工程机械制图投影基础平面体的投影

【简介】下面是小编精心整理的工程机械制图投影基础平面体的投影（共8篇），仅供参考，大家一起来看看吧。在此，感谢网友“”投稿本文！

篇1：工程机械制图投影基础平面体的投影

一，棱柱的投影

如图，两个三角形平面相互平行，其余各平面都是四边形，并且，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些平面所围成的基本体称为棱柱，两个互相平行的平面称为底面，其余各面都称为侧面，两侧面的公共边称为侧棱，两底面间的距离称为棱柱的高，

工程机械制图投影基础 (4)平面体的投影

。当底面为三角形、四边形、五边形等时，所组成的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱现以正三棱柱为例进行分析平面BB1C1C为水平面，它在水平面上的投影反映实形，在正立面和侧立面上的投影都分别积聚成为一条平行于OX轴和OY轴的直线。平面ABC和A1B1C1为侧平面，它们在侧立面上的投影反映实长，并且重影，在正立面和水平面上的投影分别积聚成为平行于OY轴和oz轴的直线。平面ABB1A1和平面ACC1A1为侧垂面，它们的侧面投影都积聚为一直线,在水平面上的投影是两个矩形，不反映实形，两个矩形并列连接，与水平面BB1C1C重影，在正立面的投影都是矩形，不反映实形，且二者重形。同样，也可以用直线的投影特点来分析，图中AA1、BB1、CC1和BC、B1C1都是投影面垂直线，它们在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点，在另两个投影上的投影反映实长；图中AB,A1B1和AC,A1C1都是投影面平行线，它们在侧立面上的投影都反映了实长，在另外两个投影面上的投影都比实际长度短。通过以上分析：作凌柱体（或基本体）的投影，实质上是作点、线、面的投影，为了使图面清晰，投影轴可以省略，但必须注意，作出的投影图必须符合三面投影规律。二.凌锥的投影   在一个多边形平面与多个有公共顶点的三角形平面所围成的几何体称为棱锥，这个多边形称为棱锥的底面，其余各平面称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，各侧棱的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离称为棱锥的高。根据不同形状的底面，棱锥有三棱锥、四棱锥、和五棱锥等。   现在以正五棱锥为例进行分析正五棱锥的特点是：底面是正五边形，侧面为五个相同的等腰三角形，通过顶点向底面做垂线（即高），垂足在底面正五边形的中心。   正五棱锥底面，即正五边形ABCDE平行于水平面，在水平面上的投影反映实形，为了作图方便，使底面五边形的DE边平行于正投影面，正五边形的正面投影和侧面投影都积聚为一直线，正五棱锥的五个平面除平面SDE是侧垂面外。其余都是一般位置平面，平面SDE得侧面投影积聚为一直线，正面投影和水平投影分别为三角形，但不反映实形，其余各侧面在三个影面上的投影都为三角形，也不反映实形。   为了方便作图，可以根据五棱锥的特点，在作出底面投影的基础上，先作出顶点S的水平投影，s在abcde的中心，在根据五棱锥的高度作出顶点S的正面投影S’，即可求出侧面投影S”，技术那个顶点S的三面投影分别与底面五边形ABCDE三面投影的各顶点连线，即为棱锥的三面投影，由于平面SAE和平面SCD的正面投影布可见，因此，s’e’和s’d’为虚线，侧面投影s”d”和s”c”与s”e”和s”a”重合在一起，d”和c”加括号三，棱台的投影   用平行于棱锥底面的平面切割棱锥，底面和截面之间的部分称为棱台，棱台体是棱锥体的特例。原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面，其他各平面称为棱台的侧面，相邻侧面的公共边称为棱台的侧棱，上、下底面之间的距离称为棱台的高。  现在以正四棱台为例，进行分析。     ABCD和EFGH分别为两水平面，它们在水平面上的投影分别反映实形，在正立面和侧立面上的投影分别积聚为直线，侧面ADHE和BCGF均为侧垂面，在侧立面上的投影积聚为一直线，在正立面上的投影时四边形且重合在一起。另两个侧面ABFE和DCGH均为正垂面，在正立面上的投影积聚为一条直线，在侧立面上的投影时四边形，且重合在一起。由于四棱台前 后 左 右对称，中心线用细点线表示。 以上三个例子说明。平面体的投影，实质上就是其各个侧面的投影，而各个侧面的投影实际上是用其各个侧棱投影来表示，侧棱的投影又是其各顶点投影的连线而成。平面体的投影特点   平面体的投影，实质上就是点、直线和平面投影的集合。    投影图中的线条，可能是直线的投影，也可能是平面的积聚投影。    投影图中线段的交点，可能是点的投影，也可能是直线的积聚投影。   当向某投影面作投影时，凡看得见的直线用实线表示，看不见的直线用虚线表示。    在一般情况下，当平面的所有边线都看得见时，该平面才看得见。四，平面体投影图的画法    已知四棱柱的底面为等腰梯形，梯形两底面边长为a,b高为h，四棱柱的高为H，四棱柱投影图的画法。五，平面体上的点和线 1 棱柱体上的点和线  在五棱柱体（双坡屋面建筑）上有M和N两点，其中M点在平面ABCD上，N点在平面EFGH上。ABCD平面是正平面，它在正立面上的投影反映实形，为一矩形线框。在水平面和侧面上的投影是积聚在水平投影和侧面投影的最前端的直线，因此，M点的水平投影和侧面投影都在这两条积聚线上，而正面投影在ABCD正面投影的矩形线框内。平面EFGH为侧垂面，其侧面投影积聚成一直线，水平投影和正面投影均为一矩形，因此，N点的侧面投影应在EFGH侧面投影的积聚线上，水平投影和正面投影分别在矩形线框内，由于EFGH的正面投影不可见，所以N点的正面投影为不可见，加括号。   以上两点所在的平面都具有积聚性，所以在已知点的一面投影， 其余两面的投影时，可利用平面的积聚性求得。

