选修2-1学霸必刷题,圆锥曲线与方程（选择题、填空题）

1 圆锥曲线与方程（选择题、填空题）一、单选题 1．（安徽省阜阳市太和中学 2019-2020 学年高二下学期开学考试数学（理））椭圆2 21 x my   的焦点在 y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A．14 B．13 C．12 D．4 【答案】A 【解析】由题意2211yxm ，所以21am，21 b ，所以12 2 1 2 4m    ，∴14m  ． 故选 A． 2．（江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）抛物线214y x  的焦点坐标是（）A．1,016    B．   1,0 C．1-,016    D．   0,1 【答案】D 【解析】214y x  即24 x y ，所以其焦点在 y 轴正半轴，坐标为   0,1，故选 D ． 3．（云南省昆明市第一中学 2021 届高三高中新课标第一次摸底测试数学（理））抛物线22(0)y px p  的焦点到双曲线2 21 x y   的渐近线的距离为22，则 p （）A． 4 B． 3 C． 2 D．1 【答案】C 【解析】因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为 0 x y  ，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2 22 221 1pd  ，又因为 0 p ，所以 2 p ，故选 C ． 4．（四川省仁寿第二中学 2020-2021 学年高三 9 月月考数学（理））若双曲线2 2: 13x yCm  的离心率为 3，则 C 的虚轴长为（）A．4 B． 2 3 C． 2 6 D．2

2 【答案】C 【解析】因为双曲线2 2: 13x yCm  的离心率为 3，故333m ，解得 6 m ，所以虚轴长为 2 6 ．故选 C． 5．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学 2019-2020 学年高二上学期 10 月月考）椭圆2 219 4x y  的离心率是（）A．133 B．53 C．23 D．59 【答案】B 【解析】因为椭圆2 219 4x y  中 3 a ，2 b ，所以2 25 c a b   ，得53cea ，故选 B． 6．（安徽省阜阳市太和中学 2019-2020 学年高二下学期开学考试数学（文））椭圆2 21 x my   的焦点在 y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A．14 B．8 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由题意2211yxm ，2 21, 1 a bm   且12 1m ，∴14m  ．故选 A． 7．（江苏省泰州中学 2020-2021 学年高二上学期期初检测）已知椭圆2 2125 16x y  上的点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，则 P 到另一焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】根据椭圆定义可知，P 到两个焦点的距离之和为 2 2 5 10 a = ?，所以 P 到另一个焦点的距离为10 7 3   ．故选 B． 8．（湖北省武汉为明学校 2019-2020 学年高二上学期 12 月月考）空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点坐标为 A（3，1，0），B（－1，3，0），若点 C 满足 OC ＝  OA ＋  OB，其中 ， ∈R， ＋

3  ＝1，则点 C 的轨迹为 A．平面 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】B 【解析】设点 C 的坐标为(, ,)x y z，由题意可得(, ,)(3 , 3 ,0)x y z       ，再由  ＋  ＝1 可得，2 5 0 x y   ，故点 C 的轨迹方程为 2 5 0 x y   ，故选 B． 9．（四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试数学（文））已知点   2,0 A 、  3,0 B，动点   , P x y满足2PA PB x  ，则点 P 的轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】∵动点   , P x y 满足2PA PB x  ，∴    22 3 x, y x, y x       ，∴    2 22 3 x x y x      ，解得26 y x  ，∴点 P 的轨迹是抛物线．故选 D． 10．（陕西省西安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期模拟调研考试数学（理））已知 F 为抛物线2: 8 C y x  的焦点，M 为 C 上一点，且 4 MF ，则 M 到 x 轴的距离为（）A．4 B． 4 2 C．8 D．16 【答案】A 【解析】因为 F 为抛物线2: 8 C y x  的焦点，所以   2,0 F，设  1 1, M x y，由抛物线的性质得：14 2 2 x   ，∴21 18 2 16 4 y y     ，故 M 到 x 的距离为 4．故选 A． 11．（江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）双曲线的方程为2 213 2x y ，则以双曲线右准线为准线的抛物线的标准方程是（）A．212 55y x  B．212 55y x   C．212 55x y  D．212 55x y   【答案】B 【解析】由双曲线2 213 2x y ，得23 a ，22 b ，则2 25 c a b   ， 双曲线的右准线方程为

4 23 3 55 5axc  ，可知抛物线的准线方程为3 55x ，则焦点坐标为3 5,05F    ，设抛物线方程为22(0)y px p  ，则3 52 5p，12 525p ，则抛物线的标准方程是212 55y x  ，故选 B． 12．（吉林省通化市梅河口五中 2020 届高三高考数学（文科）六模）已知第四象限内抛物线216 y x  上的一点 M 到 y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15，则点 M 的坐标为（）A．   1, 8  B．   1, 4  C．   1, 8 2  D．   2, 4 2  【答案】B 【解析】设(,)M x y，则根据题意及抛物线的定义可得:1(4)5x x  ，解得 1 x ，代入抛物线方程得：

4 y  ，又点 M 在第四象限，所以 4 y  ，故(1, 4)M  ．故选 B． 13．（吉林省长春市长春八中 2020 届高三毕业班第一次诊断性检测数学（理））已知抛物线24 y x  的焦点为 F，, M N 是抛物线上两个不同的点若 5 MF NF  ，则线段 MN 的中点到 y 轴的距离为()A． 3 B．32 C． 5 D．52 【答案】B 【解析】由抛物线方程24 y x ，得其准线方程为 1 x  ，设1 1(,)M x y，2 2(,)N x y，由抛物线的性质得，1 21 1=5 MF NF x x     ，MN  中点的横坐标为32，线段 MN 的中点到 y 轴的距离为32．故选 B． 14．（四川省成都七中 2020-2021 学年高三入学考试数学文科试题）抛物线2: 4 W y x  的焦点为 F，点 A在抛物线上，且点 A 到直线 3 x   的距离是线段 AF 长度的 2 倍，则线段 AF 的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意，得 F（1，0），抛物线的准线为 x＝－1，线段 AF 的长等于点 A 到准线 x＝－1 的距离，因为点 A 到直线 3 x   的距离是线段 AF 长度的 2 倍，所以，点 A 到直线 3 x   的距离是点 A 到准线 x＝－1 的距离的 2 倍，设 A 点横坐标为0x，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1，所以，｜AF｜＝1－（－

