匀变速直线运动模型复习（解析版）

专题04 匀变速直线运动模型复习

一、解答题

1．强行超车是道路交通安全的极大隐患之一、下图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以

的速度在平直路面上匀速行驶，其中甲车车身长

、货车车身长

，货车在甲车前

处。若甲车司机开始加速从货车左侧超车，加速度大小为

。假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：

（1）甲车完成超车至少需要多长时间；

（2）若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时甲、乙两车头间距离为

，乙车速度为

，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，求多长时间后甲、乙两车头相遇；

（3）在（2）问中，甲车开始超车时，乙车立即匀减速直线运动，为了保证甲、乙两车头相遇时，甲车完成超车，乙车减速的加速度至少为多大。

【答案】（1）4s；（2）3s；（3）

【解析】

（1）设甲经过时间t1完成超车，根据位移关系可得

解得

（2）设甲开始超车后经过时间t2甲、乙两车头相遇，根据位移关系可得

解得

（3）当甲刚好完成超车时，甲、乙两车头相遇，此时乙车减速的加速度最小，设为a2，根据位移关系可得

解得

2．春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0=9m区间的速度不超过v0=6m/s．现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲=20m/s和v乙=34m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲=2m/s2的加速度匀减速刹车．

(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章；

(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9m处的速度恰好为6m/s并以这一速度开始匀速通过收费站窗口，乙车司机在发现甲车刹车时经t0=0.5s的反应时间后开始以大小为a乙=4m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？

【答案】(1) 100m (2) 66m

【解析】

(1)对甲车速度由20m/s减速至6m/s的位移为：

x2=x0+x1=100m

即甲车司机需在离收费站窗口至少100m处开始刹车

(2)设甲、乙两车速度相同时的时间为t，由运动学公式得：v乙-a乙（t-t0）=v甲-a甲t

代入数据解得：

t=8s

相同速度

v=v甲-a甲t=4m/s＜6m/s

二者不相撞的临界条件是二者速度为4m/s时，二者速度减为4m/s时如果不相撞，那么它们减到6m/s时一定不会相撞．因为题目要求二者的速度不能超过6m/s，所以为避免二者不相撞，二者开始的最小距离都按减到6m/s时计算乙车从开始以34m/s减速至6m/s的位移为：

代入数据解得：

x3=157m

乙车所用的时间：

甲车速度达到6m/s所需的时间：

此时甲车的位移：x1+v0△t=91m，所以要满足条件甲、乙的距离为：

x=x3-x1′=157-91m=66m

3．为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离，已知某公路的限速v=108km/h，假设前方车辆突然停止，后面司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速经历的时间（即反应时间）

，刹车时汽车的加速度大小为4m/s2，该公路上行驶的汽车的距离至少应为多少？

【答案】127.5m

【解析】

由于

根据运动学公式得，匀速运动的位移为

又匀减速直线运动的位移为

故车距至少为

4．在2014年底，我国不少省市ETC联网正式启动运行，ETC是电子不停车收费系统的简称.汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以正常行驶速度v1=16m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d=12m处正好匀减速至v2=4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0=25s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶.设汽车在减速和加速过程中的加速度大小分别为a1=2m/s2，和a2=1m/s2。求：

(1)汽车过人工收费通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；

(2)汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；

(3)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道速度再达到v1时节约的时间△t是多少?

【答案】(1)192m；(2)192m；(3)28s

【解析】

(1)汽车过人工收费通道时，匀减速直线运动的位移

匀加速直线运动的位移

从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小

(2)汽车过ETC通道时，匀减速直线运动的位移

匀加速直线运动的位移

从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小

(3)过人工通道所需的时间

过ETC通道所需的时间

则节约的时间

5．某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭发射后始终在竖直方向上运动。火箭点火后受到燃料的推力而做初速度为零的匀加速直线运动，经过2s到达离地面10m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g=10m/s2，求：

（1）火箭匀加速上升阶段的加速度大小a；

（2）火箭从发射到落回发射点的时间（结果可以保留根号）。

【答案】（1）

；（2）

【解析】

（1）火箭匀加速阶段，根据

解得

（2）火箭燃料用完时的速度为

火箭能够继续上升的时间

火箭能够继续上升的高度

因此火箭离地的最大高度

火箭由最高点落至地面的时间

火箭从发射到返回发射点的时间

6．交通新规“礼让行人”已为广大司机所遵守。小张驾驶汽车沿平直公路匀速行驶时，前方突然有行人过马路，小张紧急刹车（刹车过程视为匀变速直线运动），恰好在离人行横道1m处停下。从刹车开始计时，若在连续每秒的时间内，汽车的位移依次为18m、14m、10m，……，求：

