压轴题(一)
压轴题（一）1、已知：二次函数 1 2)1(2 mx x n y 图象的顶点在 x 轴上．（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；（2）求证：函数 1)1(22 2 x n x m y 的图象与 x 轴必有两个不同的交点；（3）如果函数 1)1(22 2 x n x m y 的图象与 x 轴相交于点 A（x 1，0）、B（x 2，0），与 y 轴相交于点 C，且△ABC 的面积等于 2．求这个函数的解析式． [解]（1）∵二次函数 1 2)1(2 mx x n y 图象的顶点在 x 轴上，∴ 0 1 n，0)1(4 42 n m ． ∴ 0 12 n m ． 又∵ 02 m，∴ 0 1 n ． ∴这个函数图象的开口方向向上．（另解：∵这个二次函数图象的顶点在 x 轴上，且与 y 轴的正半轴相交，∴这个函数图象的开口方向向上．（2）∵ 02 m，∴这个函数是二次函数． 2 24)1(4 m n ． ∵ 0 12 n m，∴ 0)1(2 n，02 m ． ∴Δ>0． ∴函数 1)1(22 2 x n x m y 的图象与 x 轴必有两个不同的交点．（3）由题意，得22 1)1(2mnx x ，22 11mx x ． ∵ 12 n m，∴ 2)1(222 1 mnx x ． 而2 1x x AB ，点 C 的坐标为（0，-1）． ∴ 2 1212 1 x x ． ∴ 42 1 x x ． ∴ 164)2(4)()(222 122 122 1 mx x x x x x ． ∴312 m ． ∴311 n ．
∴所求的函数解析式为 132312 x x y ． 2、已知：在 Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，BC ＝4cm，AB ＝8cm，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 边上的中点．若P 为 AB 边上的一个动点，PQ ∥ BC，且交 AC 于点 Q，以 PQ 为一边，在点 A 的异侧．．作正方形 PQMN，记正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为 y ．（1）如图，当 AP ＝3cm 时，求 y 的值；（2）设 AP ＝ x cm，试用含 x 的代表式表示 y（cm）2 ；（3）当 y ＝2cm 2 时，试确定点 P 的位置． [解]（1）∵ PQ ∥ BC，∴ ABAPBCPQ ．∵ BC ＝4，AB ＝8，AP ＝3，∴ PQ ＝23．∵ D 为 AB 的中点，∴ AD ＝21AB ＝4，PD ＝ AD － AP ＝1． ∵ PQMN 为正方形，DN ＝ PN － PD ＝ PQ － PD ＝21，∴ y ＝ MN · DN ＝432123 cm 2 ．（2）∵ AP ＝ x，∴ AN ＝23x ． 当 o≤ x ＜38时，y ＝0； 当38≤ x ＜4 时，x x xxy 243)423(22 ； 当 4≤ x ＜316时，y ＝ x ； 当316≤ x ≤8 时，y ＝2（8－ x）＝－2 x ＋16．（3）将 y ＝2 代入 y ＝—2 x ＋16（316≤ x ≤8）时，得 x ＝7，即 P 点距 A 点 7cm； 将 y ＝2 代入)438(2432 x x x y 时，得310 2 4 x，即 P 点距 A 点310 2 4 cm． 3、已知：抛物线经过 A（2，0）、B（8，0）、C（0，33 16）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 P，把△APB 翻折，使点 P 落在线段 AB 上（不与 A、B 重合），记作/P，折痕为EF，设 A/P = x，PE = y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当点/P 在线段 AB 上运动但不与 A、B 重合时，能否使△EF/P 的一边与 x 轴垂直？若能，请求出此时点/P 的坐标；若不能，请你说明理由。
[解]（1）设)8)(2( x x a y
把)33 16, 0(代入得 33 a ∴)8)(2(33 x x y 即33 1633 10332 x x y（2）顶点 P（）3 3 , 5 AP=AB=BP=6 ∴ 0 "60 PAP 作 AP G P "于 G，则 x AG21 ，x G P23" 又 y PE E P "，y x EG 216 在 EG P Rt" 中，2 2 2)216()23(y y x x ∴)6 0(1236 62 xxx xy（3）若 x EP "轴 则 x y 2 6 xxx x21236 662 3 6 121 x，3 6 122 x（舍去）∴)0 , 3 6 14(" P 若 x FP "轴 则 x y216 xxx x211236 662 6 3 63 x，6 3 64 x（舍去）∴)0 , 4 3 6(" P 若 x EF 轴，显然不可能。
∴)0 , 3 6 14(" P 或)0 , 4 3 6(" P