5 1）＝2，故选 B.15．（云南省昆明市第一中学 2021 届高三高中新课标第一次摸底测试数学（文））抛物线24 y x  的焦点到双曲线2 21 x y   的渐近线的距离为（）A．12 B．22 C．32 D．2 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为 0 x y  ，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2 21 0221 1d ，故选 B． 16．（河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）双曲线2 2110 2x y  的焦距为（）A． 3 2 B． 4 2 C． 3 3 D． 4 3 【答案】D 【解析】由双曲线2 2110 2x y  方程得2 210, 2, a b   2 2 210 2 12, 2 3, 2 4 3 c a b c c          即焦距为 4 3，故选 D． 17．（江西九江市第一中学 2019-2020 学年度高二下学期期末考试数学（文））已知双曲线2 22 2: 1(0, 0)x yE a ba b   ，过 E 的右焦点 F 作其渐近线的垂线，垂足为 P，若 OPF △ 的面积为34ac，则 E 的离心率为（）A． 3 B．2 33 C．2 D．2 【答案】C 【分析】先求出焦点 F 到渐进线的距离为 b，由勾股定理求出 RT OFP 的边长 OP a ，再由面积得到, a c的关系，从而求出离心率． 【解析】双曲线2 22 2: 1(0, 0)x yE a ba b    的渐近线方程为by xa ，6 过 E 的右焦点 F 作其渐近线的垂线，垂足为 P，则2 2bcPF ba b ，所以在 RT OFP 中，, ,2OPF FP b OF c   ，所以 OP a ，则1 32 4OPFacS ab  ，即 23 b c ，所以2 24 3 b c ，即  2 2 24 3 c a c  ，所以2 24a c ，故 2cea ，故选 C 18．（安徽省皖南八校 2020-2021 学年高三上学期摸底联考理科）已知双曲线 2 22 21 0, 0y xa ba b    的两条渐近线互相垂直，且焦距为 2 6，则抛物线22 y bx  的准线方程为（）A． 3x  B．32x   C． 3 y  D．32y   【答案】B 【分析】根据双曲线 2 22 21 0, 0y xa ba b    的两条渐近线互相垂直，得到 a b ，然后利用焦距为 2 6，求得 b，进而得到抛物线的方程求解． 【解析】因为双曲线 2 22 21 0, 0y xa ba b    的两条渐近线互相垂直，所以 a b ，又焦距为 2 6，所以22 22 662a b      ，解得3 a b  ，所以 22 3 y x ，所以抛物线的准线方程是32x  ，故选 B． 19．（云南师范大学附属中学 2021 届高三高考适应性月考卷（一）数学（理））双曲线: C2 22 21(0, 0)x ya ba b   的右焦点为   3,0 F，且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1，则双曲线 C 的离心率为（）

7 A．2 B．3 24 C．2 33 D． 2 3 【答案】B 【分析】先由题意，得到 3 c ，渐近线方程为 0 bx ay  ，根据点到直线距离公式，求出 1 b ，得出 a，即可求出离心率． 【解析】因为双曲线的右焦点为   3,0 F，即 3 c ，双曲线2 22 21x ya b  的渐近线方程为0 bx ay   ；又点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1，所以2 231bb a，即31bc，所以 1 b ，则2 22 2 a c b   ，因此3 24cea ．故选 B． 20．（江西省南昌市 2021 届高三摸底测试数学（理））若双曲线221yxm  的离心率  1,3 e，则 m 的取值范围为（）A．   0,4 B．   0,8 C．   1,9 D．   8, 【答案】B 【分析】利用双曲线的离心率可以建立不等式 11 3 m   ，然后直接求解即可 【解析】由已知得，0 m ，双曲线221yxm  的离心率  1,3 e，又由1 e m  ，则 11 3 m   ，化简得 0 8 m  ，故 m 的取值范围为   0,8，故选 B.21 ．（河南 省 2020-2021 学 年 上学 期 高 中毕 业 班 阶段 性 测 试（一）理科）已 知双 曲 线 C ： 2 22 21 0, 0x ya ba b    的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为 2，且经过点 3, 2，点 P 在 C 上，1 260 FPF   ，则点 P 到 x 轴的距离为（）A．32 B．62 C．3 D． 6 【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，ab ，将点   3, 2 代入双曲线方程得

8 1 a b  ，根据对称性，不妨设 P 点在第一象限，P 到 x 轴的距离为 h，1 22 2 FF ，1 22 PF PF  ，由余弦定理得2 2 21 2 1 2 1 20 2 cos6 FF PF PF PF PF      21 2 1 2PF PF PF PF    ，所以1 24 PF PF  ，由三角形面积公式得1 21sin602PF PF   1 212FF h ，得62h ．故选 B． 22．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考）椭圆的焦距为 8，且椭圆的长轴长为 10，则该椭圆的标准方程是（）A．2 2125 9x y  B．2 2125 9x y  或2 2125 9y x  C．2 21100 36x y  D．2 21100 36x y  或2 21100 36y x  【答案】B 【解析】根据题意，椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则 2 8 c ，2 10 a ，即 4 c ，5 a ，则2 23 b a c   ，若椭圆的焦点在 x 轴上，则其标准方程为2 2125 9x y ，若椭圆的焦点在 y 轴上，则其标准方程为2 2125 9y x ，故要求椭圆的标准方程为2 2125 9x y  或2 2125 9y x ，故选 B． 23．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考）若 0 mn ，则方程0 mx y n    与2 2nx my mn   所表示的曲线可能是图中的（）A． B．