篇2：工程机械制图投影基础 轴测体的投影

轴测投影图的基本一、轴测投影图的形成   根据平行投影的原理，把形体连同三个坐标轴一起投影到一个新的投影面P上所得的单面投影面，成为轴测投影图，简称轴测图，这种投影方法称为轴测投影法，P平面称为轴测投影面，S方向称轴测投影方向。二、轴测投影图的优缺点和用途    轴测投影图是单面平行投影，也就是在一个投影图上反映了形体的长、宽、高三个方向，因此具有立体感比正投影图强的优点。它的缺点是形体表达不真实。例如，原来平行的空间直角坐标面的矩形，其轴测投影图变成平行四边形，因此度量性差，作图较繁琐。但由于轴测投影图富于立体感，直观性较强，故常作为辅助图样，用来表达建筑室内的空间分隔及家具布置等，以及建筑结构配体的形状和建筑节点的构件做法，还可用于产品广告，商品交易会上的展览面等。三、轴间角和轴向伸缩系数    1、轴间角    在轴测投影面P上，三个轴测投影轴O1X1、O1Y1.O1Z1之间的夹角称为轴间角。    2、轴向伸缩系数    在轴测投影图中，轴测投影轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度之比称为轴向伸缩系数，也称为轴向变形系数、用p.q.R表示。    X轴的轴向伸缩系数     p=O1X1/OX    Y轴的轴向伸缩系数     q=O1Y1/OY    Z轴的轴向伸缩系数     r=O1Z1/OZ四、轴测投影图的特性    由于轴测投影图是平行投影，因此轴测投影图同样具有平行投影的各种特性。    1、平行性    空间平行的直线，其轴测投影仍平行，即原来与坐标轴平行的直线，其轴测投影一定平行于相应的轴测投影图。    2、定比性    空间平行的直线，其轴向伸缩系数相等。物体上与坐标轴平行的线段，与其相应的轴测投影轴具有相同的轴向系数。    3、真实性    空间与轴测投影面平行的直线或平面，其轴测投影均反映实长或实形。五、轴测投影图的分类1、按投影方向的不同分类 A 正轴测投影，投影方向S垂直于轴测投影面P B 斜轴测投影，投影方向S倾斜于轴测投影面P2、按轴向伸缩系数的不同分类 A 正（或斜）等测投影，三个轴向伸缩系数相同。即p=q=r B 正（或斜)二测投影，两个轴向伸缩系数相同，即p=q=2r或p=r=2q或q=r=2p. C 正(或斜）三测投影，三个轴向伸缩系数不同。建筑工程中经常采用的轴测投影有正等测投影，正面斜二测投影和水平斜等测投影。

