大学,高等数学,竞赛训练,导数、微分及其应用
导数、微分及其应用训练 一、（15分）证明：多项式无实零点。
证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，）。假设，则有。因为 由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。
二、（20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得 证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得 再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在使得 由此可得 三、（20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有 证明：当时。
证明：因为，设，则有 因此当时，当时。
四、（15分）设函数是可微函数，如果，证明：仅为的函数。
证明：考虑球面坐标，其中，则有，因为 所以仅为的函数。
五、（15分）设在点处可导，且。证明：
证明：因为在点处可导，所以 又因为，所以，由此可得 六、(15分)设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，都为正值，并且。证明：对任给的有。
证明：任取数，构造函数 因为，并且只有，所以 任取正数，则有 利用拉格拉日中值定理，存在使得，所以有 又因为，所以 当时有，由的任意性可得对任给的有。
七、
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