9 C． D． 【答案】C 【分析】 0 mx y n    即为直线 ymx n  ，2 2nx my mn   即为曲线2 21x ym n ，0 mn ，再逐项判断即可． 【解析】 0 mx y n    即为直线 ymx n  ，2 2nx my mn   即为曲线2 21x ym n ，0 mn  ．对于 A选项，由直线方程可知，0 m ，0 n ，则曲线2 21x ym n ，0 mn  表示圆或椭圆，A 选项错误；对于 B选项，由直线方程可知，0 m，0 n ，则曲线2 21x ym n ，0 mn  不存在，B 选项错误；对于 C 选项，由直线方程可知，0 m ，0 n ，则曲线2 21x ym n ，0 mn  表示焦点在 x 轴上的双曲线，C 选项正确；对于 D 选项，由直线方程可知，0 m，0 n ，则曲线2 21x ym n ，0 mn  表示焦点在 y 轴上的双曲线，D 选项错误．故选 C． 24．（重庆市第八中学 2020 届高三下学期第五次月考数学（文））椭圆2214xy   的焦点为1F，2F 点 P为椭圆上的动点若1 2FPF  为钝角，点 P 的横坐标的取值范围为（）A．6 6,3 3     B．2 6 2 6,3 3     C．2 2,3 3    D．1 1,3 3    【答案】B 【分析】根据椭圆方程，得到  13,0 F ， 23,0 F，设  0 0, P x y，根据1 2FPF  为钝角，推出120 PF PF  ，再由集合椭圆的方程，即可求出结果． 【解析】因为1F，2F 为椭圆2214xy   的两焦点，则  13,0 F ， 23,0 F，设  0 0, P x y，则 10 03 , PF x y    ， 2 0 03 , PF x y   ，因为1 2FPF  为钝角，所以  2 2 212 0 0 0 0 03 3 3 0 PF PF x x y x y          ，10 又220014xy  ，∴2 220 01 2033 1 2 04 4x xPF PF x        ，∴02 6 2 63 3x   ．故选 B． 25．（安徽省宣城市 2019-2020 学年高二下学期期末数学（文））已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于2 55，则该椭圆的标准方程为（）A．2 2120 4x y  B．2 2120 4y x  C．2215yx   D．2215xy   【答案】C 【解析】设椭圆 C 标准方程为 2 22 21 0y xa ba b    ． 短轴长为 2，2 2 b  ，解得：

1 b  ． 离心率2 55cea ，又2 2 2 21 a b c c    ，25 a  ， 椭圆 C 的标准方程为2215yx   ．故选 C ． 26．（2020 届重庆市第一中学高三下学期 6 月模拟数学（文））已知 P 为椭圆2 22 2: 1(0)x yC a ba b    上一点，O 为坐标原点，1F，2F 为椭圆 C 的左右焦点，若2| | OP OF ，且2 1tan 2 PF F  ，1 2PFF △ 的面积为 4，则该椭圆的标准方程为（）A．2 219 4x y  B．2 219 5x y  C．2 218 3x y  D．2 218 4x y  【答案】A 【分析】由已知条件可得1 2PFF △ 为直角三角形，若设1 2, PF m PF n  ，则结合椭圆的定义和直角三角形的性质，已知条件得，8 mn ，22 2 21 24 m n FF c   ，2 m n a  ，2 m n ，从而可求出 , a b 的值，进而可求出椭圆的方程 【解析】设1 2, PF m PF n  ，因为2| | OP OF ，所以2 1| | OP OF OF  ，所以1 2PFF △ 为直角三角

11 形，即1 290 FPF   ，因为2 1tan 2 PF F  ，所以 2 m n ，因为1 2PFF △ 的面积为 4，所以142mn ，即 8 mn ，因为1 290 FPF   ，所以22 2 21 24 m n FF c   ，由椭圆的定义可得 2 m n a  ，所以2 2 22 4 m n mn a   ，所以解得24 b ，4, 2 m n  ，所以 3 a ，所以所求椭圆方程为2 219 4x y ，故选 A.27．（江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）设椭圆 2 22 21 0x ya ba b    的左､右焦点分别为1F，2F，上顶点为 B，若2 1 22 BF FF   则该椭圆的方程为（）A．2 214 3x y  B．2213xy   C．2212xy   D．2214xy   【答案】A 【解析】因为2 1 22 BF FF  ，所以 2, 1 a c  ，由2 2 2a b c   可得23 b ，所以椭圆方程是：2 214 3x y  ．故选 A 【点睛】本题考查了椭圆定义及椭圆的简单性质，属于简单题，解题中需要注意椭圆性质2 2 2a b c   的准确应用． 28．（江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）已知椭圆 G ：2 22 21x ya b (0 a b  )的右焦点为  3,0 F，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为   1, 1 ，则 G 的方程为（）A．2 2145 36x y  B．2 2136 27x y  C．2 2127 18x y  D．2 2118 9x y  【答案】D 【解析】设  1 1, A x y， 2 2, B x y，则2 21 12 22 22 22 211x ya bx ya b  ，两式相减并化简得21 2 1 221 2 1 2y y y y ba x x x x    ，12 又过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，AB 的中点坐标为   1, 1 ，所以1 21 222x xy y    ， 1 21 20 13 1ABy ykx x    ，即 2 22 22 20 1 1 1 121 3 1 2 2b ba ba a          ，由于2 2 2a b c   且 3 c ，由此可解得218 a ，29 b ，故椭圆 E 的方程为2 2118 9x y  ．故选 D． 29．（河南省 2020 届高三（6 月份）高考数学（文科）质检）已知椭圆2 22 2: 1(0)x yC a ba b    的左、右焦点分别为1F，2F，B 为椭圆的上顶点，若1 2BFF △ 的外接圆的半径为23b，则椭圆 C 的离心率为（）A．22 B．32 C．12 D．23 【答案】C 【分析】设 O 为坐标原点，1 2BFF △ 的外接圆的圆心必在线段 OB 上，则有2 222 23 3c b b b           ，求出2 23 b c ，进而得 2 a c ，故可得椭圆的离心率． 【解析】设 O 为坐标原点，1 2BFF △ 的外接圆的圆心必在线段 OB 上，且有2 222 23 3c b b b           ，得2 23 b c ，即2 2 23 a c c  ，所以2 24 a c ，所以 2 a c ，即椭圆 C 的离心率为12cea  ．故选 C 30．（河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）椭圆2 21 x my   的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】2 21 x my  22 2 21 1 1 11 , 1 , 1 214yx a b a b mm m mm            