（1）汽车刚刹车时的速度大小；

（2）汽车刚刹车时离人行横道的距离为多少。

【答案】（1）

；（2）51m

【解析】

（1）设汽车加速度大小为a，由

得

解得

刹车后前两秒的平均速度为

它刚好是刹车1s时的瞬时速度，根据

得

（2）根据

得

刹车距离为

所以刚刹车时，汽车距离行人行横道51m。

7．冰壶运动被称为冰上象棋，比赛具有挑战性和观赏性，某次比赛中，运动员将静止于

点的冰壶（视为质点）沿直线

的方向推到A点放手，OA段运动可视为匀加速直线运动，加速度大小为a0，放手后冰壶沿

滑行，最后停于C点，AC＝L，OA=

=r，

（1）求冰壶在AC段减速滑行的加速度大小a1；

（2）为使冰壶最后停在

，运动员可在AC滑道上从A点开始用特制的冰刷在冰壶前面摩擦冰面，使冰壶在摩擦过的区域内减速滑行的加速度大小为（1）中a1的一半，求运动员摩擦冰面的长度

；

（3）接（2）问，以

为圆心

为半径有一圆形区域，冰壶最后停在圆形区域的中心空白圆形区域内可以晋级（已知中心空白区域的半径为

）停在环形阴影区域出局。为晋级，求运动员从A点开始摩擦冰面的长度范围。

【答案】（1）

；（2）2r；（3）

<s，<

【解析】

（1）由题意可得，OA段有

AC段有

（2）运动员从A点开始摩擦冰面的长度为s，冰壶运动有

剩余部分运动为

解得

代入

解得

s=2r

（3）运动员从A点开始摩擦冰面的长度为

，有

剩余部分运动为

或

代入解得

或

运动员摩擦冰面的长度s，的范围为

<s<

8．恶劣天气、酒驾是公路交通事故的诱因，公路上行驶的汽车，司机从发现前方异样到紧急刹车，汽车仍将前进一段距离才能停下来，为保证安全，这段距离内不能有车辆和行人，因此把这段距离称为安全距离。驾驶员A的正常反应时间为1s，晴天时A驾驶汽车在干燥路面上行驶，速度为108km/h，测得安全距离为120米，若雨天时汽车刹车加速度大小为晴天时的

，驾驶员A酒驾，反应时间为正常反应时间的2倍，该驾驶员A仍与前面的B车保持120米的距离以108km/h的速度行驶，求：

（1）晴天时驾驶员A驾驶的汽车在路面上刹车的加速度大小；

（2）雨天时若B车突然停止，酒驾驾驶员A驾驶的汽车将以多大的速度与B车相撞。

【答案】（1）

；（2）

【解析】

（1）晴天时驾驶员A从发现目标到停下的距离

根据题意知

求得

（2）雨天时，酒驾驾驶员A与B车相撞时的位移

根据题意知

联立解得

9．高空落物危害巨大，一小石头从大楼某一高度自由落下（可视为自由落体运动），底楼墙根边某架照相机抓拍到小石子运动，在照片上留下了一条模糊的径迹AB，如图所示，已知每块砖的平均厚度约为7cm，重力加速度g取10m/s2，曝光时间为0.01s；请估算：

（1）小石头经过位置A时的速度vA；

（2）小石头被照相机抓拍到之前已经运动的运动时间tA；

（3）小石头下落的位置距离墙根的高度H。

【答案】（1）

；（2）

；（3）10.32m

【解析】

（1）设每块砖宽为d，对径迹AB有

由题图可知

代入数据求得

（2）根据自由落体运动速度—时间公式，可得小石头下落到A点的时间

代入数据可得

（3）由题图可知A点距离墙根大约8.5块砖的宽度，则小石头下落的位置距离墙根的高度

10．新交规规定：“在没有信号灯的路口，一旦行人走上人行道，机动车车头便不能越过停止线”。如图所示，一长度为D=5m的卡车以v0=10m/s的初速度向左行驶，人行道宽度为L2=5m。同时，一距离路口为L3=3m的行人以v1=1m/s的速度匀速走向长度为L4=9m的人行道。则：

