圆锥曲线基础题
圆锥曲线 基础题 1．（2015•广东）已知椭圆 + =1（m＞0）的左焦点为 F 1（﹣4，0），则 m=（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 9 2．（2015•江西校级一模）已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为，且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为（）A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1 3．（2015•漳州模拟）“mn＞0”是“方程 mx 2 +ny 2 =1 表示椭圆”的（）A． 必要且不充分条件 B． 充分且不必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 4．（2015•青羊区校级模拟）点 F 1，F 2 为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆上存在点 A 使△ AF 1 F 2 为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D． ﹣1 5．△ ABC 的两个顶点为 A（﹣4，0），B（4，0），△ ABC 周长为 18，则 C 点轨迹为（）A． + =1（y≠0）B． + =1（y≠0）C． + =1（y≠0）D． + =1（y≠0）6．（2015•河北区模拟）若焦点在 x 轴上的椭圆 的离心率为，则 m=（）A． B． C． D． 7．（2015•揭阳校级三模）曲线 =1 与曲线 =1（k＜9）的（）A． 长轴长相等 B． 短轴长相等 C． 离心率相等 D． 焦距相等 8．椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的方程为 A． +y 2 =1 B． + =1
C． +y 2 =1 或 + =1 D． +y 2 =1 或 +x 2 =1 9．已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 + =1，随着 a 的增大该椭圆的形状（）A． 越接近于圆 B． 越扁 C． 先接近于圆后越扁 D． 先越扁后接近于圆 10．（2015•南充一模）已知抛物线 y 2 =4x 的准线过椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点，且准线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D． 11．直线 y=﹣2x+2 恰好经过椭圆 + =1 的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D． 12．已知等轴双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点，则双曲线 C 的方程为（）A． 2x 2 ﹣2y 2 =1 B． ﹣ =1 C． x 2 ﹣y 2 =1 D． ﹣ =1 13．（2015•上饶二模）已知焦点在 x 轴的椭圆方程：，过焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=1，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D． 14．（2015•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 =4 x 的准线上，则双曲线的方程为（）A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
15．（2015•四川）过双曲线 x 2 ﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|=（）A． B． 2 C． 6 D． 4 16．（2015•福建）若双曲线 E：
=1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 在双曲线 E上，且|PF 1 |=3，则|PF 2 |等于（）A． 11 B． 9 C． 5 D． 3 17．（2015•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点为 F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2 +y 2 =3 相切，则双曲线的方程为（）A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣y 2 =1 D． x 2 ﹣ =1 18．若双曲线 ﹣ =1 的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 19．（2015•广东）已知双曲线 C：
﹣ =1 的离心率 e=，且其右焦点为 F 2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 20．（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为 y=±2x 的是（）A． x 2 ﹣ =1 B． ﹣y 2 =1 C． x 2 ﹣ =1 D． ﹣y 2 =1 21．（2015•河北区一模）已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双曲线 C 上点，且 y= x 是 C 的一条渐近线，则 C 的方程为（）A． 2x 2 ﹣ =1 B． ﹣x 2 =1 C． ﹣x 2 =1 或 2x 2 ﹣ =1 D． ﹣x 2 =1 或 x 2 ﹣ =1
22．若实数 m 满足 0＜m＜8，则曲线 C 1 ：
﹣ =1 与曲线 C 2 ：
﹣ =1 的（）A． 焦距相等 B． 实半轴长相等 C． 虚半轴长相等 D． 离心率相等 23．（2015•衡水四模）已知 F 1，F 2 为双曲线 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF 1 |=2|PF 2 |，则 cos∠ F 1 PF 2 =（）A． B． C． D． 24．（2015•怀化三模）已知曲线 C：
