2021年高考22题逐题特训压轴题突破练2

练 压轴题突破练 2 1．已知椭圆 C：

x22 ＋y2 ＝1，直线 l：y＝x＋m 交椭圆 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求△AOB 的面积；(2)椭圆 C 上是否存在点 P，使得四边形 OAPB 为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的 m 的值；若不存在，请说明理由． 解(1)设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 由椭圆方程得右焦点 F(1,0)，直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，∴m＝－1，∴直线 l 的方程为 x＝y＋1.联立 x 22 ＋y2 ＝1，x＝y＋1，得 3y 2 ＋2y－1＝0，解得 y 1 ＝ 13，y 2 ＝－1.∴S △ AOB ＝ 12 |OF||y 1 －y 2 | ＝ 12 ×1× 13 －－1 ＝23.(2)设 AB 中点 Q(x 0，y 0)． 联立 x 22 ＋y2 ＝1，y＝x＋m，得 3x 2 ＋4mx＋2m 2 －2＝0，∴Δ＝(4m)2 －12(2m 2 －2)>0，解得－ 30，且 m≠0.综上所述，当 m＝±32时，椭圆 C 上存在点 P，使得四边形 OAPB 为平行四边形． 2．已知函数 f(x)＝x 2 ＋(m－2)x－mln x.(1)讨论 f(x)的极值点的个数；(2)设函数 g(x)＝ 12 x2 ＋mln x，P，Q 为曲线 y＝f(x)－g(x)上任意两个不同的点，设直线 PQ 的斜率为 k，若 k≥m 恒成立，求 m 的取值范围． 解(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋m－2－ mx ＝2x 2 ＋m－2x－mx ＝ 2x＋mx－1x.令 f′(x)＝0，得 x＝－ m2 或 x＝1.①当－ m2 >1，即 m<－2 时，在(0,1)和 － m2，＋∞ 上，f′(x)>0，在 1，－ m2上，f′(x)<0，所以当 x＝1 时，f(x)取得极大值，当 x＝－ m2 时，f(x)取得极小值，故 f(x)有两个极值点； ②当 0<－ m2 <1，即－20，在 － m2，1 上，f′(x)<0，同上可知 f(x)有两个极值点； ③当－ m2 ＝1，即 m＝－2 时，f′(x)＝2x＋mx－1x＝ 2x－12x≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； ④当－ m2 ≤0，即 m≥0 时，在(0,1)上，f′(x)<0，在(1，＋∞)上，f′(x)>0，当 x＝1 时，f(x)取得极小值，无极大值，故 f(x)只有一个极值点． 综上，当 m＝－2 时，f(x)的极值点的个数为 0； 当 m≥0 时，f(x)的极值点的个数为 1； 当 m<－2 或－2x 2，则由 k＝ hx1 －hx 2 x 1 －x 2≥m 恒成立，可得 h(x 1)－mx 1 ≥h(x 2)－mx 2 恒成立． 令 c(x)＝h(x)－mx，则 c(x)在(0，＋∞)上单调递增，或 c(x)为常函数，所以 c′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，即 h′(x)－m≥0 恒成立． 则 x＋m－2－ 2mx－m≥0 恒成立，即 x2 －2x－2mx≥0 恒成立． 又 x∈(0，＋∞)，所以 x 2 －2x－2m≥0 恒成立，则 2m≤(x 2 －2x)min，因为 x 2 －2x＝(x－1)2 －1≥－1，所以 2m≤－1，解得 m≤－ 12，即 m 的取值范围为 －∞，－ 12.

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