(1)若发现行人在图中位置时，车头距人行道的距离L1=40m，司机立即使车匀加速运动，要保证卡车整体穿过人行道时，人还没有走上人行道，求卡车加速度的最小值；

(2)若发现行人在图中位置时，车头距人行道的距离L1=84m，司机立即使车匀减速运动，要保证不违反交规，求卡车加速度的最小值。

【答案】(1)

m/s2；(2) 0.5m/s2

【解析】

(1)设卡车加速度最小为a0，人经过时间t0走上人行道，以初速度方向为正方向，则：

解得

加速度最小为

(2)设人恰好通过人行道时，卡车恰好不越过停止线，此种情况下的加速度大小为a

则：

解得

设此时卡车的速度为v，则由

可得

即卡车还未越过停止线，故加速度的最小值为0.5m/s2。

11．—块石头从地面竖直向上抛出。抛出后经过

和

石头处于距离地面同一高度H的地方。不计空气阻力，重力加速度为

，求：

（1）石头从地面抛出时的初速度大小；

（2）距离地面的高度H。

【答案】（1）4m/s；（2）0.8m

【解析】

（1）由题意可知，物体上升到最大高度时的时间为

则从最高点落地的时间也为t=0.4s，由逆向思维可知，石头从地面抛出时的初速度大小

（2）距离地面的高度

12．为提高通行效率，许多高速公路出入口安装了电子不停车收费系统ETC．甲、乙两辆汽车分别通过ETC通道和人工收费通道(MTC)驶离高速公路，流程如图所示．假设减速带离收费岛口x=60m，收费岛总长度d=40m，两辆汽车同时以相同的速度v1=72km/h经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动．甲车减速至v2=36km/h后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行；乙车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t0=15s的时间缴费成功，人工栏打开放行．随后两辆汽车匀加速到速度v1后沿直线匀速行驶，设加速和减速过程中的加速度大小相等，求：

(1)此次人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差

；

(2)两辆汽车驶离收费站后相距的最远距离

．

【答案】(1)17s；(2)400m

【解析】

km/s=20m/s，

km/s=5m/s，

km/s=10m/s，

（1）两车减速运动的加速度大小为

m/s2，

甲车减速到

，所用时间为

s，

走过的距离为

m，

甲车从匀速运动到栏杆打开所用时间为

s

甲车从减速到栏杆打开的总时间为

s

乙车减速行驶到收费岛中心线的时间为

s

从减速到打开栏杆的总时间为

s

人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差

s；

（2）乙车从收费岛中心线开始出发又经

s加速到

m/s，与甲车达到共同速度，此时两车相距最远．

这个过程乙车行驶的距离与之前乙车减速行驶的距离相等

m,

从收费岛中心线开始，甲车先从

m/s加速至

m/s，这个时间为

s

然后匀速行驶

m

故两车相距的最远距离为

m．

13．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度

，B车在后，速度

。已知B车在进行火车刹车测试时发现，若车以

的速度行驶时刹车后至少要前进

才能停下，问：

（1）B车刹车的最大加速度为多大？

（2）因大雾能见度低，B车在距A车

处才发现前方A车，这时B车立即刹车。若B刹车时A车仍按原速前进，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车相距最近是多少？

【答案】（1）

；（2）两车不会相撞，

。

【解析】

（1）选取B车前进方向为正方向，设其加速度为

，由

知

所以

车刹车的最大加速度为

；

（2）当B车速度减小到

时，二者相距最近。设此时B车的位移为

，A车的位移为

，则有

代入数据，得

则

因为

所以两车不会相撞，最近距离

14．在某高速公路的同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，轿车司机违反交规，超速行驶，其速度大小为v1=144km/h，货车的速度大小为v2=25m/s。当轿车在与货车距离为s0=21m时才发现前方有货车，若此时轿车立即刹车，则轿车要经过s=160m才能停下来，两车可视为质点。求：

（1）求轿车刹车后匀减速运动的加速度大小；

（2）若轿车刹车过程中货车仍以v2匀速行驶，请分析判断两车是否会相撞；

（3）若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0=2s收到信号并立即以大小为a2=2.5m/s2的加速度加速前进，请分析判断两车是否会相撞。

【答案】(1)

；(2) 两车会相撞；(3) 两车会相撞

【解析】

(1)轿车经过s=160m才停下来的过程，由

得轿车刹车过程的加速度大小

(2)假设恰好不相撞时两车的速度相等，即

得

轿车前进的距离

货车前进的距离

因为

故两车会相撞。

(3)假设两车的速度相等，即

轿车前进的距离

货车前进的距离

解得

因为

故两车会相撞。

15．如图所示，为车辆行驶过程中变道超车的情景。图中AB两车相距L=5m时，B车正以vB=54km/h的速度匀速行驶，A车正以vA=72km/h的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来，A车司机不得不放弃超车，而立即驶回到与B车相同的正常行驶车道。不考虑变道过程中A车速度的变化和位移的侧向变化，车辆加速、减速均视为匀变速直线运动。

