2021年高考22题逐题特训压轴题突破练3

练 压轴题突破练 3 1．已知离心率为 12 的椭圆 C：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线 E：y2 ＝2px(p>0)的焦点 F重合，且点 F 到 E 的准线的距离为 2.(1)求 C 的方程；(2)若直线 l 与 C 交于 M，N 两点，与 E 交于 A，B 两点，且OA→·OB→＝－4(O 为坐标原点)，求△MNF 的面积的最大值． 解(1)因为点 F 到 E 的准线的距离为 2，所以 p＝2，F(1,0)，由 c＝1，ca ＝12，a 2 ＝b 2 ＋c 2，解得   a＝2，b＝ 3，所以 C 的方程为 x24 ＋y 23 ＝1.(2)由(1)知抛物线 E 的方程为 y 2 ＝4x，要使直线 l 与抛物线 E 交于两点，则直线 l 的斜率不为 0，可设 l 的方程为 x＝my＋n，由  x＝my＋n，y 2 ＝4x，得 y 2 －4my－4n＝0，所以 Δ＝(－4m)2 ＋16n>0，得 m 2 ＋n>0，设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则  y 1 ＋y 2 ＝4m，y 1 y 2 ＝－4n，所以 x 1 x 2 ＝ y214 ·y 2 24 ＝y 1 y 2  216＝ 16n216＝n 2，因为OA→·OB→＝－4，所以 x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝－4，所以 n 2 －4n＝－4，所以 n＝2，所以直线 l 的方程为 x＝my＋2，所以直线 l 过椭圆 C 的右顶点(2,0)，不妨设 M(2,0)，N(x 3，y 3)，－ 3≤y 3 ≤ 3，且 y 3 ≠0，所以 S △ MNF ＝ 12 |MF||y 3 |≤32，当且仅当 y 3 ＝± 3时，(S △ MNF)max ＝32.2．已知函数 f(x)＝2ln x－ x－11＋mxx.(1)当 m＝1 时，试判断 f(x)零点的个数；(2)当 x≥1 时，f(x)≤0，求 m 的取值范围． 解(1)当 m＝1 时，f(x)＝2ln x－ x－11＋xx，x>0，f′(x)＝ －x－12x 2，∴f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又 f(1)＝0，∴f(x)有且只有一个零点．(2)∵f(1)＝0，f′(x)＝ －mx2 ＋2x－1x 2，①当 m≤0 时，在[1，＋∞)上，f′(x)>0 恒成立，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(1)＝0，不符合题意． ②当 m>0 时，设 g(x)＝－mx 2 ＋2x－1，当 Δ＝4－4m≤0，即 m≥1 时，g(x)＝－mx 2 ＋2x－1≤0 恒成立，∴在[1，＋∞)上，f′(x)≤0恒成立，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴f(x)≤f(1)＝0，符合题意，∴m≥1.当 Δ＝4－4m>0，即 00，可知 x 1 <10，x∈(x 2，＋∞)时，f′(x)<0，即 f(x)在区间(1，x 2)上单调递增，在(x 2，＋∞)上单调递减，∴f(x 2)>f(1)＝0，不符合题意． 综上，m 的取值范围为[1，＋∞)．

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