2021年高考22题逐题特训压轴题突破练4
练 压轴题突破练 4 1．随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力．相关部门在有 5 万居民的光明社区采用分层抽样的方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如下表：
人均 GDP x(万元/人)3 6 9 12 15 人均垃圾清运量 y(吨/人)0.13 0.23 0.31 0.41 0.52(1)已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出其线性回归方程；(2)随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量 200千瓦时，如图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图，请补全[15,18]的缺失部分，并利用(1)的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网电量． 参考公式：回归方程y^＝b^x＋a^，b^＝i ＝ 1nx i y i －n x yi ＝ 1nx 2 i －n x2＝i ＝ 1n x i － x y i － y i ＝ 1n x i － x 2，a^＝ y －b^x.解(1)由表格数据得，x ＝ 3＋6＋9＋12＋155＝9，y ＝ 0.13＋0.23＋0.31＋0.41＋0.525＝0.32.i ＝ 15(x i － x)2 ＝36＋9＋0＋9＋36＝90，i ＝ 15(x i － x)(y i － y)＝(－6)×(－0.19)＋(－3)×(－0.09)＋0×(－0.01)＋3×0.09＋6×0.20＝6×(0.19＋0.09＋0.20)＝6×0.48＝2.88.所以b^＝i ＝ 15 x i － x y i － y i ＝ 15 x i － x 2＝ 2.8890＝0.032，于是a^＝ y －b^·x ＝0.32－0.032×9＝0.032.故变量 y 与 x 之间的线性回归方程为y^＝0.032x＋0.032.(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为 1，得160 ×(1＋2＋4＋6＋5＋a)×3＝1，解得 a＝2，故最右边小矩形的高度为260 ＝130，如图所示，由频率分布直方图可得，光明社区的人均 GDP 为 x ＝360 ×(1×1.5＋2×4.5＋4×7.5＋6×10.5＋5×13.5＋2×16.5)＝10.2(万元/人)． 由(1)的结论知，光明社区的人均垃圾清运量约为 0.032×(10.2＋1)(吨/人)． 于是光明社区年内垃圾清运总量为 5×0.032×(10.2＋1)＝1.792(万吨)． 所以整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网电量估计为 17 920×200＝3.584×10 6(千瓦时)． 2．(2020·泰安模拟)已知函数 f(x)＝ln x－ax＋1 有两个零点．(1)求 a 的取值范围；(2)设 x 1，x 2 是 f(x)的两个零点，证明：f′(x 1 x 2)<1－a.(1)解 由题意，可得 a＝ 1＋ln xx，转化为函数 g(x)＝ 1＋ln xx与直线 y＝a 在(0，＋∞)上有两个不同交点，g′(x)＝ －ln xx 2(x>0)，故当 x∈(0,1)时，g′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，故 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 g(x)max ＝g(1)＝1.又 g 1e＝0，故当 x∈ 0，1e时，g(x)<0，当 x∈ 1e，＋∞ 时，g(x)>0.可得 a∈(0,1)．(2)证明 f′(x)＝ 1x －a，由(1)知，x 1，x 2 是 ln x－ax＋1＝0 的两个根，故 ln x 1 －ax 1 ＋1＝0，ln x 2 －ax 2 ＋1＝0⇒a＝ ln x1 －ln x 2x 1 －x 2，要证 f′(x 1 x 2)<1－a，只需证 x 1 x 2 >1，即证 ln x 1 ＋ln x 2 >0，即证(ax 1 －1)＋(ax 2 －1)>0，即证 a>2x 1 ＋x 2，即证 ln x1 －ln x 2x 1 －x 2>2x 1 ＋x 2.不妨设 0
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