﹣y 2 =1 的左右焦点分别为 F 1 F 2，过点 F 2 的直线与双曲线 C 的右支相交于 P，Q 两点，且点 P 的横坐标为 2，则 PF 1 Q 的周长为（）A． B． 5 C． D． 4 25．（2015•江西校级一模）点 P 在双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）上，F 1、F 2 是这条双曲线的两个焦点，∠ F 1 PF 2 =90°，且△ F 1 PF 2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A． B． C． 2 D． 5 26．已知抛物线 y 2 =2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）27．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P（﹣4，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A． y 2 =﹣x B． x 2 =﹣8y C． y 2 =﹣8x 或 x 2 =﹣y D． y 2 =﹣x 或 x 2 =﹣8y 28．（2015•泉州校级模拟）如图过拋物线 y 2 =2px（p＞0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A． y 2 = x B． y 2 =3x C． y 2 = x D． y 2 =9x 29．（2015•河南二模）已知点 A（0，2），抛物线 C 1 ：y 2 =ax（a＞0）的焦点为 F，射线 FA与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若|FM|：|MN|=1：，则 a 的值等于（）A． B． C． 1 D． 4 30．（2015•朝阳区一模）若抛物线 y 2 =2px（p＞0）的焦点与双曲线 x 2 ﹣y 2 =2 的右焦点重合，则 p 的值为（）A． B． 2 C． 4 D． 2
参考答案与试题解析 1．（2015•广东）已知椭圆 + =1（m＞0）的左焦点为 F 1（﹣4，0），则 m=（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 9 解答：
解：∵ 椭圆 + =1（m＞0）的左焦点为 F 1（﹣4，0），∴25﹣m 2 =16，∵m＞0，∴m=3，故选：B． 2．（2015•江西校级一模）已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为，且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为（）A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1 解答：
解：由题意设椭圆 G 的方程为（a＞b＞0），因为椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12，所以 a=6，由离心率为 得，所以，解得 c=，所以 b 2 =a 2 ﹣c 2 =36﹣27=9，则椭圆 G 的方程为，故选：A． 3．（2015•漳州模拟）“mn＞0”是“方程 mx 2 +ny 2 =1 表示椭圆”的（）A． 必要且不充分条件 B． 充分且不必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 解答：
解：由方程 mx 2 +ny 2 =1 得，所以要使方程 mx 2 +ny 2 =1 的曲线是椭圆，则，即 m＞0，n＞0 且 m≠n． 所以，“mn＞0”是“方程 mx 2 +ny 2 =1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 故选：A．
4．（2015•青羊区校级模拟）点 F 1，F 2 为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆上存在点 A 使△ AF 1 F 2 为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D． ﹣1 解答：
解：∵ 点 F 1，F 2 为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆上存在点 A 使△ AF 1 F 2 为正三角形，∴a=2c，∴椭圆的离心率为 e= = ．故选：B． 5．（2015•宁城县一模）△ ABC 的两个顶点为 A（﹣4，0），B（4，0），△ ABC 周长为 18，则 C 点轨迹为（）A． + =1（y≠0）B． + =1（y≠0）C． + =1（y≠0）D． + =1（y≠0）解答：
解：∵ △ ABC 的两顶点 A（﹣4，0），B（4，0），周长为 18，∴ AB=8，BC+AC=10，∵ 10＞8，∴ 点 C 到两个定点的距离之和等于定值，点 C 满足椭圆的定义，∴ 点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，∴2a=10，2c=8，∴b=3，∴椭圆的标准方程是 + =1（y≠0）．故选：D． 6．（2015•河北区模拟）若焦点在 x 轴上的椭圆 的离心率为，则 m=（）A． B． C． D． 解答：
解：由题意，则，化简后得 m=1.5，故选 A 7．（2015•揭阳校级三模）曲线 =1 与曲线 =1（k＜9）的（）A． 长轴长相等 B． 短轴长相等 C． 离心率相等 D． 焦距相等
解答：
解：曲线 =1 表示焦点在 x 轴上，长轴长为 10，短轴长为 6，离心率为，焦距为 16． 曲线 =1（k＜9）表示焦点在 x 轴上，长轴长为 2，短轴长为2，离心率为，焦距为 16．对照选项，则 D 正确． 8．（2015•湖北模拟）椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的方程为（）A． +y 2 =1 B． + =1 C． +y 2 =1 或 + =1 D． +y 2 =1 或 +x 2 =1 解答：
解：由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即有 a=2b，由于椭圆经过点（2，0），则若焦点在 x 轴上，则 a=2，b=1，椭圆方程为 =1；若焦点 y 轴上，则 b=2，a=4，椭圆方程为 =1．故选 C． 9．（2015•东营二模）已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 + =1，随着 a 的增大该椭圆的形状（）A． 越接近于圆 B． 越扁 C． 先接近于圆后越扁 D． 先越扁后接近于圆 解答：
