2021年高考22题逐题特训压轴题突破练1

练 压轴题突破练 1 1．已知椭圆 E：

x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)经过点 A(0，－1)，且离心率为32.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P(2,1)的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C.求证：直线 AB 和 AC 的斜率之和为定值．(1)解 由椭圆 E 经过点 A(0，－1)，得 b＝1.设半焦距为 c，由离心率为32，得 ca ＝32，c＝32a.又因为 a 2 ＝b 2 ＋c 2，所以 a 2 ＝1＋ 3a24，解得 a＝2.故椭圆 E 的方程为 x24 ＋y2 ＝1.(2)证明 因为直线 BC 过点 P(2,1)且与椭圆 E 有两个不同的交点，所以直线 BC 的斜率一定存在且大于零． 于是可设直线 BC 的方程为 y＝k(x－2)＋1(k>0)． 联立 y＝kx－2＋1，x 24 ＋y2 ＝1，消去 y 并整理得(4k 2 ＋1)x 2 －8k(2k－1)x＋16k(k－1)＝0(k>0)． Δ＝[8k(1－2k)] 2 －4(1＋4k 2)(16k 2 －16k)＝64k>0，设 B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则 x 1 ＋x 2 ＝ 8k2k－14k 2 ＋1，x 1 x 2 ＝ 16kk－14k 2 ＋1.设直线 AB 和 AC 的斜率分别为 k 1 和 k 2，则 k 1 ＋k 2 ＝ y 1 ＋1x 1＋ y 2 ＋1x 2 ＝ kx 1 －2＋2x 1＋ kx 2 －2＋2x 2 ＝2k－ 2k－1x 1 ＋x 2 x 1 x 2 ＝2k－ 16kk－12k－116kk－1 ＝2k－(2k－1)＝1.故直线 AB 和 AC 的斜率之和为定值．

2．设函数 f(x)＝ax 2 －(x＋1)ln x，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的斜率为 0.(1)求 a 的值；(2)求证：当 0 12 x.(1)解 f′(x)＝2ax－ln x－1－ 1x，由题意可得，f′(1)＝2a－2＝0，所以 a＝1.(2)证明 由(1)得 f(x)＝x 2 －(x＋1)ln x ＝x 2 －xln x－ln x，要证 f(x)> 12 x，只需证 x－ln x> ln xx＋ 12，令 g(x)＝x－ln x，h(x)＝ ln xx＋ 12，由 g′(x)＝1－ 1x ＝0，解得 x＝1，当 00，所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以 g(x)min ＝g(1)＝1.由 h′(x)＝ 1－ln xx 2可知，h(x)在(0,2]上单调递增，所以 h(x)max ＝h(2)＝ 1＋ln 22<1＝g(x)min，所以当 0 12 x.

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