（1）A车至少以多大的加速度刹车，才能避免与B车相撞；

（2）若A车驶回原车道时，司机估计会有与B车相碰的危险，立即以大小为aA=2m/s2的加速度刹车，同时鸣笛发出信号提醒B车司机加速，B车司机经过t0=1.0s的反应时间后，立即以aB=1m/s2的加速度匀加速行驶。（不计A车司机的反应时间）。请通过计算分析A会不会追尾B车。若不追尾，求两车间最近距离；若追尾，B车司机做出反应后至少以多大加速度匀加速行驶才能避免事故发生。

【答案】（1）

；（2）会相撞，

【解析】

（1）A车减速到与B车共速时，若恰好没有与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t，有

vA=72km/h=20m/s， vB=54km/h=15m/s

则A车位移为

xA=

（vA+vB）t

B车位移为

xB=vBt

根据位移关系可知

xA−xB=L

联立解得

t=2s

则A车与B车不碰，刹车时的最小加速度大小为

（2）B车司机反应的1s内，A车的位移

x1=vAt0−

aAt02=19m

B车的位移为

x2=vBt0=15m

所以B车开始加速时，两车只相距

x3=L−(x1−x2)=1m

假设还需要t1两车共速

(vA−aAt0)−aAt1=vB+aBt1

解得

t1=1s

t1时间内A车的位移为

x4=(vA−aAt0)t1−

aAt12=17m

B车的位移为

x5=vBt1+

aBt12=15.5m

由于

x4−x5>x3

所以两车会相撞。

设B车的最小加速度为a0，设B车加速t2后，与A车共速

vB+a0t2=(vA−aAt0)−aAt2

t2时间内A车的位移为

x6=(vA−aAt0)t2−

aAt22

B车的位移为

x7=vBt2+

a0t22

x6−x7=x3

联立求解各式得

a0=2.5m/s

温馨提示：用v-t图求解更简洁

16．一两侧开口长为

的圆筒A沿着地面滑行，由于摩擦阻力的作用，加速度大小为

，方向总与运动方向相反，直到筒停在地面上。筒滑行方向前方有一堵墙，筒撞到墙后会反弹，撞墙后速率变为撞墙前的一半。某时刻该筒速度为

，右端距离墙壁

，向着墙壁滑动。一无人机B此时恰在筒右侧筒口中心以速度

与筒同向做匀速直线运动。假设无人机可以在筒内外自由穿梭不受筒影响。则

（1）若筒与墙壁恰好不能发生碰撞，求速度

的大小；

（2）若

，求：

①无人机第一次穿过筒用多长时间（无人机相对于圆筒从一侧筒口运动到另一侧筒口视为穿过一次圆筒）；

②无人机第二次穿过筒用多长时间。

【答案】（1）

；（2）①

；②

【解析】

（1）若筒与墙壁恰好不能发生碰撞，根据运动学公式有

解得

（2）①当无人机B第一次经过时间t穿过圆筒A时，运动过程如图1所示。

圆筒和无人机的位移分别为

由于

解得

其中

为无人机穿过筒后相对于筒返回，第二次到达筒的左端所需的时间。

设圆筒从开始速度为vA时经过

的时间到达墙，则

解得

（另一解5s不合实际，舍去）

由于

，可知无人机第一通过筒时，筒尚未撞墙。因此，无人机第一次通过筒用时

②如前所述，无人机在

时再次到达筒的左端。此时，筒的速度为

设再经过t4时间，筒将与墙相撞，则

撞墙时筒的速度为

这段时间内，筒的位移大小为

无人机的位移大小为

因此，在筒撞墙时，无人机进入筒的距离为

在撞墙后瞬间，筒的速度大小变为

运动过程如图2所示。

在图示状态时，筒停下还需用时

在这段时间内，筒和无人机的位移大小分别为

由于

可知筒停下时，无人机尚在筒内，且与筒右侧相距

因此，无人机从筒停下到飞出筒还需用时

由上面讨论可知，无人机第二次穿筒用时

17．太空梭是游乐园和主题乐园常见的大型机动游戏设备。它的基本原理是将坐舱由升降机送到离地面100m的高处，然后让座舱自由落下。落到离地面一定高度H时，制动系统开始启动，使座舱做加速度大小为40m/s2的匀减速直线运动，到达地面时刚好停下，g取10m/s2。求：

