高考卷,06,普通高等学校招生全国统一考试（山东卷．理）含详解

绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学（必修+选修II）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（共60分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（A）0（B）6（C）12（D）18（2）函数y=1+ax(0

（B）

（C）

（D）

(3)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为(A)（1，2）（3，+∞）

(B)（，+∞）

(C)（1，2）

（，+∞）

(D)（1，2）

（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=(A)1（B）2（C）—1（D）

（5）设向量a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(A)(2,6)(B)(－2,6)(C)(2,－6)(D)(－2,－6)(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)2（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A)(B)(C)(D)（8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33(B)34(C)35(D)36（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是(A)－45i(B)45i(C)－45(D)45（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是(A)80(B)85(C)90(D)95（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为(A)(B)(C)(D)（12题图）

绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学（必修+选修II）

注意事项：

1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

得分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）若.（14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是.（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为.（15题图）

（16）下列四个命题中，真命题的序号有（写出所有真命题的序号）.①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y= ②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2 ③若sin(+)= ,则sin(+)=,则tancot=5 ④如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.（16题图）

得分 评卷人 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）已知f(x)=Asin()(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）.（1）求;（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).得分 评卷人（18）（本小题满分12分）

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。

得分 评卷人（19）（本小题满分12分）

如图ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥V-A1B1C1的底面ABC，等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ABC=90°，设AC=2a,BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线与A1C1的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角A-VB-C的大小.（19题图）

得分 评卷人(20)（本小题满分12分）

袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量的概率分布和数学期望；

(3)计分介于20分到40分之间的概率.得分 评卷人（21）（本小题满分12分）

双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线.（1）

求双曲线C的方程；

（2）

过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 =，且时，求Q点的坐标.得分 评卷人（22）（本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）

证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）

设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

（3）

记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.参考答案（1）—（12）DACBD BBAAD CC(13)2(14)32(15)(16)（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（D）

（A）0（B）6（C）12（D）18 解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D（2）函数y=1+ax(0

（A）

（B）

（C）

（D）

解：函数y=1+ax(02的解集为（C）

(A)（1，2）（3，+∞）

(B)（，+∞）

(C)（1，2）

（，+∞）

(D)（1，2）

解：令>2（x<2），解得12（x³2）解得xÎ（，+∞）

选C（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=（B）

(B)1（B）2（C）—1（D）

解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，选B（5）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（D）

(A)(2,6)(B)(－2,6)(C)(2,－6)(D)(－2,－6)解：设d＝（x，y），因为4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，选D(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（B）

(A)－1(B)0(C)1(D)2 解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数 f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选C（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（B）

(A)(B)(C)(D)解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B（8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的（A）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 解：p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－12，借助图形知选A（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（A）

(A)33(B)34(C)35(D)36 解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则展开式中常数项是（A）

(A)－45i(B)45i(C)－45(D)45 解：第三项的系数为－，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为－可得n＝10，则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选A（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是（C）

(A)80(B)85(C)90(D)95 解：画出可行域：

易得A（5.5，4.5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，z取得最大值，此时z＝90，选C（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（C）

(A)(B)(C)(D)（12题图）

解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C 绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学（必修+选修II）

注意事项：

1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

得分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）若 2.解：

（14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则的最小值是 32.解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。

（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为.（15题图）

解：易证B1^平面AC1，过A点作AG^CD，则 AG^平面B1DC，于是ÐADG即ÐADC为直线AD 与平面B1DC所成角，由平面几何知识可求得它的正弦值为。

（16）下列四个命题中，真命题的序号有（写出所有真命题的序号）.①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y= ②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2 ③若sin(+)=，sin(－)=,则tancot=5 ④如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2| ②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为 >半径2，故圆与直线相离，③正确，sin(+)=＝sincos＋cossin sin(－)＝sincos－cossin＝ 两式相加，得2 sincos＝，两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5 ④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义 可知点P的轨迹是抛物线。

（16题图）

三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.（I）求（II）计算.解：（I）的最大值为2，.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，.过点，又.（II）解法一：，.又的周期为4，解法二：

又的周期为4，18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.解：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表—0 + 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：

当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.19．（本小题满分12分）

A B C A1 V B1 C1 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设（1）求证直线是异面直线与的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角的大小。

解法1：

（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，又，.为与的公垂线.（Ⅱ）解法1：过A作于D，∵△为正三角形，∴D为的中点.∵BC⊥平面 ∴，又，∴AD⊥平面，∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，即，解得.即A到平面的距离为.则 所以，到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知 是二面角的平面角。

在中。

所以，二面角的大小为arctan.解法二：

取中点连,易知底面，过作直线交。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。

（I），。

又 由已知。，而。

又显然相交，是的公垂线。

（II）设平面的一个法向量，又 由 取 得 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。，设所求距离为。

则 所以，A到平面VBC的距离为.（III）设平面的一个法向量 由 取 二面角为锐角，所以，二面角的大小为 20．（本小题满分12分）

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；

（3）计分介于20分到40分之间的概率。

解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为 所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.所以随机变量的概率分布为 2 3 4 5 因此的数学期望为（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则 21．（本小题满分12分）

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。

解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得，双曲线的方程为（Ⅱ）解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，则 在双曲线上，同理有：

若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，则.，分的比为.由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三：

由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，则.，.，，又，即 将代入得，否则与渐近线平行。

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则 ,。

同理.即。

（*）

又 消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意。

由韦达定理有：

代入（*）式得 所求Q点的坐标为。

22．（本小题满分14分）

已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；

（2）设，求及数列的通项；

（3）记，求数列的前项，并证明 解：（Ⅰ）由已知，两边取对数得，即 是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）

= 由（*）式得（Ⅲ）

又 又.

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