13 31．（河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）焦点在 x 轴上的椭圆2 22125x ya  焦距为 8，两个焦点为1 2, F F，弦 AB 过点1F，则2ABF 的周长为（）A．20 B．28 C． 2 41 D． 4 41 【答案】D 【解析】因为焦点在 x 轴上的椭圆2 22125x ya  焦距为 8，所以2 225 4 a  ，解得 41 a  ； 如 图，根 据 椭 圆 的 定 义 可 得1 22 AF AF a  ，1 22 BF BF a  ，所 以22 2 1 1 2 24 4 41ABFC AB AF BF AF BF AF BF a         ，故选 D.32．（福建省泰宁第一中学 2019-2020 学年高二上学期第一阶段考试）“ 4 m  ”是“椭圆2 215x ym  焦距为2 ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 4 m  时，2 25, 4,2 2 5 4 2 a b c     ，即 4 m  时，椭圆2 215x ym  焦距为 2，当 6 m 时，2 26, 5,2 6 5 2 a b c     ，即“ 4 m ”是“椭圆2 215x ym  焦距为 2 ”的充分不必要条件，故选 A． 33．（黑龙江省大庆实验中学 2020 届高三综合训练（五）数学（文））已知抛物线2: 4 C y x  的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线 C 交于 M，N 两点，若4 PF MF ，则 MN （）A．32 B．92 C．3 D．9

14 【答案】B 【分析】由4 PF MF ，可得3 PM MF ，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线 MN 的斜率，进而得到 MN 的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解． 【解析】由题意，抛物线2: 4 C y x  的焦点为(1,0)F，因为4 PF MF ，可得3 PM MF ，如 图 所 示，过 点 M 作 MQ  直 线 l 于 点 Q，则 MF MQ ，所 以 在 直 角 PQM 中，1c o s3M Q M FP Q MP M P M   ，所以 tan2 2 PQM  ，所以直线 MN 的方程为 2 2(1)y x  ，联立22 2(1)4y xy x   ，整理得22 5 2 0 x x   ，解得 2 x  或12x ，由抛物线的定义可知1 92 22 2MN     ．故选 B． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力． 34．（广东省广州市执信、广雅、六中三校 2021 届高三上学期 8 月联考）已知抛物线22 y px （0 p ）的准线与圆2 24 0 x y y    相交所得的弦长为 2 3，则 p 的值为（）A．12 B．1 C．2 D．4 【答案】C

15 【解析】抛物线22 y px （0 p ）的准线方程为2px  ，圆2 24 0 x y y    的标准方程为  222 4 x y   ，圆心坐标为   0,2，半径为 2，圆心到准线的距离为2p，所以有 2223 22p ，解得2 p  ．故选 C． 35．（四川省内江市第六中学 2020 届高三强化训练（一）数学（文））已知双曲线 C： 2 22 21 0, 0x ya ba b   的一条渐近线方程是 2 y x ，过其左焦点   3,0 F  作斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，则截得的弦长 AB （）A． 2 5 B． 4 5 C．10 D． 10 2 【答案】C 【分析】根据渐进线方程得出 2ba，再根据焦点得出3 c ，结合2 2 2c a b  ，可求出双曲线的标准方程，然后根据点斜式得出直线方程，联立方程组求出1 24 3   x x，1 27  x x，最后由弦长公式 221 2 1 21 4 AB k x x x x     即可求出截得的弦长 AB ． 【解析】∵双曲线 C ： 2 22 21 0, 0x ya ba b    的一条渐近线方程是 2 y x ，∴ 2ba，即2 b a ，∵左焦点   3,0 F ，∴3 c  ∴2 2 2 23 3     c a b a，∴21 a ，22 b ，∴双曲线方程为2212yx  ，直线 l 的方程为  2 3   y x，设  1 1, A x y， 2 2, B x y 由 222 312y xyx   ，消 y 可得24 3 7 0    x x，∴1 24 3   x x，1 27  x x，∴ 221 2 1 21 4 1 4 48 28 5 20 10             AB k x x x x．故选 C 36．（云南省曲靖市宣威市 2019-2020 学年高二下学期期末数学（文））已知双曲线 2 221 04x ybb   的16 焦点与椭圆2 2125 16x y  的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A． 4 2 B．5 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两个曲线的焦点重合即可求得 b 的值，从而求得双曲线的渐近线方程，然后利用焦点到渐近线的距离公式求得结果． 【解析】∵24 25 16 b   ，∴25 b ，5 b ，因此该双曲线的一条渐近线的方程为52y x ，即5 2 0 x y   ．又焦点为  3,0 或   3,0 ，可得双曲线的焦点到其渐近线的距离等于3 525514d  ．故选 D． 37．（湘豫名校 2020 届高三下学期数学（理）联考）已知  1,0 F c 、 2,0 F c 是双曲线2 22 2: 1x yCa b  的左、右焦点，1F 关于双曲线的一条渐近线的对称点为 P，且点 P 在抛物线24 y cx  上，则双曲线的离心率为（）A．2 1  B．2 C．5 D．5 12 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式得出点1F 到 0bx ya  的距离，从而得出12 PF b ，22 PF a ，1 2cosaFF Pc ，结合抛物线的定义得出1 2 2 2 1 2cos FF PF PF FF P   ，化简得2 2c ac a  ，利用离心率公式得出21 0 e e   ，求解即可得出答案． 【解析】由题意可得过一三象限的渐近线方程为by xa，则点1F 到 0 bx ay   的距离为2 2bcba b，所以在1 2FPF △ 中，12 PF b ，22 PF a ，1 22 FF c ，∴1 2cosaFF Pc 