轴测投影图的基本一、轴测投影图的形成   根据平行投影的原理，把形体连同三个坐标轴一起投影到一个新的投影面P上所得的单面投影面，成为轴测投影图，简称轴测图。这种投影方法称为轴测投影法，P平面称为轴测投影面，S方向称轴测投影方向。二、轴测投影图的优缺点和用途    轴测投影图是单面平行投影，也就是在一个投影图上反映了形体的长、宽、高三个方向，因此具有立体感比正投影图强的优点。它的缺点是形体表达不真实。例如，原来平行的空间直角坐标面的矩形，其轴测投影图变成平行四边形，因此度量性差，作图较繁琐。但由于轴测投影图富于立体感，直观性较强，故常作为辅助图样，用来表达建筑室内的空间分隔及家具布置等，以及建筑结构配体的形状和建筑节点的构件做法，还可用于产品广告，商品交易会上的展览面等。三、轴间角和轴向伸缩系数    1、轴间角    在轴测投影面P上，三个轴测投影轴O1X1、O1Y1.O1Z1之间的夹角称为轴间角。    2、轴向伸缩系数    在轴测投影图中，轴测投影轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度之比称为轴向伸缩系数，也称为轴向变形系数、用p.q.R表示。    X轴的轴向伸缩系数     p=O1X1/OX    Y轴的轴向伸缩系数     q=O1Y1/OY    Z轴的轴向伸缩系数     r=O1Z1/OZ四、轴测投影图的特性    由于轴测投影图是平行投影，因此轴测投影图同样具有平行投影的各种特性。    1、平行性    空间平行的直线，其轴测投影仍平行，即原来与坐标轴平行的直线，其轴测投影一定平行于相应的轴测投影图。    2、定比性    空间平行的直线，其轴向伸缩系数相等。物体上与坐标轴平行的线段，与其相应的轴测投影轴具有相同的轴向系数。    3、真实性    空间与轴测投影面平行的直线或平面，其轴测投影均反映实长或实形。五、轴测投影图的分类1、按投影方向的不同分类 A 正轴测投影，投影方向S垂直于轴测投影面P B 斜轴测投影，投影方向S倾斜于轴测投影面P2、按轴向伸缩系数的不同分类 A 正（或斜）等测投影，三个轴向伸缩系数相同。即p=q=r B 正（或斜)二测投影，两个轴向伸缩系数相同，即p=q=2r或p=r=2q或q=r=2p. C 正(或斜）三测投影，三个轴向伸缩系数不同。建筑工程中经常采用的轴测投影有正等测投影，正面斜二测投影和水平斜等测投影。轴测投影图的画法一、正轴测投影图  （一、）正轴测投影图的轴间角和轴向伸缩系数   正轴测投影是轴测图中最常用的一种，在正轴测投影图中，投影方向S垂直于轴测投影面P,其轴间角与轴向伸缩系数发生变化，这个变化的大小取决于物体与投影面的相对位置。 1、正等轴测投影（简称正等测）的轴间角和轴向伸缩系数。  a.三个轴间角相等，即角X1OY1等于角Y1OZ1等于角Z1OY1等于120°且长度和宽度的两条轴OX1和OY1与水平线成30°  b,轴向伸缩系数相等，p=q=r=0.82,为了作图方便通常采用p=q=r=12、正二等轴测投影（正二测）的轴间角和轴向伸缩系数  a.轴间角X1OZ1等于97°10′角Y1OZ1等于角Y1OX1等于131°25  b 轴向伸缩系数p=r=1  q=0.5正等测图的画法常用的形体正等测图的画法有坐标法、叠加法、切割法和特征面法（1）坐标法 沿坐标轴量取形体关键点的坐标值，用以确定形体上各特征值的轴测投影位置，然后将各特征连线，即可得到相应的轴测投影图，坐标法是画正等测图最基本的方法。 例，已知形体的投影图，如下图所示，画其正等测图1 画出轴测投影轴，通常O1Z1轴的方向是竖直的，而O1X1轴和O1Y1轴的方向是可以互换的，本题的O1X1轴O1Y1轴取法如图6-7（a）所示2在投影图上确定坐标轴及坐标原点，坐标原点选在上顶面中心，根据水平投影分别沿X轴，Y轴量出几个顶点的坐标长，在轴测投影轴上，确定形体的轴测投影点，从而画出形体的上顶面的正等测图，如图（b)所示3 从上顶面的六个角点分别向下引铅垂线，并依据V面投影图的Z坐标长，在所引垂线上量取各棱线的实际高度，连接各顶点，即得到底面的正等测图。（2）叠加法     由几个基本形体组合而成的组合体，可先逐一画出各部分的轴测投影图，然后再将他们叠加在一起，得到组合体轴测投影图，这种画轴测投影图的方法称为叠加法。【例6-2】作台阶的正等测图。从图6-8（a）所示台阶的正投影图中可以看出，台阶由右侧拦板和三级踏步组成。作图时，可以先画右侧拦板，而后画再画踏步，具体作图步骤如下。①   在台阶的三面投影图上引进直角坐标轴[图6-8（a）]。②   画出轴测投影轴，并根据拦板的长度、宽度和高度画出一个长方体[图6-8（b）]。③   根据拦板前上方斜角的尺寸，在长方体上画出这个斜角，并在拦板的左侧平面上根据踏步的宽度和高度画出踏步右侧端面的轮廓线[图6-8（c）]。④   过端画轮廓线的各折点向O1X1轴方向引直线，并根据三级踏步的三个长度尺寸画出三级踏步，完成整个台阶的正等测图[图6-8（d）]。（3）切割法当形体被看成由基本形体切割而成时，可先画形体的基本形体，然后再按基本形体被切割的顺序来切掉多余部分，这种画轴测图方法成为切割法。【例6-3】 已知形体的投影图，如图6-9所示，画其正等测图① 利用坐标法，求得一个大长方体的轴测投影图[图6-10（a）]。② 在大长方体左前侧棱线上平行于OZ1轴截取高度Z1，求出A点的轴测投影位置，同法得出B点与C点，然后过B、C两点分别作平行于O1X1、O1Y1、O1Z1的平行线，即得切割去一个角后的轴测投影图[图6-10（b）]。③ 擦去被切割部分及有关的作图辅助线及不可见线，并加粗轮廓线，便得到形体的正等测图[图6-10（c）]。（4）特征面法当柱体的某一端面较复杂且能反映柱体的特征形状时。可用坐标法先求出特征端面的正等测图，然后沿坐标轴方向延伸成立体，这种画轴测的方法称为特征画法，主要适用于绘制柱体的轴测图。【例6-4】 已知形体的投影图，如图6-11所示，画其正等测图。① 选择特征面,建立坐标轴及坐标原点。② 建立轴测投影轴，利用坐标法作出特征面的正等测图[6-12（a）]。③ 沿特征面上的特征点，分别作平行于O1X1轴的平行线，并截取形体的长度X，然后顺序连接各点得到形体的正等测图。④ 加粗可见轮廓线，求得物体的正等测图[图6-12(b)]。切割法、叠加法以及特征面法的作图方法是在坐标法基础上建立的，对于复杂物体，可以综合采用以上方法。2.正二测图的画法当形体的棱面或棱线与正立面或水平面成45°时，一般选用正二测投影，正二测投影可以使空间形体获得较强的立体感。【例6-5】 作基础的正二测面。①   建立坐标轴以及坐标原点，如图6-13所示。②   建立正二测图的轴测投影轴，利用p=r=1、q=0.5，画出底面的正二测面，如图6-14（a）所示。③   沿O1Z1轴截取高度，分别画出下棱柱的顶面和上棱柱的底面，然后画出上棱柱，并连接四条斜棱线，如图6-14（b）、（c）所示。④   擦除不可见线，加粗可见轮廓线，画出基础的正二测面，如图6-14（d）所示。二、斜轴测投影图（一）斜轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数根据形体倾斜角度的不同，或者投影方向的不同，同一形体可画出不同的斜轴测图。1.  正面斜二测图的轴间角与轴向伸缩系数。 如图6-15所示.①   轴间角∠X1OZ1=90°, ∠Y1OZ1=∠Y1OX1=135°②   轴向伸缩系数p=r=1，q=0.5③   平行于投影面P的形体上的外表面反映实形。2.  水平斜二测面的轴间角与轴向伸缩系数.     如图6-16。①     轴间角∠X1OZ1=90°，∠Y1OZ1=∠Z1OX1=135°或∠Y1OZ1=120°，∠Z1OX1=150°②     轴向伸缩系数p=q=1,r=0.5或p=q=r=1。③     反映物体上与水平面平行表面的实体。（二）斜轴测图的画法1.正面斜二测图的画法画图之前，首先要根据物体的形状特征选定投影的方向，使得画出的轴测投影图具有最佳的表达效果，一般来讲，要把物体形状较为复杂的一面作为正面，并且从左侧上方向或右前上方向进行投影。【例6-6】 作出图6-17（a）所示台阶的正面斜二测面。① 在正投影图上建立坐标轴及坐标原点，如图6-17（a）所示。② 建立轴测投影轴，使台阶的正面XOZ面平行于轴测投影图，为了清楚地反映侧面台阶的形状，把宽向轴（O1Y1轴）画出左侧与水平轴线（O1X1轴）成45°角[图6-17（b）]。③ 用叠加法作两层台阶踏步板的斜二测图，如图6-17（c）、（b）所示。④ 在踏步板的右侧画出栏板的斜二测图，如图6-17（e）所示。⑤ 擦除不可见线，加粗可见轮廓线，作出物体的正面斜二测图，如图6-17（e）所示。2.水平斜等测图的画法   在建筑工程中，水平斜轴投影常用来表达一个地区的建筑群的布局与绿化、交通情况，为了使图形具有较强的立体感和作图方便，取O1Z1轴竖向伸缩系数r=1。【例6-7】 依据一幢房屋的投影图[图6-18（a）]，作出其水平斜等测图。① 坐标原点选择在房屋的右后下角[图6-18（a）]。② 将房屋的水平投影图饶O1Z1轴逆时针旋转30°,建立轴测投影轴（01Z1轴竖向），将房屋基底的投影图画出，如图6-18（b）所示。③ 从基底的各个顶点向上引垂线，并在竖直方向（沿O1Z1轴）量取相应的高度画出房屋的顶面。④ 擦除不可见线，加粗可见轮廓线，作出物体的水平斜等测图，如图6-18（c）所示。

