国开（中央电大）本科《复变函数》网上形考（任务1至3）试题及答案

国开(中央电大)本科《复变函数》网上形考(任务1至3)试题及答案 形考任务1 试题及答案 一、选择题 1.若z1=（a，b），z2=（c，d），则z1·z2=（）。

[答案]（ac-bd，bd+ad）

2.若R>0，则N（∞，R）={z：（）}。

[答案]丨z丨>R 3.若z=x+iy，则y=（）。

[答案] 4.若，则丨A丨=（）。

[答案]1 二、填空题 5.若z=x+iy，w=z2=u+iv，则v=_______.[答案]2xy 6.复平面上满足 Rez=4 的点集为_______.[答案]{x：x=4，x∈R} 7._______称为区域。

[答案]连通的开集 8.设z0=x0+iy0，zn=xn+iyn（n=1，2，…），则{zn}以z0为极限的充分必要条件是=_______且=_______。

[答案]x0，y0 三、计算题 9.求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角.[答案] 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 10.写出复数-i 的三角式.[答案] 11.写出复数的代数式.[答案] 解：

12.求根式的值.[答案] 四、证明题 13.证明：若，则a2+b2=1.证明：

14.证明：

证明：

形考任务2 试题及答案 一、选择题 1.若f（z）=x2-y2+2xyi，则=（）。

[答案] 2x+2yi 2.若f（z）=u（x，y）+iv（x，y），则柯西—黎曼条件为（）。

[答案] 3.若f（z）=z+1，则f（z）在复平面上（）。

[答案]处处解析 4.若f（z）在复平面解析，g（z）在复平面上连续，则f（z）+g（z）在复平面上（）。

[答案]连续 二、填空题 5.若f（z）在点a_______，则称a为f（z）的奇点.[答案]不解析 6.若f（z）在点z=1_______，则f（z）在点z=1解析.[答案]不解析 7.若f（z）=z2+2z+1，则f＇(z)= _______.[答案] 2z+2 8.若，则f＇(1)= _______.[答案]-三、计算题 9.设f（z）=zRe（z），求。

解：

= 10.设f（z）=excos y + iexsin y，求f＇(z)。

解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy u=excosy v=exsiny f(z)=u+iv ∴f(z)在复平面解析，且 =excosy+iexsiny 11.设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f（i）=0，试求f（z）。

解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2 则V（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数)故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时，f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0 ∴c=1 ∴f(z)=Z3+i 12.设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2（x-1）y，f（2）=-i，试求f（z）。

解：依C-R条件有Vy=ux=2y ∴V= =y2+(x)∴Vx= ∴(x)= V=y2-x2+2x+c(c为常数)∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴c=-1 ∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i 四、证明题 13.试在复平面讨论的解析性。

解：令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0 ∵ux、uy、vx在复平面内处处连接 又Ux=Vy Uy=-Vx。

∴f(z)=iz在复平面解析。

14.试证：若函数f（z）在区域G内为解析函数，且满足条件f＇(z)=0，z∈G，则f（z）在G内为常数。

证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G ∵f(z)在G内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx 又（z）=0,（z）=Ux+iVx Ux=0 Vx=0 Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0 U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0 f(z)在G内为常数。

形考任务3 试题及答案 一、选择题 1.z=（）是根式函数的支点。

[答案]0 2.z=（）是函数的支点 [答案]0 3.ei=（）。

[答案]cos1+isin1 4.sin1=（）。

[答案] 二、填空题 5.cosi=_______。

[答案] 6.=_______。

[答案]e(cos1+isin1)7.=_______。

[答案] 8.=_______。

[答案] k为整数 三、计算题 9.设z=x+iy，计算 解: ∴ ∴ = = 10.设z=x+iy，计算 解: ∵ z = x+iy ∴ ∴ ∴ 11.求方程2 Inz = πi的解。

解: ∵ lnz = ∴ 由对数函数的定义有: Z= ∴ 所给方程的解为z = i 12.求方程的解。

解: ∵ = 根据指数函数的定义有: z=Ln(1+)四、证明 13.试证：sin 2z = 2 sin z·cos z。

证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：

∴ sin2z=2sinz·cosz 14.证明：

证明: 令A= B=sinx+sin2x+…sinnx ∴ = ∴

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