大学,高等数学,历年考题

作者：hongjun2003 | 发布时间：2021-01-02 10:14:37 收藏本文下载本文

一。偏导数的几何应用 1.[2012] 求曲面在点处的切平面和法线方程解令，则从而切点的法向量为从而切平面为法线方程为 3、[07]曲线在点的切线方程为.4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。

解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上因此切平面为 5.[2006]已知直线和平面则（B）

A、在内 B、与平行，但不在内 C、与垂直 D、不与垂直，不与平行 6.[2006]曲面在点处的法线方程是 7.[2006]（化工类做）

已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。

证明：直线上任取两点，则是的方向向量；的一个方向向量为，因为，所以设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以所求方程为二。多元函数 1.【2012】设，则 0 2.【2012】设,则 3.【2012】函数在点处沿指向点方向的方向导数 4.【2012】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数解因为与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又，或，或于是函数在点存在有一阶偏导数。

5.【2012】设, 求解令，则，于是用公式得 6.[2012] 在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解设点为，则等价于求在约束之下的最小值。令且由解得驻点，最短距离为（令计算起来更加方便，舍去驻点，）

7.[2011] 8.[2011] 9.【2011】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数.10.【2011】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变？ 11.【2011】求函数的极值.12.[2010] 13.[2010] 14.[2010] 15.[2010] 16.[2009] 17.[2009] 18.[2009] 设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：

19.[2009] 求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点当时，是条件极值，考虑函数，解方程组可得所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。

20.[2009]（化工类做）

求由方程组所确定的及的导数及。

21.[2009]（化工类做）

求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？ 22、[2008] 函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）

23、[2008] 设有连续偏导数，则 24、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令，则从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。证毕 25、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数解：方程组两端对求导，得把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为所求方向导数为 26、[2008] 设，求解：两边取微分，得从而，27、[2008] 设，则它有极小值 28、[2008] 设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。

解：令则，从而再由即约束条件，可得，从而由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。

29、[2007] 设，则 30、[2007] 已知，则 0 31、[2007] 函数在点处沿从点到点方向的方向导数是 32、[2007]设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：

33、[2007]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续解：由定义同理由于从而函数在原点处可微。

当由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。

34、[2007]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求解：对方程两边取微分得即 35、[2007]求在约束条件下的最大值和最小值解：令则由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为 36.[2006] 若在点处可微，则下列结论错误的是（B）

A、在点处连续 B、在点处连续 C、在点处存在 D、曲面在点处有切平面 37.[2006] 二重极限值为（D）

A、0 B、1 C、D、不存在 38.[2006]，则 39.[2006] 函数在点沿方向的方向导数为 40.[2006] 设函数证明：1）在点处偏导数存在 2）在点处不可微证明：1）因为所以在点处偏导数存在 2）因为当取时随之不同极限值也不同，即所以此函数在处不可微。

41.[2006] 设，具有连续二阶偏导数，求解：，42.[2006] 在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为化成截距式方程此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）

要求满足条件的最小值，只需求满足条件的最大值。

由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点得由此得，所以当时，有最小体积，最小体积为。

切点坐标为。

三。二重积分 1.[2012] 设是所围成的区域, 则 2.[2012] 计算二重积分，其中解被积函数有而积分区域关于对称，取从而 3.[2012]设函数在内有连续的导数，且满足。求解用极坐标两边求导得，标准化为于是由得，故 4.[2011] 5.[2011] 交换二次积分的积分次序：。

6.[2009] 求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：

7.[2009]（化工类做）

计算二重积分，其中为圆域。

8、[2008] 交换二次积分的积分次序 9、[2008] 求球面含在圆柱面内部的那部分面积解：上半球面的部分为 10、[2007] 计算二重积分.是由所围成的闭区域解：作图知 11.[2006] 交换积分次序后，12.[2006] 计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。

解：原式四。三重积分 1.[2012] 设为两球的公共部分，计算三重积分解由当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得 2.【2011】对于任何不自交的光滑闭曲面上的单位外法向量, 所围成的区域,证明: 3.[2010] 计算三重积分 4.[2009] 计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则原式 5、[2008] 计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域解：由对称性从而 6、[2007] 计算三重积分，其中.由所确定解：由交线（舍去）