篇3：工程机械制图投影基础平面的投影

一，平面的投影

当平面平行于投影面时，投影仍为一平面，形状，大小与平面一致；当平面垂直于投影面时，投影积聚为一直线；当平面倾斜于投影面时，投影为类似平面形，但不反映实形，

工程机械制图投影基础 (3)平面的投影

。二，平面与投影面的相对位置   根据平面对投影面的相对位置的不同，可分为三种情况；与三个投影面都倾斜的平面，与任一投影面平行或垂直的平面（分别称为投影面平行面和投影面垂直面），前一种称为一般位置平面，后一种称为特殊位置平面。  （一）一般位置平面   空间平面对三个投影面都倾斜，在三个投影面的投影均为类似平面形，既不能反映实形，也不能反映平面对投影的真实夹角，如图；

篇4：工程机械制图投影基础 直线投影

一，直线的投影

当直线平行于投影面时，其投影与直线本身平行且等长，当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点：当直线倾斜于投影面时，其投影为一直线，但其投影线段比空间线段缩短，

工程机械制图投影基础 (2)直线投影

。二，直线对投影面的相对位置   根据直线对投影面的相对位置不同，可分为三种情况；与三投影面都倾斜的直线，与任何一投影面平行或垂直的直线（分别称为投影面平行线和投影面垂直线）。前一种称为一般位置直线，后两种称为特殊位置直线。（一）一般位置直线空间直线倾斜于三个投影面，在三个投影面上既不能反映实体，也不能反映直线对投影面的真实夹角，称为一般位置直线（二）投影面平行线 空间直线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，称为投影面平行线，投影面平行线可分为三种，投影特性；在所平行的投影面上的投影反映实长，在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但其投影长度缩短判别；一斜两直线，定是平行线，斜线在哪面，平行哪个面（投影面）1 水平线。直线平行于H面，倾斜于V，W面2 正平线，直线平行于V面，倾斜于H，W面3侧平线，直线平行于W面，倾斜于V，H面下面以水平线为例，说明其投影特征   a 直线CD平行于H面，在H面投影cd反映实长，以及对V面夹角,对W面得夹角   b 直线CD倾斜于V ， W面，在V面投影c’d’,在W面的投影c”d”为水平方向线，其投影长度缩短。（三）投影面垂直线   空间直线垂直于一个投影面，平行于其他两个投影面，称为投影面垂直线，投影面垂直线分为三种1 铅垂直：直线垂直于H面，平行于V，W面2 正垂直：直线垂直于V面，平行于H，W面3 侧垂直：直线垂直于W面，平行于V，H面投影特性; 在所垂直的投影面上的投影积聚成一点,在另外两个投影面上的投影都反映线段实长,且平行于相应的投影轴判别:  一点两直线,定是垂直线,点在哪面,垂直哪个面(投影面)下面以铅垂线为例，说明其投影特征a  直线EF垂直于H面，在H面投影ef积聚为一点。B  直线平行于V , W面，e’f’,e”f’为铅垂线方向线且反映实长

篇5：工程机械制图投影基础 点的三面投影

一，投影的形成

1 设空间点A放置于三个相互垂直的H，V，W面投影体系中，分别用三组光线进行投影，在H面得到a,在V面得到a’,在W面得到a”图2—1(b)                                图2—1(c)  2 投影的展开 将空间点A移走,把三个投影面按前述方法展开,如图2—1(b)所示,再去掉边框,保留投影轴,如图2—1(c)所示3 点的标注 在,点的投影中规定:凡是空间点用大写字母表示,如A,B,C等,若空间点为A,经过投影后,在H面为a,在V面为a’ ,在W面为a”4点的投影规律(1)两点的连线垂直于投影轴,1、aa’⊥ox;       (长对正)2、a’a’’⊥oz；     (高平齐)3、aax=a”az，

工程机械制图投影基础 (1)点的三面投影

，    (宽相等)（2）点到投影轴的距离分别等于空间点到相应投影面的距离，即a’ax=Aa=空间A点至H面的距离:a ax=Aa’=空间A点至V面的距离思考题,已知道A的两面投影a’ , a,求点A的侧面投影a”二 点的相应位子空间两点的相对位置可利用在投影图中各同面投影来判断在三面投影中规定：0X轴向左，OY轴向前，OZ轴向上为三条轴的正方向。判断A，B两点的相对位置。如图所示，从V，H面投影看出，空间A点在B点的左方：从H，W面可看出A点在B点的后面：从V，W面可看出A点在B点的上方。最后可归纳为：空间A点在B点的左，后，上方；B点在A点的右，前，下方三，重影点及可见性   当空间两点位于同一条投射线上，则该两点在相应投影面上重叠，重叠的两点称为重影点。   如图所示，当A，B两点在H面同一条投射线上，A点在B点的上方，它们在H面投影重合为一点，A点为可见点，B点为不可见点，在投影图中规定，重影点中不可见点的投影用字母加括号表示

篇6：机械制图基础-点、直线和平面的投影

投影法知识 一、投影法的概念   投影法是画法几何学的基本方法，如图2.1所示，为投影中心，为空间一点，为投影面，连线为投射线。投射线均由投影中心射出，射过空间点的投射线与投影面相交于一点，点称作空间点在投影面上的投影。同样，点是空间点在投影面上的投影。在投影面和投射中心确定的条件下，空间点在投影面上的投影是唯一确定的。

