中考圆压轴题
中考压轴题——圆 一、圆的概念 集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 Þ d r < Þ 点 C 在圆内； 2、点在圆上 Þ d r = Þ 点 B 在圆上； 3、点在圆外 Þ d r > Þ 点 A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 Þ d r > Þ 无交点； 2、直线与圆相切 Þ d r = Þ 有一个交点； 3、直线与圆相交 Þ d r < Þ 有两个交点； drd=rrd 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1）Þ 无交点 Þ d R r > + ； 外切（图 2）Þ 有一个交点 Þ d R r = + ； 相交（图 3）Þ 有两个交点 Þ R r d R r-< < + ； 内切（图 4）Þ 有一个交点 Þ d R r =-； 内含（图 5）Þ 无交点 Þ d R r <-；
图1rRd 图3r Rd 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：
① AB 是直径 ② AB CD ^ ③ CE DE = ④ 弧 BC = 弧 BD ⑤ 弧 AC = 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC = 弧 BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：① AOB DOE ? ? ；② AB DE = ； ③ OC OF = ；④ 弧 BA = 弧 BD
七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵ AOB Ð 和 ACB Ð 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ 2 AOB ACB ? ? 2、圆周角定理的推论：
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙ O 中，∵ C Ð、D Ð 都是所对的圆周角 ∴ C D ? ? 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径 或∵ 90 C ? ? ∴ 90 C ? ? ∴ AB 是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB = = ∴△ ABC 是直角三角形或 90 C ? ? 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ O 中，∵四边形 ABCD 是内接四边形 ∴ 180 C BAD ? ? ? 180 B D ? ? ? DAE C ? ? 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵ MN OA ^ 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切 线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ PA、PB 是的两条切线 ∴ PA PB = PO平分 BPA Ð 【例题精讲】 1．如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD，∠BAD=90°，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切.(1)求证：OB 丄 OC;(2)若 AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O 1 与半⊙O 外切，并与 BC、CD 相切，求⊙O 1 的面积.2.如图，已知直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点，且 AC平分∠PAE，过 C 作 CD PA ^，垂足为 D.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若 DC+DA=6，⊙O 的直径为 10，求 AB 的长度.3.如图，在平面直角坐标系中，以点 C（1，1）为圆心，2 为半径作圆，交 x 轴于 A、B 两点，开口向下的抛物线经过点 A、B，且其顶点 P 在⊙C 上．（1）求∠ACB 的大小；
（2）请直接写出 A，B，P 三点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在点 D，使△ABD 面积等于△ABC 面积的 3 倍？若存在，求出点 D 的坐标；若不存，请说明理由 4.如图，在直角坐标系中，⊙C 经过原点 O，交 x 轴于点 A（2，0），交 y 轴于点 B（0，2 3）．（1）求圆心 C 的坐标；（2）（抛物线 y=ax 2 +bx+c 过 O、A 两点，且顶点在正比例函数 y=－33x 的图象上，求抛物线的解析式；（3）过圆心 C 作平行于 x 轴的直线 DE，交⊙C 于 D、E 两点，试判断 D、E 两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点 P（x 0，y 0），满足∠APB 为钝角，求 x 0 的取值范围．
