2019全国三卷第12题变式题

作者：wangchangxin198 | 发布时间：2020-12-23 06:24:26 收藏本文下载本文

2019 全国三卷的变式探究（2019 全国卷Ⅲ，12）设函数()sin()(0)5f x x    ，已知()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 5个零点．下述四个结论：

①()f x 在(0,2) 有且仅有 3 个极大值点 ②()f x 在(0,2) 有且仅有 2 个极小值点 ③()f x 在(0,)10单调递增 ④  的取值范围是12[5，29)10 其中所有正确结论的编号是()A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【解析】当 [0 x，2 ]  时，[5 5x   ，2 ]5 ，()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 5 个零点，5 2 65      „，12 295 10  „，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x 时，[5 5x   ，(2)]10  ，若()f x 在(0,)10单调递增，则(2)10 2   ，即 3  ，12 295 10  „，故③正确．故选：

D ．变式练习：

1．设函数()sin()(0)5f x x    ，已知()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 3 个零点，下述四个结论：

①()f x 的周期可能为  ； ②()f x 在(0,2) 有且仅有 3 个对称轴； ③()f x 在(0,)7单调递增； ④  的取值范围是7[ 5，19)10．其中所有正确结论的编号是()A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 1.【解答】 [0 x，2 ] ， [ ,2 ]5 5 5wx w     ，()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 3 个零点．  3 2 45w     „ ． 7 195 10w „ ．故④正确 2 20 10(, ]19 7Tw     故①不正确当725 2w    时()f x 在(0,2) 有且仅有 4 个对称轴．故②不正确当(0,)7x 时，(,)5 5 7 5wwx      2 33(,)5 5 70wx    ．显然()f x 在(0,)7单调递增，故③正确故选：

D ． 2．设函数()sin()(0)3f x x    ，已知()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 5 个零点．给出下述三个结论：

①()1 y f x   在(0,2) 有且仅有 2 个零点；

②()f x 在(0,)17单调递增； ③  的取值范围是7 17[ ,)3 6 其中，所有正确结论的编号是()A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2.【解答】当 [0 x，2 ]  时，()[ ,2 ]3 3 3ax a     ，()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 5 个零点， 5 2 63a     „ 即7 173 6a  „，所以③正确； ①当 11 2 62 3a      即31 176 6a   时，函数()1 y f x   在(0,2) 上有 3 个零点，即①错误； ②当(0,)17x 时，()(,)3 3 17 3ax a     ，若()f x 在(0,)17单调递增，则17 3 2a    即176a ，7 173 6a  „，176a  符合题意，即②正确；所以正确的有②③，故选：

C ． 3．已知函数()sin()(0,0),2 3f x x           为()f x 的一个零点，6x 为()y f x  图象的一条对称轴，且()f x 在(0,) 上有且仅有 7 个零点，下述四个结论：

①3  ；②()f x 在(0,) 上有且仅有 4 个极大值点； ③ 5   ；④()f x 在(0,)42上单调递增．其中所有正确结论的编号是()A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 3.【解答】6x 为()f x 图象的一条对称轴，3 为()f x 的一个零点，6 2k        ，且()3k      ，k Z ，；

2 1 k    ，k Z ，()f x 在(0,) 上有且仅有 7 个零点，由图象知()f x 在(0,) 上有且仅有 4 个极大值点，②正确； 7 8        „，7   ，③错误； 76 2k       ，又 02  ，所以3 ， ①正确；由 2 7 22 3 2k x k        剟得，5 2 242 7 42 7k kx      剟，即()f x 在5 2[42 7k   ，2]42 7k   上单调递增，()f x  在(0,)42上单调递增，④正确；故选：

D ． 4．已知函数()sin()(0)4f x x    ，则下述结论中错误的是()A．若()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 4 个零点，则()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 2 个极小值点 B．若()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 4 个零点，则()f x 在2(0,)15上单调递增 C．若()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 4 个零点，则  的范围是15 19[ ,)8 8 D．若()f x 图象关于4x 对称，且在5(,)18 36 单调，则  的最大值为 9 4.【解答】 [0 ，2 ] ， 24 4 4x      剟．类比函数 sin y x  可得，要使()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 4 个零点，必有 4 2 54     „，所以15 198 8  „ ．所以选项 C 正确；此时，()f x 在第 1 个零点与第 2 个零点之间有一个极小值点，在第 3 个零点与第 4 个零点之间有一个极小值点，故()f x 在 [0，2 ]  有且仅有 2 个极小值点，故选项 A 正确；

2015x  ，24 4 15 4x        ； 15 198 8  „ ．故取 2  ，此时314 4 60x      ．时函数不是单调函数，所以选项 B 错误；()f x 图象关于4x 对称，且在5(,)18 36 单调，,4 4 24 1.0 125 2 136 18 2k k Zk              „„． 11   时，114k      ，可得()sin(11)4 4f x x     在5(,)18 36 不单调，9   时，94k      ，4 ，()sin(9)4f x x  在5(,)18 36 单调，故的最大值为 9．故选项 D 正确．故选：

B ． 5．（多选题）设函数()sin()(0)6f x x    ，已知()f x 在 [0，2 ]  恰好有 7 个零点．下述四个结论，正确的结论是()A．()f x 在(0,2) 最大值恰好出现 4 次 B．()f x 在(0,2) 最小值恰好出现 3 次 C．  的取值范围是41[ 12，47)12 D．  的取值范围是43[ 12，49)12 5.【解答】因为 0 2 x  剟，所以 26 6 6x      剟，若()f x 在 [0，2 ]  上恰有 7 个零点，则 7 2 86     „，解得41 4712 12  „，且此时()f x 在(0,2) 最大值恰好出现 4 次，最小值可能出现 3 次也可能出现 4 次，故选：

AC ． 6．（多选题）已知函数()sin()(0,0),2 3f x x           为()f x 的一个零点，6x 为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在(0,) 上有且仅有 7 个零点，下述结论正确的是()

A．6  B． 5   C．()f x 在(0,) 上有且仅有 4 个极大值点 D．()f x 在(0,)42上单调递增 6.【解答】6x 为()f x 图象的一条对称轴，3 为()f x 的一个零点，6 2k        ，且()3k      ，k Z ，2 1 k    ，k Z ，()f x 在(0,) 上有且仅有 7 个零点，7 8        „，即13 152 2 剟，7   ，76 2k       ，又 02  ，所以3 ，由 2 7 22 3 2k x k        剟得，5 2 242 7 42 7k kx      剟，即()f x 在5 2[42 7k   ，2]42 7k   上单调递增，()f x  在(0,)42上单调递增，综上，AB 错误，CD 正确，故选：

CD ．