于是投影区域为，柱坐标下为 7.[2006] 计算三重积分，其中是由柱面及平面围成的闭区域。

解：方法一：利用柱面坐标计算,原式方法二、截片法,原式五。曲线积分 1.[2012] 设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分 2.[2012] 计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解由于补两条直线是逆向的闭曲线，故原式或由曲线积分与路径无关，直接得原式得或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式或者由是全微分表达式，凑微分，因及得原式 3.[2011] 4.【2011】计算 5.[2011] 6.[2010] 7.[2010] 计算 8.[2010](化工类做)计算 9.[2009] 10.[2009] 计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向，的参数方程为由格林公式有 11、[2008] 计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关取路径，12、[2007] 设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分 13、[2007]设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分.14.[2006] 曲线为原点到点的直线段，则曲线积分的值等于 15.[2006] 计算，其中为从点沿椭圆到点的一段。

解：原式 16.[2006] 设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算。

解：，由得，所以六。曲面积分 1.[2012] 计算曲面积分，式中是上半球面的上侧.解补一个平面，取下侧，则原式另法（看看: 归一化，多次换元够烦的）

即，上半球面指向上侧法线为，从而 , 原式= 2.[2012] 求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。

解记为在部分的面积，或者 3.【2011】计算 4.【2011】计算曲面积分 5.[2010] 计算 6.[2010] 计算曲面积分 7.[2009] 向量场的散度为。

8.[2009] 计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式 9、[2008] 向量场的散度为.向量场的旋度为.10、[2008] 设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分 0，11、[2008]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧解：取上侧则原式 12、[2007] 计算，其中为半球的上侧解：令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式原式（用对称性可以简化计算）

13、[2007] 计算，其中为抛物面解：，投影区域为由对称性，原式 14.[2006]已知曲面的方程为，则（B）

A、B、C、1 D、分析：

15.[2006]计算，其中为旋转抛物面的上侧。

解：方法一、利用两类曲面积分的联系对应侧的法向量为原式= 方法二、利用高斯公式，补充曲面并取下侧原式七。微分方程 1.[2012] 求定解问题的解解标准化，由标准方程的解的公式，得由初值条件，有，于是特解为 2.[2012] 求微分方程的通解解对应的齐次方程为，解得特征根非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，代入原来的微分方程，得即于是根据解的结构定理得，所求通解为 3.[2012] 设函数在内有连续的导数，且满足。求解用极坐标两边求导得，标准化为于是由得，故 4.【2011】求微分方程的通解.5.[2011] 6.【2011】(化工类做)求微分方程的通解.7.[2010] 8.[2010] 9.[2010] 10.[2010](化工类做)求微分方程 11.[2010](化工类做)12.[2009] 求如下初值问题的解解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为变量分离两边积分得由可得解可得，由可得所求解为：。

13.[2009] 求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解为因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得原方程通解为 14、[2008] 求微分方程的通解解：，15、[2008] 计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得即，这是标准的一阶线性微分方程原方程令得，代入通解得，从而 16、[2008]（化工类做）求解初值问题解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为从而，由初值条件可得。

因此 17、[2007] 求微分方程的通解.解：原式可以化为一阶线性微分方程由公式 18、[2007] 设具有二阶连续导数，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。

解：由全微分方程的条件知有特解有形式，代入原方程得从而通解由初值条件因此原方程即为即 19.[2006] 用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解的形式（B）

A、B、C、D、20.[2006] 设是微分方程的一个解，求此微分方程的通解。

解：因为，原方程为这是一个一阶线性微分方程，其通解为八。级数 1.[2012] 判别无穷级数的收敛性。

解由于，故而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2.[2012] 求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解比较标准幂级数，得，从而收敛半径为，收敛区间为当时幂级数化为正项级数，由于，从而与调和级数一样发散；

当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3.[2012] 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解利用，从而 4.【2011】(非化工类做)5.【2011】(非化工类做)6.【2011】(非化工类做)7.[2010](非化工类做)8.[2010](非化工类做)9.[2010](非化工类做)10.[2009]（非化工类做）

证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；

如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。