解：椭圆方程 为焦点在 x 轴上的椭圆方程，所以：
解得：
由于 a 在不断的增大，所以对函数 y=a 2 ﹣1（）为单调递增函数． 即短轴中的 b 2 在不断增大．即离心率不断减小． 所以椭圆的形状越来越接近于圆．故选：A
10．（2015•南充一模）已知抛物线 y 2 =4x 的准线过椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点，且准线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D． 解答：
解：∵ 抛物线 y 2 =4x 的准线方程为 x=﹣1，抛物线 y 2 =4x 的准线过椭圆 的左焦点且与椭圆交于 A、B 两点，∴ 椭圆的左焦点 F（﹣1，0），∴ c=1，∵ O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，∴，∴，整理，得 2a 2 ﹣3a﹣2=0，解得 a=2，或（舍），∴ ．故选：B． 11．（2015•厦门模拟）直线 y=﹣2x+2 恰好经过椭圆 + =1 的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D． 解答：
解：直线 y=﹣2x+2 恰好经过椭圆 + =1 的右焦点和上顶点，可得 c=1，b=2，所以 a= ．所以椭圆的离心率为：e= = ．故选：A． 12．（2015•聊城一模）已知等轴双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点，则双曲线 C 的方程为（）A． 2x 2 ﹣2y 2 =1 B． ﹣ =1 C． x 2 ﹣y 2 =1 D． ﹣ =1 解答：
解：椭圆的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），所以双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），满足 c 2 =1=a 2 +b 2 的只有 A，故选 A．
13．（2015•上饶二模）已知焦点在 x 轴的椭圆方程：，过焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=1，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D． 解答：
解：焦点在 x 轴椭圆方程：，焦点坐标（±，0），不妨 A（，），可得，解得 a=2，椭圆的离心率为：e= = ．故选：A． 14．（2015•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 =4 x 的准线上，则双曲线的方程为（）A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 解答：
解：由题意，=，∵ 抛物线 y 2 =4 x 的准线方程为 x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 =4 x 的准线上，∴c=，∴a 2 +b 2 =c 2 =7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为 ．故选：D． 15．（2015•四川）过双曲线 x 2 ﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|=（）A． B． 2 C． 6 D． 4 解答：
解：双曲线 x 2 ﹣ =1 的右焦点（2，0），渐近线方程为 y=，过双曲线 x 2 ﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，x=2，可得 y A =2，y B =﹣2，∴|AB|=4 ．故选：D． 16．（2015•福建）若双曲线 E：
=1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 在双曲线 E上，且|PF 1 |=3，则|PF 2 |等于（）A． 11 B． 9 C． 5 D． 3 解答：
解：由题意，双曲线 E：
=1 中 a=3． ∵ |PF 1 |=3，∴ P 在双曲线的左支上，∴ 由双曲线的定义可得|PF 2 |﹣|PF 1 |=6，∴|PF 2 |=9．故选：B． 17．（2015•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点为 F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2 +y 2 =3 相切，则双曲线的方程为（）A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣y 2 =1 D． x 2 ﹣ =1 解答：
解：双曲线的渐近线方程为 bx±ay=0，∵ 双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2 +y 2 =3 相切，∴，∴ b= a，∵ 焦点为 F（2，0），∴ a 2 +b 2 =4，∴ a=1，b=，∴双曲线的方程为 x 2 ﹣ =1．故选：D． 18．（2015•湖南）若双曲线 ﹣ =1 的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 解答：
解：双曲线 ﹣ =1 的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得 3b=4a，即 9（c 2 ﹣a 2）=16a 2，解得 = ．故选：D． 19．（2015•广东）已知双曲线 C：
﹣ =1 的离心率 e=，且其右焦点为 F 2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 解答：
解：双曲线 C：
﹣ =1 的离心率 e=，且其右焦点为 F 2（5，0），可得：，c=5，∴ a=4，b= =3，所求双曲线方程为：
﹣ =1． 故选：C． 20．（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为 y=±2x 的是（）A． x 2 ﹣ =1 B． ﹣y 2 =1 C． x 2 ﹣ =1 D． ﹣y 2 =1 解答：