17 由抛物线的定义可知，点 P 到准线 x c  的距离等于点 P 到2F 的距离，∴1 2 2 2 1 2cos FF PF PF FF P   ，∴1 22 2 2 cos c a a FF P   ，即2 2c ac a  ，∴21 0 e e   ，∴5 12e(负值舍去)．故选 D.38．（湘豫名校 2020 届高三联考（6 月）数学（文））已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C：2 22 21x ya b （0 b a  ）上有一点   5, P m（0 m ），点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为34，则双曲线的标准方程是（）A．2214yx   B．2 212 3x y  C．2 211 92 2x y  D．2 213 72 2x y  【答案】C 【解析】据题意，双曲线的半焦距5 c ，可设一条平行线方程为 5by m xa   ，由 5by xaby m xa   ，解得52Aam bxb  ，则22512b ma bOAa b ，又点 P 到直线by xa 的距离2 25b amda b   ，∴2 2 2222 25 55 312 2 4b ma b m ab ma ba b aba b    ，18 又22 2 2 2 22 251 5mb a m a ba b    ，∴32ab ，又5 c ，解得22a ，3 22b ，所以双曲线的标准方程是2 211 92 2x y ，故选 C． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 39．（江苏省南通如皋、盐城射阳 2020-2021 学年高三上学期期初联考）设1 2, F F 分别为双曲线2 22 2: 1(0, 0)x yC a ba b    的左､右焦点，过1F 的直线 l 与2 2 2: O x y a   相切，l 与 C 的渐近线在第一象限内的交点是 P，若2PF x  轴，则双曲线的离心率等于（）A．3 B．2 C． 2 2 D．4 【答案】A 【解析】由于直线 l 与双曲线2 22 2: 1x yCa b  的渐近线的交点在第一象限，故其渐近线方程为by xa，由2PF x  轴，2(,0)F c，设  0, P c y，则0b bcy ca a  ，即 ,bcP ca   ，设直线的倾斜角为 ，0,2   ，根据直线 l 与圆 O 相切，设切点为 M，由原点 O 到 l 的距离为半径 a，且1|OF c  ∣，19 在直角1OMF △ 中，2 21MF c a b   ，则1| |tanOM aMF b  ，又在直角1 2PFF △ 中，21 2tan2 2bcPF baFF c a   ，则2 22 b a ，由双曲线性质可得：2 2 2c a b  ，可得：2 23 c a ，故双曲线的离心率为 3  cea，故选 A． 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出, a c，代入公式cea ；方法二：只需要根据一个条件得到关于 , , a b c 的齐次式，转化为, a c 的齐次式，然后转化为关于 e 的方程，即可得 e 的值(范围)． 40．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考）已知 F 是椭圆22xC y 12  ：的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点   Q 4,3，则 PQ PF  的最大值为()A． 5 2 B． 3 2 C．34 D． 4 2 【答案】A 【分析】由题意，设椭圆 C 的右焦点为   F" 1,0，由已知条件推导出 PQ PF PQ 2 2 PF"    ，利用Q，F"，P 共线，可得 PQPF  取最大值． 【解析】由题意，点 F 为椭圆22xC y 12  ：的左焦点，  F 1,0  ，点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为   4,3，设椭圆 C 的右焦点为   F" 1,0，PQ PF PQ 2 2 PF" 2       2 PQ PF"  ，PQ PF" QF" 3 2   ，PQ PF 5 2   ，即最大值为 52，此时 Q，F"，P 共线，故选 A． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准

20 方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力． 41．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学 2019-2020 学年高二上学期 10 月月考）已知椭圆2 21100 36x y  上的一点 P 到左焦点1F 的距离为 6，点 M 是线段1PF 的中点，O 为坐标原点，则 | | OM  A． 3 B． 4 C． 7 D． 14 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义求出2| | PF 的长度，再利用中位线定理求出|OM|的长度． 【解析】由椭圆的定义得1 2 1 22 20, 6, 14.PF PF a PF PF       因为1 2 1, OF OF MF PM  ，所以217.2OM PF   故答案为 C.【点睛】(1)本题主要考查椭圆的定义和中位线的性质定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力．(2)在圆锥曲线里，看到焦半径就要联想到椭圆的定义解题，这是一个一般的规律． 42．（安徽省宣城市 2019-2020 学年高二下学期期末数学（文））已知点1F，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C的公共焦点，1e，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点 P 为1C 和2C 的一个公共点，且1 223FPF ，若22 e ，则1e 的值是（）A．55 B．54 C．2 57 D．2 55 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2 2 21 24 3 c a a  ，由此得到关于离心率的方程求得结果． 【解析】设椭圆长半轴长为1a，双曲线实半轴长为2a，焦点坐标为  1,0 F c ， 2,0 F c，不妨设 P 为第一象限内的点，则1 2 12   PF PF a，1 2 22   PF PF a，则2 21 2 1 2PF PF a a  ，由余弦定理得：2 2 2 221 2 1 2 1 2 1 224 2 cos3c PF PF PF PF PF PF PF PF     ， 2 2 2 2 2 21 1 2 1 24 4 3 c a a a a a      ，2 21 23 14e e  ，又22 e ，2145e  ，21 12 55e  ．故选 D ． 【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程． 43．（云南省红河州 2020 届高三高考数学（理科）一模试题）已知1F、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且1 23FPF ，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则1 212e e的最大值为（）A．32 B．33 C．2 33 D．1 【答案】B 【解析】设椭圆的方程为2 21 12 21 11(0)x ya ba b   ，双曲线方程为2 22 22 21x ya b 2 2(0, 0)a b  ，点 P 在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得：1 2 12   PF PF a，1 2 22   PF PF a，解得1 1 2  PF a a，2 1 2  PF a a，在1 2FPF △ 中，由余弦定理得：2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 cos FF PF PF PF PF FPF    ，即：