图2.1 投影法                            图2.2 中心投影法    画法几何就是靠这种假设的投影法，确定空间的几何原形在平面上（图纸上）的图像。图2.2是三角板投影的例子。二、投影法的种类   上述的投影法，投射线均通过投影中心，称为中心投影法，如图2.2所示。如果投射线互相平行，此时，空间几何原形在投影面上也同样得到一个投影，这种投影法称为平行投影法。当平行的投射线对投影面倾斜时，称为斜投影法，如图2.3所示。当平行的投射线与投影面垂直时，称为正投影法，如图2.4所示。图2.3 平行投影法——斜投影法           图2.4 平行投影法——正投影法     平行投影的特点之一是，空间的平面图形（如图2.3和图2.4中的三角板）若和投影面平行，则它的投影反映出真实的形状和大小。三、正投影法的基本性质1、类似性：当线段或平面与投影面倾斜时，其线段投影小于实长；平面的投影为小于实形的类似形。2、不变性：当线段或平面与投影面平行时，其反映实长或实形投影。3、积聚性：当线段或平面与投影面平行时，投影积聚。4、从属性和定比性：机械工程上常用几种投影图一、正投影图   正投影图是一种多面投影图，它采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别采用正投影法获得几何原形的投影。由这些投影便能确定该几何原形的空间位置和形状。图2.5是某一几何体的正投影。图2.5 几何体的正投影                       图2.6 几何体的轴测投影图        采用正投影图时，常将几何体的主要平面放成与相应的投影面相互平行。这样画出的投影图能反映出这些平面的实形。因此说正投影图有很好的度量性，而且正投影图作图也较简便。在机械制造行业和其他工程部门中，被广泛采用。二、轴测投影图   轴测投影图是单面投影图。先设定空间几何原形所在的直角坐标系，采用平行投影法，将三根坐标轴连同空间几何原形一起投射到投影面上。图2.6是某一几何体的轴测投影图。由于采用平行投影法，所以空间平行的直线，投影后仍平行。采用轴测投影图时，将坐标轴对投影面放成一定的角度，使得投影图上同时反映出几何体长、宽、高三个方向上的形状，增强了立体感。三、标高投影图   标高投影图是采用正投影法获得空间几何元素的投影之后，再用数字标出空间几何元素对投影面的距离，以在投影图上确定空间几何元素的几何关系。图2.7是曲面的标高投影。图中一系列标有数字的曲线称为等高线。图2.7 曲面的标高投影                    图2.8 几何体的透视投影图标高投影图常用来表示不规则曲面，如船舶、飞行器、汽车曲面及地形等。四、透视投影图   透视投影图用的是中心投影法。它与照相成影的原理相似，图像接近于视觉映像。所以透视投影图富有逼真感、直观性强。按照特定规则画出的透视投影图，完全可以确定空间几何元素的几何关系。   图2.8是某一几何体的一种透视投影图。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，有的在投影后就不平行了。透视投影图广泛用于工艺美术及宣传广告图样。

投影法知识 一、投影法的概念   投影法是画法几何学的基本方法。如图2.1所示，为投影中心，为空间一点，为投影面，连线为投射线。投射线均由投影中心射出，射过空间点的投射线与投影面相交于一点，点称作空间点在投影面上的投影。同样，点是空间点在投影面上的投影。在投影面和投射中心确定的条件下，空间点在投影面上的投影是唯一确定的。

图2.1 投影法                            图2.2 中心投影法    画法几何就是靠这种假设的投影法，确定空间的几何原形在平面上（图纸上）的图像。图2.2是三角板投影的例子。二、投影法的种类   上述的投影法，投射线均通过投影中心，称为中心投影法，如图2.2所示。如果投射线互相平行，此时，空间几何原形在投影面上也同样得到一个投影，这种投影法称为平行投影法。当平行的投射线对投影面倾斜时，称为斜投影法，如图2.3所示。当平行的投射线与投影面垂直时，称为正投影法，如图2.4所示。图2.3 平行投影法——斜投影法           图2.4 平行投影法——正投影法     平行投影的特点之一是，空间的平面图形（如图2.3和图2.4中的三角板）若和投影面平行，则它的投影反映出真实的形状和大小。三、正投影法的基本性质1、类似性：当线段或平面与投影面倾斜时，其线段投影小于实长；平面的投影为小于实形的类似形。2、不变性：当线段或平面与投影面平行时，其反映实长或实形投影。3、积聚性：当线段或平面与投影面平行时，投影积聚。4、从属性和定比性：机械工程上常用几种投影图一、正投影图   正投影图是一种多面投影图，它采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别采用正投影法获得几何原形的投影。由这些投影便能确定该几何原形的空间位置和形状。图2.5是某一几何体的正投影。图2.5 几何体的正投影                       图2.6 几何体的轴测投影图        采用正投影图时，常将几何体的主要平面放成与相应的投影面相互平行。这样画出的投影图能反映出这些平面的实形。因此说正投影图有很好的度量性，而且正投影图作图也较简便。在机械制造行业和其他工程部门中，被广泛采用。二、轴测投影图   轴测投影图是单面投影图。先设定空间几何原形所在的直角坐标系，采用平行投影法，将三根坐标轴连同空间几何原形一起投射到投影面上。图2.6是某一几何体的轴测投影图。由于采用平行投影法，所以空间平行的直线，投影后仍平行。采用轴测投影图时，将坐标轴对投影面放成一定的角度，使得投影图上同时反映出几何体长、宽、高三个方向上的形状，增强了立体感。三、标高投影图   标高投影图是采用正投影法获得空间几何元素的投影之后，再用数字标出空间几何元素对投影面的距离，以在投影图上确定空间几何元素的几何关系。图2.7是曲面的标高投影。图中一系列标有数字的曲线称为等高线。图2.7 曲面的标高投影                    图2.8 几何体的透视投影图标高投影图常用来表示不规则曲面，如船舶、飞行器、汽车曲面及地形等。四、透视投影图   透视投影图用的是中心投影法。它与照相成影的原理相似，图像接近于视觉映像。所以透视投影图富有逼真感、直观性强。按照特定规则画出的透视投影图，完全可以确定空间几何元素的几何关系。   图2.8是某一几何体的一种透视投影图。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，有的在投影后就不平行了。透视投影图广泛用于工艺美术及宣传广告图样。