解：由双曲线方程 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=± x，由 A 可得渐近线方程为 y=±2x，由 B 可得渐近线方程为 y=± x，由 C 可得渐近线方程为 y= x，由 D 可得渐近线方程为 y= x． 故选：A． 21．（2015•河北区一模）已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双曲线 C 上点，且 y= x 是 C 的一条渐近线，则 C 的方程为（）A． 2x 2 ﹣ =1 B． ﹣x 2 =1 C． ﹣x 2 =1 或 2x 2 ﹣ =1 D． ﹣x 2 =1 或 x 2 ﹣ =1 解答：
解：由题意设双曲线方程为 y 2 ﹣2x 2 =λ（λ≠0），把点 P（1，2）代入，得 λ=2，∴双曲线的方程为 y 2 ﹣2x 2 =2，即 ．故选：B． 22．（2015•湖北模拟）若实数 m 满足 0＜m＜8，则曲线 C 1 ：
﹣ =1 与曲线 C 2 ：﹣ =1 的（）A． 焦距相等 B． 实半轴长相等 C． 虚半轴长相等 D． 离心率相等 解答：
解：当 0＜m＜8，则 0＜8﹣m＜8，16＜24﹣m＜24，即曲线 C 1 ：
﹣ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a 2 =24，b 2 =8﹣m，c 2 =32﹣m，曲线 C 2 ：
﹣ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a′ 2 =24﹣m，b′ 2 =8，c′ 2 =32﹣m，即两个双曲线的焦距相等，故选：A． 23．（2015•衡水四模）已知 F 1，F 2 为双曲线 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF 1 |=2|PF 2 |，则 cos∠ F 1 PF 2 =（）A． B． C． D． 解答：
解：设|PF 1 |=2|PF 2 |=2m，则根据双曲线的定义，可得 m=2a ∴ |PF 1 |=4a，|PF 2 |=2a ∵ 双曲线 ∴ |F 1 F 2 |=2 a，∴ cos∠ F 1 PF 2 = = ． 故选 B． 24．（2015•怀化三模）已知曲线 C：
﹣y 2 =1 的左右焦点分别为 F 1 F 2，过点 F 2 的直线与双曲线 C 的右支相交于 P，Q 两点，且点 P 的横坐标为 2，则 PF 1 Q 的周长为（）A． B． 5 C． D． 4 解答：
解：双曲线 C：
﹣y 2 =1 的 a=，b=1，c= =2，则 F 1（﹣2，0），F 2（2，0），由于点 P 的横坐标为 2，则 PQ⊥x 轴，令 x=2 则有 y 2 = ﹣1=，即 y= ．即|PF 2 |=，|PF 1 |= = = ． 则三角形 PF 1 Q 的周长为|PF 1 |+|QF 1 |+|PQ|= + + = ．故选：A． 25．（2015•江西校级一模）点 P 在双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）上，F 1、F 2 是这条双曲线的两个焦点，∠ F 1 PF 2 =90°，且△ F 1 PF 2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A． B． C． 2 D． 5 解答：
解：设|PF 2 |，|PF 1 |，|F 1 F 2 |成等差数列，且分别设为 m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2 +m 2 =（m+d）2，解得 m=4d=8a，c= d，a= d，故离心率 e= =5．故选 D．
26．（2015•陕西）已知抛物线 y 2 =2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）解答：
解：∵ 抛物线 y 2 =2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴ =1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B． 27．（2015•宜宾模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P（﹣4，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A． y 2 =﹣x B． x 2 =﹣8y C． y 2 =﹣8x 或 x 2 =﹣y D． y 2 =﹣x 或 x 2 =﹣8y 解答：
解：设抛物线方程为 y 2 =mx，代入点（﹣4，﹣2）可得，4=﹣4m，解得，m=﹣1，则抛物线方程为 y 2 =﹣x，设抛物线方程为 x 2 =ny，代入点（﹣4，﹣2）可得，16=﹣2n，解得，n=﹣8，则抛物线方程为 x 2 =﹣8y，故抛物线方程为 y 2 =﹣x，或 x 2 =﹣8y．故选：D． 28．（2015•泉州校级模拟）如图过拋物线 y 2 =2px（p＞0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A． y 2 = x B． y 2 =3x C． y 2 = x D． y 2 =9x 解答：
解：如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠ BCD=30°，在直角三角形 ACE 中，∵ |AF|=3，|AC|=3+3a，∴ 2|AE|=|AC| ∴ 3+3a=6，从而得 a=1，∵ BD∥ FG，∴，求得 p=，因此抛物线方程为 y 2 =3x，故选：B
29．（2015•河南二模）已知点 A（0，2），抛物线 C 1 ：y 2 =ax（a＞0）的焦点为 F，射线 FA与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若|FM|：|MN|=1：，则 a 的值等于（）A． B． C． 1 D． 4 解答：
解：依题意 F 点的坐标为（，0），设 M 在准线上的射影为 K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴ |KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN = =﹣，k FN =﹣ =﹣2 ∴ =2，求得 a=4，故选 D． 30．（2015•朝阳区一模）若抛物线 y 2 =2px（p＞0）的焦点与双曲线 x 2 ﹣y 2 =2 的右焦点重合，则 p 的值为（）A． B． 2 C． 4 D． 2 解答：
解：抛物线 y 2 =2px（p＞0）的焦点为（，0），双曲线 x 2 ﹣y 2 =2 即 ﹣ =1 的右焦点为（2，0），由题意可得 =2，解得 p=4． 故选 C．
