把数形结合充分应用于数学课堂

作者：雨夜听雨 | 发布时间：2022-12-10 10:11:27 收藏本文下载本文

把数形结合充分应用于数学课堂

引言：

由于受到学科的限制，以往我的课堂总是死气沉沉，除了讲课就是做题。而且由于考试不考察学生作图，因此为了节约时间，我一般都不让学生上台画图，这样导致有的学生绘图，识图能力特别差。

案例背景：

每当讲到函数的奇偶性一节，我总是十分犯愁，因为学生总是掌握的不好，无论怎么讲，就是不会判断奇偶性。这一次，我认真上网查资料，我发现虽然考试并不考察学生画图，但是这节数形结合是十分有必要的，如果学生不会画图，那么函数图像的对称性质就成了纸上谈兵，于是我认真制作了一个课件，充分备课。

案例过程：

首先，我以两个函数 $y = x^{2} 和y = x^{3}$ 的图像引入。它们的图像我也不再是像以往那样，学生只要知道大体形状就直接给出，而是通过列表，描点，连线，让学生自己画，学生通过自己作图，锻炼了他们的绘图能力，并且更熟悉了这两个图像，印象更深，也为后面学习函数的对称性质也打下了基础。

1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。

学生通过验证发现

f(-2)=f(2)，

f(-1)=f(1)，

f(-x)=f(x)

2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)

学生通过验证发现

f(-2)= - f(2)

f(-1)= - f(1)

f(-x)= - f(x)

通过对上面两个函数及其图像的观察，你能得到什么规律？

同学们七嘴八舌的讨论起来，于是学生通过对关系式的观察，自己就得出了函数的奇偶性的定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.

但是学生虽然得出了定义，却并没有完全领会定义的精髓。以往我也就是由于对定义强调的不够，导致学生在判断奇偶性时无从下手。于是我又强调道：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

此话一出有的学生十分懵懂，于是我继续强调：我们在计算时，关键是对定义域内的任意一个x,都要找到它的相反数-x，如果没有-x，哪里来的f(-x)?从而也就没有奇偶性可言了。

通过解释学生总是通透的理解定义，对下面的解题奠定了基础。

而通过对图像的观察，学生又得出了奇偶函数的对称性质：

⑴ 奇函数的图象关于原点对称.⑵ 偶函数的图象关于y轴对称.

在例题中，本来判断奇偶性主要就是一看定义域，二看f(-x),但是我为了把数形结合更好的应用，在例题中仍然给出特殊函数的图像。因为函数的奇偶性是函数的对称性质，它要么关于y轴对称，要么关于原点对称，如果不对称，则非奇非偶。

例1：(1).f(x)=x+1

解（1）∵f(-x)= -x+1

- f(x)= -x-1

∴f(-x)≠f(x)

且f(-x)≠–f(x)

∴f(x)为非奇非偶函数

本身（1）通过代数方法已经可以判断出奇偶性，但是为了学生更好的理解，我让学生作出它的图像。

通过图像我们可以看到，它既不关于原点对称，又不关于y轴对称。

（2） $y = x^{2}, x \in [- 1,3]$

通过读题，我们就会发现函数的定义域不关于原点对称。我还是让学生作出它的图像

通过观察它的图像我们也会发现，它既不关于原点对称，也不关于y轴对称。

课本上的例题就这些，但是为了让学生掌握的更全面，我又追加了两个例题

（3）f(x)=5

看到此题，学生觉得很奇怪，连x都没有，怎么判断？我让学生小组讨论，有的学生学的比较扎实，想起来这是我们在本章第一节介绍过的常值函数。定义域为R，f(-x)=f(x)=5，于是为偶函数。我还是让学生作出它的图像。它是一条平行于x轴的直线，通过观察，我们发现它是关于y轴对称的。

（4）f(x)=0

乍一看好像这个题跟前面那个没什么两样，有不少同学得出它是偶函数，我提示：如果这两个题一样我就没必要让你们做了，于是学生又小组讨论，有的小组就发现，0的相反数仍然等于它本身，于是得出它既是奇函数，又是偶函数。我还让学生作图

通过观察图像我们发现，它既关于y轴对称，又关于原点对称。

结果：

通过我的设计，学生通过本节课的学习，不仅学会了判断函数的奇偶性，而且体会并掌握了奇偶函数图像的对称性，也培养了学生的绘图能力。本堂课时间过得特别快，不知不觉就到了下课时间，快下课的时候我听张艳秋同学说：我就爱上数学课，因为上数学课特别有意思。我感到十分欣慰。

案例反思：

以前我总是死板教条，只知道照本宣科，而且比较懒，不喜欢制作课件，不喜欢上网查资料，自恃自己教了好几年学，对教材十分熟悉，于是不精心备课，学生学不会就埋怨学生不认真听，不爱动笔，实际上，学生学的好与坏与老师是否用心有很大关系，不是说我们课前认真写教案，上课不迟到，不早退就叫做认真教学了，要真正的用心，而且每节课都要反思，如果我以前懂得经常反思，也不会教了这么多年这节函数的奇偶性仍然是难点。现在找到了它的突破口，我相信以后的学生学起来都没有困难了，以后我要经常反思，勤于钻研，真正的把心思全用在教育教学上。