点的投影   物体是由点、线和面组成，其中点是最基本的几何元素，下面从点开始来说明正投影法的建立及其基本原理。一、点在两投影面体系中投影（1）点的两个投影能唯一地确定该点的空间位置   首先建立两个互相垂直的投影面H及V，其间有一空间点A，它向投影平面H投影后得投影a，向投影平面V投影后得投影a′，投射线Aa及A a′是一对相交线，故处于同一平面内，如图2.9所示。图2.9 点的两面投影                 图2.10 两个投影能唯一确定空间点   从图2.9可知，若移去空间点A，由点的两个投影a、a′就能确定该点的空间位置。另外，由于两个投影平面是相互垂直的，可在其上建立笛卡尔坐标体系，如图2.10所示。已知a，即已知x、y两个坐标。已知a′，即已知x、z两个坐标，因此，已知空间点A的两个投影a及a′，即确定了空间点A的x、y及z三个坐标，也就唯一地确定该点的空间位置。（2）术语及规定1.术语   如图2.11（a）所示：   水平位置的投影面称水平投影面，用H表示。   与水平投影面垂直的投影面称正立投影面，用V表示。   两投影面的交线称投影轴，用OX表示。   空间点用大写字母（如A、B、…）表示。   在水平投影面上的投影称水平投影，用相应小写字母（如a、b、…）表示。   在正立投影面上的投影称正面投影，用相应小写字母加一撇（如a′、b′、…）表示。2.规定   图2.11（a）所示为一直观图。   为使两个投影a和a′画在同一平面（图纸）上，规定将H面绕OX轴按图示箭头方向旋转90°，使它与V面重合，这样就得到如图2.11（b）所示点A的两面投影图。投影面可以认为是任意大的，通常在投影图上不画它们的范围，如图2.11（c）所示。投影图上细实线a a′称为投影连线。由于图纸的图框可以不用画出，所以今后常常利用图2.11（c）所示的两面投影图来表示空间的几何原形。(a) 两投影面体系                   （b）两面投影图             （c）不画投影面的范围图2.11 两面投影图的画法 （3）两面投影图的性质1.一点的两个投影连线垂直于投影轴（a a′⊥OX a′到点O 因为投射线Aa a′构成了一个平面Aaax a′，如图2.11（a）所示。它垂直于H面，也垂直于V面，则必垂直于H面和V面的交线OX。所以处于平面Aaax a′上的直线aaxa′ax必垂直于OXa′ax⊥OXax、a′三点共线，且a′ax⊥OX。。当a跟着H面旋转而和V面重合时，则aax⊥OX的关系不变。因此投影图上的a、，即aax⊥OX和和和A2.一点的水平投影到OX a′），都反映y a′=y）；其正面投影到OXa′ax)等于该点到Ha′ax=Aa=z）。面的距离(Aa)，都反映z坐标（轴的距离(坐标（aax=A轴的距离（aax）等于该点到V面的距离（A二、点在三投影面体系中的投影图2.12  需用三面投影图表示的几何体    点的两个投影已能确定该点的空间位置。但为更清楚地表达某些几何体，有时需采用三面投影图。例如图2.12 所示的几何体投影，相同的正面和水平投影，只有确定了其第三面投影，才能清楚地表示出该几何体的形状。   由于三投影面体系是在两投影面体系基础上发展而成，因此两投影面体系中的术语及规定、投影图的性质，在三投影体系中仍适用。此外，它还有一些本身的术语及规定、投影图的性质。（1）术语及规定   与正立投影面及水平投影面同时垂直的投影面称侧立投影面，用W表示，如图2.13所示。   在侧立投影面上的投影称侧面投影，用小写字母加两撇（如a″、b″、…）表示。   规定W面绕OZ轴按图示箭头方向转90°和V面重合，得到三个投影的投影图。投影图中OY轴一分为二，随H面转动的以OYH表示，随W面转动的以OYw表示。（2）三面投影图的性质1.一点的侧面投影与正面投影连线垂直于OZ轴（a′a″⊥OZ）。因侧立投影面与正立投影面也构成一个两投影面体系，故由上面内容可知，此性质成立。2.点的水平投影a到OX轴的距离（aax）和侧面投影a″到OZ轴的距离（a″az）均等于A到V面的距离（Aa′）都反映y坐标(aax=a″az=Aa′=y)。为作图方便，也可自点O作45°辅助线，以实现这个关系，如图2.13（b）所示。以上的性质是画点的投影图必须遵守的重要依据。(a)                                    (b)                      图2.13 三面投影图性质和画法三、特殊位置点的投影   特殊情况下，点有可能处于投影面上、投影轴上。（1）在投影面上的点（a）                               （b）图2.14 投影面及投影轴上的点   如图2.14(a)所示，点A、B、C分别处于V面、H面、W面上,它们的投影如图2.14(b)所示，由此得出处于投影面上的点的投影性质：1.点的一个投影与空间点本身重合2.点的另外两个投影，分别处于不同的投影轴上（2）在投影轴上的点   如图2.14所示，当点D在OY轴上时，点D和它的水平投影、侧面投影重合于OY轴上，点D的正面投影位于原点。   据此可以得出在投影轴上的点的投影性质。四、两点的相对位置及重影点（1）两点相对位置的确定   立体上两点间相对位置，是指在三面投影体系中，一个点处于另一个点的上、下、左、右、前、后的问题。两点相对位置可用坐标的大小来判断，Z坐标大者在上，反之在下；Y坐标大者在前，反之在后；X坐标大者在左，反之在右。图2.15中，A、C两点的相对位置 ：ZAZC,因此点A在点C之上；YAYC，点A在点C之前；XAXC，点A在点C之右，结果是点在点C的右前上方。图2.15 两点的相对位置及重影点（2）重影点   当空间两点的某两个坐标相同，即位于同一条投射线上时，它们在该投射线垂直的投影面上的投影重合于一点，此空间两点称为对该投影面的重影点。如图2.15中，A、B两点位于垂直于V面的同一条投射线上（XA=XB，ZA=ZB），正面投影a′和b′重合于一点。由水平投影（或侧面投影）可知YAYB，即点A在点B的前方。因此点B的正面投影b′被点A的正面投影a′遮挡，是不可见的，规定在b′上加圆括号以示区别。   总之，某投影面上出现重影点，判别哪个点可见，应根据它们相应的第三个坐标的大小来确定，坐标大的点是重影点中的可见点。【例2.1】已知点B的正面投影b′及侧面投影b″，试求其水平投影b。   分析：根据点的三面投影的性质，可以利用点B的正面投影和侧面投影求出点B的水平投影b。   作图：由于b与b′的连线垂直于OX轴，所以b一定在过b′而垂直于OX轴的直线上。又由于b至OX轴的距离必等于b″至OZ轴的距离，使bbx等于b″bz，便定出了b的位置，如图2.16（b）所示。(a)                         (b)图2.16 求第三投影【例2.2】已知A（28，0，20）、B（24，12，12）、C（24，24，12）、D（0，0，28）四点，试在三投影面体系中作出直观图，并画出投影图。   分析：由于把三投影面体系与空间直角坐标系联系起来，所以已知点的三个坐标就可以确定空间点在三投影面体系中的位置，此时点的三个坐标就是该点分别到三个投影面的距离。   作图：作直观图，如图2.17（a）所示，以B点为例，在OX轴上量取24，OY轴上量取12，OZ轴上量取12，在三个轴上分别得到相应的截取点bx、by和bz，过各截点作对应轴的平行线，则在V面上得到正面投影b′，在H面上得到水平投影b，在W面上得到了侧面投影b″。   同样的方法，可作出点A、C、D的直观图。其中A点在V面上（因为YA=0），其正面投影a′与A重合，水平投影a在OX轴上，侧面投影a″在OZ轴上。D点在OZ轴上（XD=YD=0），其正面投影d′、侧面投影d″与D点重合于OZ轴上，水平投影d在原点O处。   点B和点C有两个坐标相同（XB=XC，ZB=ZC），所以它们是对V面的重影点。它们的第三个坐标YBYC，正面投影c′可见，b′不可见加上圆括号。    根据各点的坐标作出投影图，如图2.17（b）。(a)                                   (b)图2.17 由点的坐标作直观图和投影图