      2 221 2 1 2 1 2 1 24        c a a a a a a a a，整理得：2 2 21 23 4 a a c  ，所以22 213 14e e ，2 21 2 1 21 3 2 3 e e ee，即1 22 34ee，当且仅当1 21 3e e 时，等号成立． 故1 21 32 3 ee，所以1 212e e的最大值为33.故选 B.44．（四川省江油中学 2019-2020 学年高二下学期开学考试数学（理））设命题2: , 2 0 p x R x x      ；命题: q若 1 m >，则方程2 212 1x ym m 表示焦点在 x 轴上的椭圆，那么，下列命题为真命题的是（）A．   p q   B．     p q    C． pq  D．   p q   【答案】B 【解析】 1 8 0,      不存在 x 使22 0, x x p     为假，p 为真，又 1 m  时，2 1 0, m m    方程2 212 1x ym m 表示焦点在 x 轴上的椭圆，q 为真，q 为假，    p q     为真，故选 B．

22 45．（黑龙江省大庆实验中学 2020 届高三综合训练（五）数学（文））倾斜角为4的直线经过椭圆2 22 21(0)x ya ba b    右焦点 F，与椭圆交于 A、B 两点，且2 AF FB ，则该椭圆的离心率为（）A．32 B．23 C．22 D．33 【答案】B 【解析】设 B 到右准线距离为 d，则 BF ed ，因为2 AF FB ，则 2 AF ed ，所以 A 到右准线距离为 2d，从而 3 AB ed  倾斜角为4，2cos4 3 3deed   ，选 B． 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 , , a b c 的方程或不等式，再根据 , , a b c 的关系消掉 b 得到, a c 的关系式，而建立关于, , a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 46．（河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）已知椭圆2 22 21(0)x ya ba b    的左、右焦点分别为1 2, F F，点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1 21| | | |2OP FF ，且21 2| || | PF PF a ，则该椭圆的离心率为（）A．34 B．32 C．12 D．22 【答案】D 【分析】由 O 是1 2FF 中点，而1 21| | | |2OP FF ，∴1 2PF PF ，这样结合椭圆的定义及已知条件可得到, a c的关系，得出离心率． 【解析】∵ O 是1 2FF 中点，而1 21| | | |2OP FF ，∴1 2PF PF ，设1PF m ，2PF n ，则22mn am n a  解得m an a ，又2 2 2 21 2()4 m n FF c   ，∴2 2 24 a a c  ，化简得22ca．故选 D． 47．（河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）已知椭圆2 22 2: 1(0)x yC a ba b    的左 焦 点 为 , F C与过原点的直线相交于 , A B两点，23 4,.10, 8, ,5AF BF AB BF cos ABF C     连接 若 则 的离心率为 A．35 B．57 C．45 D．67 【答案】B 【 解 析 】 由余弦定理可得：2 2 2| | | | 2 cos AF AB BF AB BF ABF    ，代 入 得2 248 100 2 10 8 =365AF      ，解得 6 AF ，由此可得三角形 ABF 为直角三角形．OF=5，即 c=5．由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为2F 时，2AFB BF A   ，252 14, 7,7a AF AF a e     ，故选 B 48．（吉林省通化市梅河口五中 2020 届高三高考数学（文科）七模）已知经过原点 O 的直线与椭圆2 22 21(0)x ya ba b    相交于 M，N 两点(M 在第二象限），A，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线 MF平分线段 AN，且 | | 4 AF ，则该椭圆的方程为（）A．2 219 5x y  B．2 2136 4x y  C．2 2136 32x y  D．2 2125 24x y  【答案】 C 【分析】由已知可得 4 a c  ，设线段 AN 的中点为 P，(,)M m n，则(,)N m n  ，利用中点坐标公式求得 P 的坐标再由MF FPk k  列式求得 a 值，进一步得到 c，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可求． 【解析】由 | | 4 AF ，得 4 a c  ，设线段 AN 的中点为 P，(,)M m n，则(,)N m n  ，又(,0)A a，(2a mP，)2n，(4,0)F a，点 M、F、P 在同一直线上，MF FPk k  ，即002(4)(4)2nna mm aa   ，24 化简即可求得 6 a ，2 c  ，则2 2 232 b a c    ． 故椭圆方程为2 2136 32x y  ．故选 C 49．（四川省广安市邻水实验学校 2021 届高三上学期入学考试数学（文））笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)x x x xy    ，关于这个方程的曲线有下列说法：

① 该曲线关于 y 轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③ B．①④ C．③ D．③④ 【答案】C 【分析】以﹣x 代 x，以﹣x 代 x，﹣y 代 y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误． 【解析】以﹣x 代 x，得到     1 2 3 x x x xy    ，方程改变，不关于 y 轴对称； 以﹣x 代 x，﹣y 代 y，得到     1 2 3 x x x xy    ，方程改变，不关于 原点 对称； 当 x 0,y 0   时，    1 2 3 0,?0,x x x xy    显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令 x 1  ，易得 12 y ，即   1,12  适合题意，同理可得       1,0 2,0 3,0，适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选 C 50．（福建省泰宁第一中学 2018-2019 学年高二上学期第二阶段考试数学（文））已知椭圆2 22x y9 n =1(n>0)与双曲线2 22x y4 m =1(m>0)有相同的焦点，则动点 P(n，m)的轨迹是()A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．圆的一部分 【答案】D 【解析】∵椭圆2 22x y9 n ＝1 与双曲线2 22x y4 m ＝1 有相同的焦点，∴9-n 2 =4+m 2，即 m 2 +n 2 =5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选 D 【点睛】在用直接法探究轨迹方程时，可直接列出动点坐标所满足的关系式，但在将等式变形和化简过程中，要留心是否需要讨论，以及取值范围是否存在限制． 51．（广东省佛山市南海区 2021 届高三上学期 8 月摸底）过点   1,3 P 的动直线交圆2 2: 4 C x y   于 A，25 B 两点，分别过 A，B 作圆 C 的切线，如果两切线交于点 Q，那么点 Q 的轨迹是（）A．直线 B．直线的一部分 C．圆的一部分 D．双曲线的一支 【答案】B 【分析】设   , A m n，  , Q x y，由圆的对称性及直线方程的相关知识可得直线 AQ 的方程为4 my xn n  、直线 CQ 的方程为13my xn，联立消去 m、n 即可得解． 【解析】圆2 2: 4 C x y   的圆心   0,0 C，半径为 2，设   , A m n，  , Q x y，则2 24 m n  ，由圆的对称性可得 QCAB  即 QC AP ，当各直线的斜率均存在时，AC 的斜率ACnkm，切线 AQ 的斜率11ACmkk n   ，所以直线 AQ 的方程为  my n x mn    即4 my xn n  ，又直线 AP 的斜率31APnkm，所以直线 QC 的斜率21 13APmkk n  ，所以直线 CQ 的方程为13my xn，由413my xn nmy xn   可得  4 334 13nxm nmym n   ，所以 3 4 0 x y   ，又圆心   0,0 C 到直线 3 4 0 x y    的距离4210d  ，所以直线与圆相交，所以点 Q 的轨迹是直线 3 4 0 x y    在圆外的部分； 当直线 AC、AQ、AP、QC 其中一条直线的斜率不存在时，点 Q 依然在该直线上； 所以点 Q 的轨迹是直线的一部分．故选 B． 52．（四川省成都市第七中学 2021 届高三上学期开学考试数学（理））正方形1 1 1 1ABCD ABC D  中，若12 CM MC ，P 在底面 ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP，则点 P 的轨迹为（）

