四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题

广汉中学高2018级第一次诊断性测试 一、选择题：

1．复数的值为 A.B.C.D.2．命题“，”的否定是 A.，B.，C.，D.，3．已知集合，则 A.B.C.D.4．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是 A.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数 B.乙成绩的极差为40 C.甲乙两人成绩的众数相等 D.甲成绩的中位数为32 5．符号表示大于或等于的最小整数，在下图中输入的依次为和，则输出的是 A.B.C.D.6．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，线段交于点，设，用，表示OD为 A.B.C.D.7．若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为 A.B.C.D.8．函数部分图象大致形状为 A B C D 9．已知, 则 A.B.C.D.10．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半。”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；

小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（结果精确到0.1，参考数据：,）

A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.8 11．已知定义在上的奇函数满足，若且时，都有，则下列结论正确的是 A.图象关于直线对称 B.图象关于点中心对称 C.在上为减函数 D.在上为增函数 12．已知实数，，(e为自然对数的底数)则，的大小关系为 A.B.C.D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为 ． 14．已知向量，向量与向量的夹角为，则 ． 15．已知中，内角的对边分别为，且，则 ． 16．已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：

（一）必考题：共60分.17．（12分）

已知函数.（1）求函数的最小正周期 ；

（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调增区间.18．（12分）

已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；

（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围.19．（12分）

第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.（1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率；

②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.20．（12分）

已知递增数列满足，且是方程的两根，数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.21．（12分）

已知函数为常数，.（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）判断方程是否存在实数解；

如果存在，求出解的个数；

如果不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线相交于点，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的直角坐标方程． 23．（10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数.（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.宜宾市高2018级高三第一次诊断测试 理科数学参考答案 一． 选择题 1-5:BCADC 6-10: ADCBC 11-12: BA 二． 填空题 13: 4 14: 0 15: 16: 三． 解答题 17【解析】（1），所以 函数f(x)的最小正周期.........5分（2）

将函数f(x)图象上所有点的横坐标都缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到再向左移动个单位得，.函数的单调增区间是................12分 18【解析】（1），在处取得极值.，所以.经验证时,在处取得极值...........5分（2）由（1）知，所以极值点为1,-1.将在内的取值列表如下：

0（0，1）

1（1，2）

2 /-0 + / 极小值 由此可得，在内有零点，只需，所以........12分 19【解析】（1）由已知，住校生人数为42人，住校生中男生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生、女生就分别抽取4人，3人....3分（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”,设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；

事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，=，=，故, 所以，事件A发生的概率为．......................7分 ②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3, ．随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 随机变量X的数学期望..................12分 20【解析】（1）因为方程两根为或7，又、是方程的两根，数列是递增的等差数列，，设公差为，则，解得，...............................3分 对于数列，当时，解得；

当时，整理得，即，所以数列是等比数列，.........7分（2），数列的前项和............两式相减可得......，......................12分 21【解析】（1）法一：因为所以，......1分 设，则，...........2分 当时，递减，当时，递增，......4分，..............5分 法二：当时，不合题意，当时，令则 单调递增，单调递减，；

（2）由（1）可知，当时，即，当且仅当时等号成立，由题意可知即判断方程是否存在实数解，....................7分 设，（当且仅当时等号成立），又，当且仅当时等号成立，所以对任意，恒成立.所以函数无零点，即方程不存在实数解........12分 22 【解析】(1)曲线C的参数方程为（m为参数），两式平方相减得曲线C的普通方程为：．直线l的极坐标方程为，则 转换为直角坐标方程为．.................5分（2）由得，所以点P的直角坐标为设圆心为，则，解得：所以，圆的直角坐标方程为：.....10分 23【解析】（1）①当时，不等式即为，解得 ②当时，不等式即为，③当时，不等式即为，综上,不等式的解集为.........................5分（2）由绝对值不等式的性质可得：

当时，取最小值4，即，即 当且仅当时等号成立.....................10分

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