篇7：3.2点、直线和平面的投影分析_机械制图基础

3.2 点、直线和平面的投影分析

3.2.1 点的投影一、三投影面体系由正立投影面V、水平投影面H 和侧立投影面W 三个互相垂直的投影面构成的投影面体系称为三投影面体系，

3.2点、直线和平面的投影分析_机械制图基础

。正立投影面简称正面或V 面、水平投影面简称水平面或H 面、侧立投影面简称侧面或W 面。三投影面两两相交产生的交线OX、OY、OZ 称为三根投影轴，简称X 轴、Y 轴、Z 轴（如右图）,三轴的交点O 称为原点。

二、点的三面投影

空间一点A 在三面投影体系中分别向三个投影面H、V、W作投射线，投射线在H面、V面、W面的垂足a、a'、a“称为点A 的三面投影（如右图）。图中每两条投射线分别确定一个平面，它们与三根投影轴分别交于ax，ay和az。

约定：空间点用大写字母表示，例如A；投影用相应的小写字母表示，例如水平投影a；正面投影用相应的小写字母带“'”表示，例如a'； 侧面投影用相应的小写字母带“””表示，例如a“。

三、点的投影图

V 面不动，H 面和W 面沿OY 轴分开而形成OYH 和OYW，水平面H 和水平投影一起绕OX 轴往下旋转与正面V 重合；侧面W 连同侧面投影一起绕OZ 轴往右旋转与正面V 重合得到展开后的投影图（如图(b)）。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称。常见的点的投影图如图(c)。

(a)点A的三面投影及其展开(b)H面、W面转到与V面重合(c)点的投影图

四、点的投影规律

由下图可见：Aa = a'ax = a”ay = z 坐标，反映点A 到H 面的距离；Aa' = aax = a“az = y 坐标，反映点A 到V 面的距离；Aa” = aay = a'az = x 坐标，反映点A 到W 面的距离。同时有：a'a 垂直于OX 轴，a'a“ 垂直于OZ 轴，aa” 垂直于OY 轴。

点的三面投影规律为：

1、两面投影连线垂直于相应的投影轴；

2、点的投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离，等于该点的相应坐标。

(a)点在三面投影体系中的投影(b)展开图

空间点A到三个投影面的距离Aa“、Aa'、Aa可用点A的三个直角坐标xA、yA和zA表示，记为（xA,yA,zA）。

例3-1 已知空间点A（11,8,15），求作它的三面投影图。

例3-2 如下图所示，已知空间点B 的正面投影b′和水平投影b，求作该点的侧面投影b″。

分析： 由点的投影规律可知：b′b″⊥ 0Z 轴，所以 b″一定在过b′且垂直于OZ轴的直线上，又因b到OX轴的距离bbx等于b″到OZ轴的距离b″bz，利用此关系，便可以求得b″。

3.2.2 两点的相对位

如图(a)所示，有A、B 两个点，它们对投影面的相对位置确定了A、B 两点各自的坐标，而A、B 两点间的相对位置是由各方向的坐标差来决定的。 如图(b)所示，设点A 和点B 的坐标分别为(XA、YA、ZA)和(XB、YB、ZB)，如以点A 为基准点，当点B 与它比较时，则点B 对点A 的一组坐标差为：

△X(X轴方向坐标差)＝XB－XA，确定两点左、右相对位置； △Y (Y 轴方向坐标差)＝YB－YA，确定两点Z(Z轴方向坐标 差)＝ZB－ZA，确定两点上、下相对位置。 △X、△Y、△Z为正时，点B 分别在基准点A 的左方、前方、上方； △X、△Y、△Z 为负时，点B 分别在基准点A 的右方、后方、下方，

