a>0)的值域与函数 y＝f[f(x)]的值域相同，则a 的取值范围为()A．(0,1] B．[1，＋∞)C.0，43 D.43，＋∞ 答案 D 解析 因为 f(x)＝2ln x－ 12 ax2 ＋(a－2)x＋a＋1(a>0)，所以 f′(x)＝ 2x －ax＋(a－2)(x>0)，由于 a>0，故函数 f′(x)在(0，＋∞)上为减函数，又 f′(1)＝0，故当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 f(x)max ＝f(1)＝－ 12 a＋a－2＋a＋1＝32 a－1，且 x→＋∞时，f(x)→－∞，x→0 时，f(x)→－∞，故函数 f(x)的值域为 －∞，32 a－1，作出函数 f(x)的草图如图所示，由图可知，要使函数 f(x)的值域与函数 y＝f[f(x)]的值域相同，则需 32 a－1≥1，解得 a≥43.13．平行于直线 x＋y＝4 且与圆 x 2 ＋y 2 ＝1 相切的直线的方程是________________________． 答案 x＋y＋ 2＝0 或 x＋y－ 2＝0 解析 依题意设圆的切线方程为 x＋y＋m＝0(m≠－4)，所以|m|1＋1 ＝1，解得 m＝± 2，所以所求圆的切线方程为 x＋y＋ 2＝0 或 x＋y－ 2＝0.14．|OA→|＝1，|OB→|＝ 3，OA→·OB→＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝60°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则 nm ＝________.答案 1 解析 因为OA→·OB→＝0，所以OA→⊥OB→，故可建立直角坐标系，如图所示，则OA→＝(1,0)，OB→
＝(0，3)，故OC→＝mOA→＋nOB→＝m(1,0)＋n(0，3)＝(m，3n)，又点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝60°，所以 tan 60°＝3nm，所以 nm ＝1.15．将正整数排成如图：
试问 2 020 是表中第________行的第________个数． 答案 11 997 解析 由题意得第 n 行有 2 n－ 1 个数，∵2 0 ＋2＋2 2 ＋2 3 ＋2 4 ＋2 5 ＋2 6 ＋2 7 ＋2 8 ＋2 9 ＝ 1－2101－2＝1 023，2 0 ＋2＋2 2 ＋2 3 ＋2 4 ＋2 5 ＋2 6 ＋2 7 ＋2 8 ＋2 9 ＋2 10 ＝ 1－2111－2＝2 047，∴2 020 是表中第 11 行的第 997 个数． 16．已知抛物线 C：y＝ 18 x2 的焦点是 F，点 M 是其准线 l 上一点，线段 MF 交抛物线 C 于点N.当MN→＝ 23 MF→时，△NOF 的面积是________． 答案 4 33 解析 由题意知抛物线的标准方程为 x 2 ＝8y，所以焦点 F(0,2)，准线方程为 y＝－2，设 NN′垂直于准线且交准线于 N′，如图，由抛物线的性质可得|NN′|＝|NF|，因为MN→＝ 23MF→，可得 N 在 M，F 之间，所以|MN|＝2|NF|＝2|NN′|，所以 sin∠FMN′＝ NN′MN＝ 12，所以 tan∠FMN′＝33，即直线 MF 的斜率为33，所以直线 MF 的方程为 y＝33x＋2.将直线 MF 的方程代入抛物线的方程可得，x 2 － 8 33x－16＝0，解得 x＝－43 或 x＝4 3(舍)，所以 S △NOF ＝ 12 |OF|· |x N |＝12 ×2×4 33＝ 4 33.
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