26 A．圆弧 B．线段 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】根据题意，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，设正方体棱长为 1，  , P x y ．由1DP CPDP MP及两点间距离公式，表示出 P 的轨迹方程．即可判断轨迹的形状． 【解析】由题意以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，设正方体棱长为 1，  , P x y 则   0,1 C，由12 CM MC ，可得23MC  因为 P 在底面 ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP．由勾股 定理及两 点间距离 公式代入 可 得  222 22 22214119x yx yx yx y    ，即2 2 2 22 22 22 113129x y x y yx yx y y      ，交叉相乘，化简可得2 218 905 5x y y    ，化为标准方程可得 229 365 25x y     ，而因为 P 在底面 ABCD 内运动，所以其轨迹为一段圆弧，故选 A.二、多选题 53．（湖北省黄石市第一中学2019-2020学年高二下学期期末）经过点  4, 2 P  的抛物线的标准方程为（）A．2y x  B．28 x y  C．28 x y =-D．28 y x  【答案】AC 【解析】若抛物线的焦点在 x 轴上，设抛物线的方程为  22 >0 y px p ，又因为抛物线经过点   4, 2 P ，所以  22 2 4 p   ，解得12p ，所以抛物线的方程为2y x  ． 若抛物线的焦点在 y 轴上，设抛物线的方程为  22 >0 x py p ，又因为抛物线经过点   4, 2 P ，所以

27  24 2 2 p   ，解得 4 p  ，所以抛物线的方程为28 x y =-．故选 AC． 54．（江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）已知椭圆 2 21 05x ymm   的离心率105e ，则 m 的值为（）A．3 B．253 C．5 D．5 153 【答案】AB 【分析】分焦点在 x、y 轴上讨论，分别求出 m 的值． 【解析】由题意知 0 m ，当 5 m  时，5 a ，bm ，5 c m  ，∴5 105 5c mea  ，解得 3 m  ；当 5 m  时，a m ，5 b ，5 c m  ，∴5 105c mea m  ，解得253m  ；故选 AB． 55．（江苏省南京市六校联合体 2020-2021 学年高三上学期暑假学情检测）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线2 214 12x y ，则（）A．实轴长为 2 B．渐近线方程为 3 y x  C．离心率为 2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3 【答案】BC 【解析】由双曲线方程2 214 12x y ，得 2 a ，2 3 b ，2 24 c a b   ，所以实轴长 2 4 a ，故选项A 错误；渐近线方程为 3by x xa   ，故选项 B 正确；离心率 2cea ，故选项 C 正确；准线方程21axc   ，取其中一条准线 1 x ，3 y x  与 1 x  的交点  1, 3 A，点 A 到直线3 y x  的距离 223 1 333 1d  ，故 D 错误．故选 BC.56．（江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）已知双曲线 C 过点   3, 2 且渐近线为33y x  ，28 则下列结论正确的是（）A． C 的方程为2213xy   B． C 的离心率为 3 C．曲线21xy e  经过 C 的一个焦点 D．直线 2 1 0 x y    与 C 有两个公共点 【答案】AC 【解析】对于选项 A：由已知33y x  ，可得2 213y x ，从而设所求双曲线方程为2 213x y   ，又由双曲线 C 过点   3, 2，从而2 213(2)3   ，即 1  ，从而选项 A 正确；对于选项 B：由双曲线方程可知3 a ，1 b ，2 c ，从而离心率为2 2 33 3cea  ，所以 B 选项错误；对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为   2,0，满足21xy e ，从而选项 C 正确；对于选项 D：联立222 1 013x yxy   ，整理，得22-2 2 0 y y ，由2(2 2)4 2 0     ，知直线与双曲线 C 只有一个交点，选项 D 错误．故选AC 57．（湖北省荆州中学 2020-2021 学年高三上学期 8 月月考）已知双曲线 C：2 22 21x ya b (0, 0)a b   的焦点与抛物线24 x y  的焦点之间的距离为 2，且 C 的离心率为 3，则下列说法正确的有()A．C 的渐近线方程为 2 y x  B．C 的标准方程为2212yx   C．C 的顶点到渐近线的距离为23 D．曲线31xy e 经过 C 的一个焦点 【答案】ABD 【解析】设抛物线24 x y  的焦点为(0,1)F，双曲线 C 的一个焦点坐标为1(,0)(0)F c c ，由题意可知：12 FF ，所以有21 2 3 c c    或 3 c  （舍去），又因为 C 的离心率为3，所以2 23 1 3 1 2ce a b c aa          ． 选项 A：因为1, 2 a b  ，所以 C 的渐近线方程为 2 y x ，故本选项说法正确；