(1)制动系统启动时，座舱离地的高度？

(2)座舱的最大速度？

(3)座舱从自由下落至到达地面所需的时间？

【答案】(1)20m；(2)40m/s；(3)5s

【解析】

(1)由题意得：设自由落体时间为t1，则

自由落体时

减速时

由上式可得

故：制动启动时，离地高度为

(2)由(1)得，座舱的最大速度为

(3)结合(1)得，座舱从自由下落至到达地面所需的时间为

18．如图在一条平直的道路上有三个红绿灯A、B、C，其中

间距

，

间距

。三个灯都是绿灯持续

，红灯持续

，假设红绿灯切换不需要时间。有可视为质点的甲、乙两个车行驶在路上依次经过A、B、C，两车加速时加速度大小均为

，减速时加速度大小均为

。当乙车以

走到A处时，甲车以同样速度

走到距离A处

的地方，此时A显示绿灯还有

，B显示红灯还剩

，C显示红灯还有

。当甲、乙两车不能够匀速通过红绿灯时，就会匀减速运动至刚好停到红绿灯处；绿灯亮起，甲、乙两车马上从静止做匀加速直线运动，加速到

保持匀速直线。求：

（1）甲车从A前

的地方运动到A所需要的时间；

（2）甲、乙两车在A、B之间的最大距离；

（3）甲、乙两车通过A、B、C之后的最近距离。

【答案】（1）5s；（2）250m；（3）20m

【解析】

（1）甲车从A前

的地方以v0匀速运动到A所需的时间为

所以甲车不能够匀速通过红绿灯，则甲会在到达A之前做匀减速运动，甲车的刹车距离为

由题意可知甲车将在A前方10m开始减速，则甲车从A前

的地方运动到A的过程中匀速运动的时间为

减速运动的时间为

解得甲车从A前

的地方运动到A所需要的时间为

（2）A变绿灯后，甲车开始做匀加速运动，此时乙车到A灯的距离为

B显示红灯还剩的时间为

乙车在8s时间内继续前进的距离为

B变绿灯后的10s内，乙车在10s时间内继续前进的距离为

此时乙车到B灯的距离为

易知在之后B灯20s红灯时间内乙车无法匀速通过B，根据（1）题分析可知乙车在距B前方10m处会开始减速。综上所述，乙车在A、B之间匀速行驶的总时间为

甲车开始匀加速运动后，设经过时间t5与乙的速度相等，此时二者之间距离最大，且假设此段时间内乙车一直匀速运动，则

假设成立，t5时间内甲车行驶的距离为

乙车行驶的距离为

所以甲、乙两车在A、B之间的最大距离为

（3）将甲、乙两车的运动过程与对应B、C灯的情况列表如下：

由以上数据可知，甲、乙两车从开始到通过C灯所用时间分别为

所以甲车刚通过C时，乙车刚匀加速至v0，此时二者距离最近，为

19．甲、乙两辆汽车在长直公路上都以15m/s的速度同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，甲车尾与乙车头相距5.5m。现甲车以加速度大小a=1m/s2匀减速刹车，要两车不相撞。求：

(1)若乙车司机因故一直未采取制动措施，甲司机发现后立即又以1m/s2的加速度匀加速，甲车减速的最长时间多少？

(2)若乙车司机看见甲开始刹车后反应了1s也开始刹车，乙车匀减速的加速度至少多大？

(3)为了避免因突然产生的加速度让乘客有明显不舒服的顿挫感，甲车司机刹车的加速度大小按下图所示变化（10s后加速度为0），方向与速度方向相反。甲开始刹车1s后乙开始刹车，乙车匀减速的加速度至少多大？

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【解析】

设甲车减速最长时间为t1，则当甲车再次加速到15m/s时两车刚好未相撞，画出两车的v—t图如下图所示

有乙比甲多围的三角形的面积应为初始距离s0=5.5m，则

解得

(2)此时要两车不相撞的条件为乙车刚追上甲车时速度相等，故

且位移满足

联立解得

，故乙车匀减速的加速度至少

。

(3)因为a—t图像与t轴所围面积为对应时间内的

，故在

时,速度减少量为

t时刻的速度大小为

在

时,速度减少量为

t时刻的速度大小为

画出两车全程v—t图如下图所示

乙车刚追上甲车时速度相等，故

位移满足

因为甲图像的对称性，甲车在前10s的位移等于以v=10m/s匀速10s的位移，即

由上式联合求解得

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