3.2 点、直线和平面的投影分析

3.2.1 点的投影一、三投影面体系由正立投影面V、水平投影面H 和侧立投影面W 三个互相垂直的投影面构成的投影面体系称为三投影面体系。正立投影面简称正面或V 面、水平投影面简称水平面或H 面、侧立投影面简称侧面或W 面。三投影面两两相交产生的交线OX、OY、OZ 称为三根投影轴，简称X 轴、Y 轴、Z 轴（如右图）,三轴的交点O 称为原点。

二、点的三面投影

空间一点A 在三面投影体系中分别向三个投影面H、V、W作投射线，投射线在H面、V面、W面的垂足a、a'、a”称为点A 的三面投影（如右图）。图中每两条投射线分别确定一个平面，它们与三根投影轴分别交于ax，ay和az。

约定：空间点用大写字母表示，例如A；投影用相应的小写字母表示，例如水平投影a；正面投影用相应的小写字母带“'”表示，例如a'； 侧面投影用相应的小写字母带““”表示，例如a”。

三、点的投影图

V 面不动，H 面和W 面沿OY 轴分开而形成OYH 和OYW，水平面H 和水平投影一起绕OX 轴往下旋转与正面V 重合；侧面W 连同侧面投影一起绕OZ 轴往右旋转与正面V 重合得到展开后的投影图（如图(b)）。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称。常见的点的投影图如图(c)。

(a)点A的三面投影及其展开(b)H面、W面转到与V面重合(c)点的投影图

四、点的投影规律

由下图可见：Aa = a'ax = a“ay = z 坐标，反映点A 到H 面的距离；Aa' = aax = a”az = y 坐标，反映点A 到V 面的距离；Aa“ = aay = a'az = x 坐标，反映点A 到W 面的距离。同时有：a'a 垂直于OX 轴，a'a” 垂直于OZ 轴，aa“ 垂直于OY 轴。

点的三面投影规律为：

1、两面投影连线垂直于相应的投影轴；

2、点的投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离，等于该点的相应坐标。

(a)点在三面投影体系中的投影(b)展开图

空间点A到三个投影面的距离Aa”、Aa'、Aa可用点A的三个直角坐标xA、yA和zA表示，记为（xA,yA,zA）。

例3-1 已知空间点A（11,8,15），求作它的三面投影图。

例3-2 如下图所示，已知空间点B 的正面投影b′和水平投影b，求作该点的侧面投影b″。

分析： 由点的投影规律可知：b′b″⊥ 0Z 轴，所以 b″一定在过b′且垂直于OZ轴的直线上，又因b到OX轴的距离bbx等于b″到OZ轴的距离b″bz，利用此关系，便可以求得b″。

3.2.2 两点的相对位

如图(a)所示，有A、B 两个点，它们对投影面的相对位置确定了A、B 两点各自的坐标，而A、B 两点间的相对位置是由各方向的坐标差来决定的。 如图(b)所示，设点A 和点B 的坐标分别为(XA、YA、ZA)和(XB、YB、ZB)，如以点A 为基准点，当点B 与它比较时，则点B 对点A 的一组坐标差为：

△X(X轴方向坐标差)＝XB－XA，确定两点左、右相对位置； △Y (Y 轴方向坐标差)＝YB－YA，确定两点Z(Z轴方向坐标 差)＝ZB－ZA，确定两点上、下相对位置。 △X、△Y、△Z为正时，点B 分别在基准点A 的左方、前方、上方； △X、△Y、△Z 为负时，点B 分别在基准点A 的右方、后方、下方。

篇8：3.1 投影方法概述_机械制图基础

在日常生活中，人们可以看到物体在太阳光或灯光照射下，在地面或墙壁上产生物体的影子， 这就是一种投影现象，投影法就是根据这一现象，经过科学的抽象，将物体表示在平面上的方法。

3.1.1 投影法的基本概念 在日常生活中，人们可以看到物体在太阳光或灯光照射下，在地面或墙壁上产生物体的影子，这就是一种投影现象。投影法就是根据这一现象，经过科学的抽象，将物体表示在平面上的方法。投影法是在平面上表达空间物体的基本方法，是绘制工程图样的基础。根据投影法所得到的图形称为投影图。 我们称光线为投射线（投射方向），地面或墙面为投影面，影子为物体在投影面上的投影。如右图所示，设过空间一点A，作与投射方向S平行的投射线，它和所设投影面H 相交，交点a 为空间点A 在该投影面上的投影。

注意：当投射方向和投影面确定后，点A 在投影面上的投影是唯一的。

3.1.2 投影法的分类

投影法可以分为两类：中心投影法，平行投影法。

一、中心投影法

所有投射线从同一投影中心出发的投影方法，称为中心投影法。按中心投影法做出的投影称为中心投影。如图所示，设S 为投影中心，△ABC 在投影面 H 上的中心投影为△abc。用中心投影法得到的物体的投影大小与物体的位置有关。在投影中心与投影面不变的情况下，当△ABC 靠近或远离投影面时，它的投影△abc 就会变大或变小，且一般不能反映△ABC 的实际大小。这种投影法主要用于绘制建筑物的透视图。因此，在一般的工程图样中，不采用中心投影法。

平行投影法按投影方向与投影面是否垂直，可分为斜投影法(如图a)和正投影法(如图b)。

正投影法能在投影面上较“真实”地表达空间物体的大小和形状，且作图简便，度量性好，在工程中得到广泛的采用。 机械图样就是采用正投影法绘制的。本课程主要学习这种投影方法。

规定：凡空间点或几何元素用大写字母表示。

(a)斜投影法                                             (b)正投影法3.1.3 直线和平面的投影特点用正投影法画出的空间几何元素（点、线、面）和物体的投影称为正投影。本网络课程后面常把正投影称为投影。直线和平面的投影特点有类似性、显实性、积聚性。

一、直线和平面投影的类似性

物体上倾斜于投影面的平面图形的投影为缩小的类似形[注]，倾斜于投影面的直线段为缩短了的直线段。如图，直线 AB 倾斜于投影面V，其投影a'b'

这种投影性质称为投影的类似性。

[注]类似形不是相似形，但图形最基本的特征不变。第三章 正投影法基础

投影说课稿

《投影》教学设计

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激光投影项目可行性方案