29 选项 B：因为1, 2 a b  ，所以 C 的标准方程为2212yx  ，故本选项说法正确； 选项 C：设 C 的一个顶点坐标为(1,0)，它到渐近线方程为 2 0 x y   的距离为 2 21 2 0(1)63(2)1   ，根据双曲线和渐近线的对称性可知：C 的顶点到渐近线的距离为63，故本选项的说法不正确．选项 D：当3 x 时，3 31 0 y e   ，而(3,0) 恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确．故选 ABD 58．（重庆市第八中学 2021 届高三上学期阶段性测试）若方程2 213 1x yt t  所表示的曲线为 C，则下面四个选项中正确的是（）A．若 1 3 t  ，则 C 为椭圆 B．若 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 12 t   C．若 C 为双曲线，则 3 t  或 1 t  D．若 C 是双曲线，则其离心率有 1 2 e   【答案】CD 【解析】对于选项 A，当 2 t  时，曲线 C 化为2 21 x y  ，此时 C 为圆，故 A 不正确； 对于选项 B，若 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 1 3 0 t t    ，解得 2 3 t  ，故 B 不正确；对于选项 C，若 C 为双曲线，则    3 1 0 t t   ，解得 3 t  或 1 t ，故 C 正确； 对于选项 D，若 C 是双曲线，则 3 t  或 1 t ，当 3 t  时， 22 4 22 1,21 1tet t    ，此时离心率1 2 e  ．当 1 t  时， 24 2 22 1,23 3tet t    ，此时离心率 12 e  ;故 D 正确．故选 CD． 59．（江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）已知抛物线22(0)x py p   的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q．若抛物线 C 上存在一点(,2)E t 到焦点 F 的距离等于 3．则下列说法正确的是（）A．抛物线的方程是22 x y  B．抛物线的准线是1 y   C． sinQMN  的最小值是12 D．线段 AB 的最小值是 6 【答案】BC

30 【解析】抛物线  2: 2 0 C x py p   的焦点为 02pF   ，得抛物线的准线方程为2py  ，点   2 E t，到焦点 F 的距离等于 3，可得 2 32p ，解得 2 p ，则抛物线 C 的方程为24 x y ，准线为1 y  ，故 A 错误，B 正确；由题知直线 l 的斜率存在，  0 F，1，设  1 1, A x y， 2 2, B x y，直线 l 的方程为 1 y kx  ，由21 4y kxx y  ，消去y得24 4 0 x kx   ，所以1 24 x x k  ，1 24 x x ，所以 21 2 1 22 4 2 y y k x x k      ，所 以 AB 的 中 点 Q 的 坐 标 为  22 2 1 k k ，2 21 24 2 2 4 4 AB y y p k k        ，故线段 AB 的最小值是 4，即 D 错误；所以圆 Q 的半径为22 2 r k  ，在等腰 QMN 中，22 22 1 1 1 1sin 1 12 2 2 2 2 2QykQMNr k k        ，当且仅当 0 k  时取等号，所以 sin QMN  的最小值为12，即 C 正确，故选 BC． 60．（江苏省南通如皋、盐城射阳 2020-2021 学年高三上学期期初联考）已知抛物线2: 2 C y px  过点(1,1)P则下列结论正确的是()A．点 P 到抛物线焦点的距离为32 B．过点 P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Q，则△OPQ 的面积为532 C．过点 P 与抛物线相切的直线方程为2 1 0 x y    D．过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于 M，N 点则直线 MN 的斜率为定值 【答案】BCD 【分析】先根据抛物线2: 2 C y px  过点(1,1)P，求得抛物线方程． 对于 A，利用2ppPF x   求解验证．对于 B，设4 1:()3 4PFl y x  ，与2y x  联立，利用1 212OPQS OF y y    求解验证．对于 C，设直线方程为 1(x 1)y k   ，与2y x  联立，利用 0   求解验证．对于 D，设 :PMl 1(x 1)y k   ，与2y x  联立，求得点21 11 , 1 Mk k         ，同理21 11 , 1 Nk k           ，利用斜率公式求解验证． 【解析】因为抛物线2: 2 C y px  过点(1,1)P，所以12p ，所以抛物线方程为2y x ，焦点坐标为1,04F   ，31 对于 A，1 514 4PF   ，故 A 错误．对于 B，43PFk ，所以4 1:()3 4PFl y x  ，与2y x  联立得：24 3 1 0 y y   ，所以1 2 1 23 1,4 4y y y y    ，所以  21 2 1 2 1 21 1 1 542 2 4 32OPQS OF y y y y y y          ，故 B 正确． 对于 C，依题意斜率存在，设直线方程为 1(x 1)y k   ，与2y x  联立得：21 0 ky y k    ，  1 4 1 0 k k    24 4 1 0 k k   ，解得12k ，所以切线方程为 2 1 0 x y   ，故 C 正确．对于 D，依题意斜率存在，设 :PMl 1(x 1)y k   ，与2y x  联立得：21 0 ky y k    ，所以11Myk ，即11Myk ，则211Mxk    ，所以点21 11 , 1 Mk k         ，同理21 11 , 1 Nk k           ，所以2 21 121 11421 11 1MNk kkkkk k                     ，故 D 正确．故选 BCD 61．（福建省厦门市 2019-2020 学年高二下学期期末）已知1F，2F 是双曲线 2 22 2: 1 0, 0x yE a ba b    的左、右焦点，过1F 作倾斜角为 30° 的直线分别交 y 轴与双曲线右支于点 M，P，1PM MF ，下列判断正确的是（）A．2 1π3PF F ? B．2 112MF PF  C．E 的离心率等于3 D．E 的渐近线方程为 2 y x  【答案】BCD 【分析】由中位线定理得平行线，从而易判断 A，B，利用直角三角形把1 2, PF PF 用 c 表示后结合双曲线的定义可求得离心率，判断 C，同时再计算出ba，判断 D． 【解析】如右图，由1PM MF ，可得 M 为1PF 的中点，又 O 为1 2FF 的中点，可得2// OM PF，2 190 PF F   ，1 230 PFF   ，2 112MF PF ，故 A 错误，B 正确； 设1 22 FF c ，则12 4 3cos30 3cPF c  ，22 32 tan303PF c c  ，32 则1 22 323a PF P...

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